Algebra:
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| Format: | Buch |
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| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2006
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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Inhalt
Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen. 1
1 Elementare Gruppentheorie. 9
1.1 Gruppen . 10
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen . 15
1.3 Zyklische Gruppen. 20
2 Ringe und Polynome. 25
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen. 28
2.2 Ideale . 34
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe. 37
2.4 Primfaktorzerlegung. 44
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen. 53
2.6 Nullstellen von Polynomen . 59
2.7 Der Satz von Gauß. 61
2.8 Irreduzibilitätskriterien . 67
2.9 Elementarteilertheorie* . 69
3 Algebraische Körpererweiterungen . 85
3.1 Die Charakteristik eines Körpers . 87
3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen. 89
3.3 Ganze Ringerweiterungen* . 96
3.4 Algebraischer Abschluss eines Körpers . 103
3.5 Zerfällungskörper. 110
3.6
3.7 Rein
3.8 Endliche Körper . 126
3.9 Anfänge der algebraischen Geometrie* . 129
4 Galois-Theorie . 137
4.1 Galois-Erweiterungen . 139
4.2 Proendliche Galois-Gruppen* . 146
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung. 158
4.4 Symmetrische Polynome,
4.5 Einheitswurzeln . 182
VIII Inhalt
4.6
4.7 Norm und Spur. 194
4.8 Zyklische Erweiterungen. 199
4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* . 205
4.10 Allgemeine Kummer-Theorie und Witt-Vektoren*. 211
4.11 Galois-Descent* . 230
5 Fortführung der Gruppentheorie . 237
5.1 Gruppenaktionen. 238
5.2 Sylow-Gruppen. 243
5.3 Permutationsgruppen . 251
5.4 Auflösbare Gruppen . 255
6 Anwendungen der Galois-Theorie. 261
6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen . 262
6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4*. 270
6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra . 279
6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal . 282
7 Transzendente Erweiterungen. 291
7.1 Transzendenzbasen. 292
7.2 Tensorprodukte*. 298
7.3
7.4 Kalkül der Differentiale*. 320
Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben . 331
Literatur . 365
Symbolverzeichnis . 367
Namen- und Sachverzeichnis . 371 |
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Inhalt
Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen. 1
1 Elementare Gruppentheorie. 9
1.1 Gruppen . 10
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1.3 Zyklische Gruppen. 20
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VIII Inhalt
4.6
4.7 Norm und Spur. 194
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