Analysis: 2
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Basel ; Boston ; Berlin
Birkhäuser Verlag
2006
|
| Ausgabe: | 2., korrigierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundstudium Mathematik
|
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XII, 415 S. Illustrationen, Diagramme |
| ISBN: | 9783764371050 3764371056 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V
Kapitel
VI
Integralrechnung in einer Variablen
1 Sprungstetige Funktionen ......................... 4
Treppen- und spruiigstetige Funktionen.................. 4
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen............ 6
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen............. 7
2 Stetige Erweiterungen........................... 10
Der Erweiterungssatz für glcichniäßig stetige Funktionen........ 10
Beschränkte lineare Operatoren...................... 12
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren........ 15
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral .................... 17
Das Integral für Treppenfunktionen.................... 17
Das Integral für spruiigstetige Funktionen ................ 19
Riemannsche Summen ........................... 20
4 Eigenschaften des Integrals......................... 2(5
Integration von Funktionenfolgen..................... 26
Das orientierte Integral........................... 27
Positivität und Monotonie des Integrals.................. 28
Koinponenfetnvei.se Integration....................... 31
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.......... ,V2
Das unbestimmte Integral.........................
, ilî
Der Mittehvertsatz der Integralrechnung.................
lió
5 Die Technik des Integrierens........................ 39
VariableiLsubstitution............................
Л9
Partielle Integration............................. 41
Die Integration rationaler Funktionen................... 44
Inhalt ix
Kapitel
VII
Differentialrechnung mehrerer Variabler
1 Stetige lineare Abbildungen........................ 122
Die Vollständigkeit von C(E.F)...................... 122
Endlichdimensionale Banaehräume.................... 123
Matrixdarstellungen............................. 127
Die Exponent ialabbildung......................... 129
Lineare Differentialgleichungen....................... 132
Das Gronwallsehe Lemma ......................... 134
Die Variation-der-Konstanteii-Fonnel................... 13(S
Determinanten und Eigenwerte ...................... 138
Fundamentahnatrizen............................ 141
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung............. 145
2 Differenzierbarkeit............................. 154
Die Definition................................ 154
Die Ableitung................................ 155
Riehtungsableitungen............................ 157
Partielle Ableitungen............................ 159
Die .laeobimatrix.............................. 101
Ein Differenzierbarkeitskriteriuni ..................... 1(>1
Der Rieszsche Darstellungssatz....................... 163
Der Gradient ................................
НІ5
Komplexe Differenzierbarkeit........................ 1G7
3 Rechenregeln................................ 172
Linearität .................................. 172
Die Kettenregel............................... 172
Die Produktregel.............................. 175
Mittelwert sätze............................... 175
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen............... 177
Notwendige Bedingungen für lokale
Extrema
............... 177
4 Multilineare Abbildungen......................... 1«()
Stetige nmltilineare Abbildungen .....................
Ш)
Der kunonische
Імшюгрііімшь
....................... 1*2
Symmetrische nmhilineave Abbildungen ................. IM
Die Ableitunsi multilinearer Abbildungen................. IM
5 Höhere Ableitungen ............................ l*s>>
Definitionen................................. 1**
Partielle Ableitungen höherer Ordnung.................. 191
Die Kettenregel............................... 193
Tavlorsehe Formeln............................. 193
x
Inhalt
Funktionen von
m
Variablen........................ 195
Hinreichende Kriterien für lokale
Extrema
................ 196
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung.............. 204
Nemytskiioperatoren............................ 204
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren.................. 205
Die
Difïerenzierbarkeit
von Nemytskiioperatoren............. 206
Die
Difïerenzierbarkeit
von Parameterintegralen............. 209
Variationsprobleme............................. 211
Die Euler-Lagrangesche Gleichung..................... 213
Klassische Mechanik ............................ 217
7 Umkehrabbildungen ............................ 221
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen............ 221
Der Satz über die Umkehrabbildung.................... 223
Diffeomorphismcn.............................. 226
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme ............. 227
8 Implizite Funktionen............................ 230
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen............ 230
Der Satz über implizite Funktionen.................... 232
Reguläre Werte............................... 235
Gewöhnliche Differentialgleichungen.................... 236
Séparation
der Variablen.......................... 238
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit................... 242
Der Satz von Picard-Lindelöf........................ 244
9 Mannigfaltigkeiten ............................. 252
l ntennaimigfaltigkeiten des
Ш.
...................... 252
Graphen................................... 253
Der Satz vom regulären Wert ....................... 253
Der Iimnersionssatz............................. 255
Einbettungen ................................ 257
Lokale Karten und Parainetrisienmgen.................. 262
Karte-mveehsel................................ 265
10 Tangenten und Normalen ......................... 270
Das
Tangential in
3 ............................ 270
Der Tangentialrauin............................. 271
Charakterisierungen des Tangentialraumes................ 275
Differenzierbare Abbildungen ....................... 276
Das Differential und der Gradient..................... 279
Normalen ..................... ....... 281
Extrema
mit Wbenbediiigungen...................... 282
Anwendungen der Lagraugeschen Multiplikatoremegel ......... 283
Inhalt xi
Kapitel VIII Kurvenintegrale
1 Kurven und ihre Länge........................... 291
Die totale Variation............................. 291
Rcktifizierbarc Wege............................ 292
Differenzierbare
Kniven
.......................... 294
Rektifizierbare Kurven........................... 297
2 Kurven in R ................................ 302
Tangenteneinheitsvektoren......................... 302
Parametrisicrungen nach der Bogenlänge................. 30;i
Orientierte Basen.............................. 304
Das Fronet sehe //-Bein........................... 305
Die Krümmung ebener
Kurvou
....................... .308
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen.............. 310
Krümmungskreise und Evoluten...................... 311
Das Vektorprodukt............................. 312
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven............ .314
3 Pfaffsche Formen.............................. 318
Vektorfelder und Pfaffsche Formen .................... 318
Die kanonischen Basen........................... 320
Exakte Formen und Gradientenfelder................... 322
Das
Poincaréselio
Lemma.......................... 32 )
Duale Operatoren.............................. 327
Transformationsregeln ........................... 328
Moduln.................................... 332
4 Kurvenintegrale............................... 3-37
Die Definition................................ 3.37
Elementare Eigenschaften ......................... 3-39
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale................... 341
Einfach zusammenhängende Mengen................... 34.3
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals............... 344
5 Holomorphe Funktionen..........................
Зої
Komplexe Kurvonint
ograło
......................... 351
Holomorphie................................. .i yl
Der Cauchysche Iniegrabatz........................ 305
Die Orientierung der Kreislinie....................... 357
Die Gauchyscho Integralforinel....................... 357
Analytische Funktionen........................... 359
Der Satz von Liüuvillo ........................... 3ül
Die Fresnelscheii Integrale......................... 3(il
Das Maximumprinzip............................ 3(i3
Inhalt
Harmonische Funktionen.......................... 364
Der Satz von Goursat............................ 366
Der Weierstraßsche Konvergeiizsatz.................... 369
6 Meromorphe Funktionen.......................... 373
Die Laurent sehe Entwicklung ....................... 373
Hebbare Singularitäten........................... 377
Isolierte Singularitäten........................... 378
Einfache Pole................................ 381
Die Windungszahl.............................. 383
Die Stetigkeit der Umlaufzahl....................... 387
Der allgemeine Oauchysche Integralsatz.................. 389
Der Residuensatz.............................. 391
Fourierintegrale............................... 392
Literaturverzeichnis............................... 401
Index....................................... 403
|
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V
Kapitel
VI
Integralrechnung in einer Variablen
1 Sprungstetige Funktionen . 4
Treppen- und spruiigstetige Funktionen. 4
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen. 6
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen. 7
2 Stetige Erweiterungen. 10
Der Erweiterungssatz für glcichniäßig stetige Funktionen. 10
Beschränkte lineare Operatoren. 12
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren. 15
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral . 17
Das Integral für Treppenfunktionen. 17
Das Integral für spruiigstetige Funktionen . 19
Riemannsche Summen . 20
4 Eigenschaften des Integrals. 2(5
Integration von Funktionenfolgen. 26
Das orientierte Integral. 27
Positivität und Monotonie des Integrals. 28
Koinponenfetnvei.se Integration. 31
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. ',V2
Das unbestimmte Integral.
,'ilî
Der Mittehvertsatz der Integralrechnung.
lió
5 Die Technik des Integrierens. 39
VariableiLsubstitution.
'Л9
Partielle Integration. 41
Die Integration rationaler Funktionen. 44
Inhalt ix
Kapitel
VII
Differentialrechnung mehrerer Variabler
1 Stetige lineare Abbildungen. 122
Die Vollständigkeit von C(E.F). 122
Endlichdimensionale Banaehräume. 123
Matrixdarstellungen. 127
Die Exponent ialabbildung. 129
Lineare Differentialgleichungen. 132
Das Gronwallsehe Lemma . 134
Die Variation-der-Konstanteii-Fonnel. 13(S
Determinanten und Eigenwerte . 138
Fundamentahnatrizen. 141
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 145
2 Differenzierbarkeit. 154
Die Definition. 154
Die Ableitung. 155
Riehtungsableitungen. 157
Partielle Ableitungen. 159
Die .laeobimatrix. 101
Ein Differenzierbarkeitskriteriuni . 1(>1
Der Rieszsche Darstellungssatz. 163
Der Gradient .
НІ5
Komplexe Differenzierbarkeit. 1G7
3 Rechenregeln. 172
Linearität . 172
Die Kettenregel. 172
Die Produktregel. 175
Mittelwert sätze. 175
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen. 177
Notwendige Bedingungen für lokale
Extrema
. 177
4 Multilineare Abbildungen. 1«()
Stetige nmltilineare Abbildungen .
Ш)
Der kunonische
Імшюгрііімшь
. 1*2
Symmetrische nmhilineave Abbildungen . IM
Die Ableitunsi" multilinearer Abbildungen. IM
5 Höhere Ableitungen . l*s>>
Definitionen. 1**
Partielle Ableitungen höherer Ordnung. 191
Die Kettenregel. 193
Tavlorsehe Formeln. 193
x
Inhalt
Funktionen von
m
Variablen. 195
Hinreichende Kriterien für lokale
Extrema
. 196
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung. 204
Nemytskiioperatoren. 204
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren. 205
Die
Difïerenzierbarkeit
von Nemytskiioperatoren. 206
Die
Difïerenzierbarkeit
von Parameterintegralen. 209
Variationsprobleme. 211
Die Euler-Lagrangesche Gleichung. 213
Klassische Mechanik . 217
7 Umkehrabbildungen . 221
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen. 221
Der Satz über die Umkehrabbildung. 223
Diffeomorphismcn. 226
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme . 227
8 Implizite Funktionen. 230
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen. 230
Der Satz über implizite Funktionen. 232
Reguläre Werte. 235
Gewöhnliche Differentialgleichungen. 236
Séparation
der Variablen. 238
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit. 242
Der Satz von Picard-Lindelöf. 244
9 Mannigfaltigkeiten . 252
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Ш."
. 252
Graphen. 253
Der Satz vom regulären Wert . 253
Der Iimnersionssatz. 255
Einbettungen . 257
Lokale Karten und Parainetrisienmgen. 262
Karte-mveehsel. 265
10 Tangenten und Normalen . 270
Das
Tangential in
3". 270
Der Tangentialrauin. 271
Charakterisierungen des Tangentialraumes. 275
Differenzierbare Abbildungen . 276
Das Differential und der Gradient. 279
Normalen . . 281
Extrema
mit Wbenbediiigungen. 282
Anwendungen der Lagraugeschen Multiplikatoremegel . 283
Inhalt xi
Kapitel VIII Kurvenintegrale
1 Kurven und ihre Länge. 291
Die totale Variation. 291
Rcktifizierbarc Wege. 292
Differenzierbare
Kniven
. 294
Rektifizierbare Kurven. 297
2 Kurven in R". 302
Tangenteneinheitsvektoren. 302
Parametrisicrungen nach der Bogenlänge. 30;i
Orientierte Basen. 304
Das Fronet sehe //-Bein. 305
Die Krümmung ebener
Kurvou
. .308
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen. 310
Krümmungskreise und Evoluten. 311
Das Vektorprodukt. 312
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven. .314
3 Pfaffsche Formen. 318
Vektorfelder und Pfaffsche Formen . 318
Die kanonischen Basen. 320
Exakte Formen und Gradientenfelder. 322
Das
Poincaréselio
Lemma. 32")
Duale Operatoren. 327
Transformationsregeln . 328
Moduln. 332
4 Kurvenintegrale. 3-37
Die Definition. 3.37
Elementare Eigenschaften . 3-39
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale. 341
Einfach zusammenhängende Mengen. 34.3
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals. 344
5 Holomorphe Funktionen.
Зої
Komplexe Kurvonint
ograło
. 351
Holomorphie. '.i'yl
Der Cauchysche Iniegrabatz. 305
Die Orientierung der Kreislinie. 357
Die Gauchyscho Integralforinel. 357
Analytische Funktionen. 359
Der Satz von Liüuvillo . 3ül
Die Fresnelscheii Integrale. 3(il
Das Maximumprinzip. 3(i3
Inhalt
Harmonische Funktionen. 364
Der Satz von Goursat. 366
Der Weierstraßsche Konvergeiizsatz. 369
6 Meromorphe Funktionen. 373
Die Laurent sehe Entwicklung . 373
Hebbare Singularitäten. 377
Isolierte Singularitäten. 378
Einfache Pole. 381
Die Windungszahl. 383
Die Stetigkeit der Umlaufzahl. 387
Der allgemeine Oauchysche Integralsatz. 389
Der Residuensatz. 391
Fourierintegrale. 392
Literaturverzeichnis. 401
Index. 403 |
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