Funktionentheorie in der Ebene und im Raum:
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , , |
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser Verlag
2006
|
| Schriftenreihe: | Grundstudium Mathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Auch als Internetausgabe |
| Beschreibung: | XIII, 406 Seiten Ill., graph. Darst. 1 CD-ROM (12 cm) |
| ISBN: | 3764373695 9783764373696 3764374306 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort xi
I Zahlen 1
1 Komplexe Zahlen.................................................. 2
1.1 Entdeckungsgeschichte..................................... 2
1.2 Definition und Eigenschaften.............................. 3
1.3 Darstellungen und geometrische Aspekte................... 10
1.4 Aufgaben................................................. 14
2 Quaternionen.................................................... 15
2.1 Entdeckungsgeschichte.................................... 15
2.2 Definition und Eigenschaften............................. 16
2.3 Abbildungen und Darstellungen............................ 24
2.3.1 Basismorphismen ................................ 25
2.3.2 Drehungen im l3 ................................ 27
2.3.3 Drehungen des R4................................ 30
2.3.4 Darstellungen .................................. 32
2.4 Vektoren und geometrische Aspekte........................ 34
2.4.1 Bilineare Produkte.............................. 38
2.4.2 Multilineare Produkte........................... 44
2.5 Anwendungen.............................................. 47
2.5.1 Visualisierungen der Sphäre S3.................. 47
2.5.2 Elemente der sphärischen Trigonometrie.......... 49
2.6 Aufgaben................................................. 51
3 Clifford“ Zahlen................................................ 52
3.1 Entdeckungsgeschichte.................................... 52
3.2 Definition und Eigenschaften............................. 54
3.2.1 Definition der Clifford-Algebra................. 54
3.2.2 Strukturen und Automorphismen .................. 57
3.2.3 Absoluter Betrag................................ 60
3.3 Geometrische Anwendungen................................. 63
3.3.1 Spin-Gruppe..................................... 63
3.3.2 Konstruktion von Drehungen des Rn............... 65
vi Inhaltsverzeichnis
3.3.3 Drehungen des Mn+1........................... 68
3.4 Darstellungen............................................. 69
3.5 Aufgaben.................................................. 73
II Funktionen 75
4 Topologische Aspekte ............................................ 76
4.1 Topologie und Stetigkeit.................................. 76
4.2 Reihen.................................................... 81
4.3 Riemannsche Sphären....................................... 86
4.3.1 Komplexer Fall............................... 86
4.3.2 Höhere Dimensionen........................... 89
4.4 Aufgaben.................................................. 90
5 Holomorphe Funktionen............................................ 92
5.1 Differenzierbarkeit in C.................................. 92
5.2 Differenzierbarkeit in H.................................. 98
5.2.1 Mejlikhzhons Resultat........................ 99
5.2.2 H-Holomorphie................................100
5.2.3 Holomorphie und Differentialformen...........104
5.3 Differenzierbarkeit in C£(n)..............................107
5.4 Aufgaben..................................................110
6 Potenzen und Möbiustransformationen .............................111
6.1 Potenzfunktionen..........................................111
6.1.1 Potenzfunktionen in C........................111
6.1.2 Potenzfunktionen in höheren Dimensionen .... 112
6.2 Möbiustransformationen....................................117
6.2.1 Möbiustransformationen in C..................117
6.2.2 Möbiustransformationen in höheren Dimensionen . 121
6.3 Aufgaben..............................................127 III
III Integration und Integralsätze 129
7 Integralsätze und Integralformeln...............................130
7.1 Cauchyscher Integralsatz und dessen Umkehrung............130
7.2 Formeln von Borel-Pompeiu und Cauchy.....................133
7.2.1 Formel von Borel-Pompeiu......................133
7.2.2 Formel von Cauchy..............................135
7.2.3 Formeln von Plemelj-Sokhotzki ...................137
7.2.4 Zur Geschichte der Formeln von Cauchy und Borel-
Pompeiu .........................................142
7.3 Folgerungen aus der Integralformel von Cauchy............145
7.3.1 Höhere Ableitungen holomorpher Funktionen . . . 145
7.3.2 Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip .... 149
7.3.3 Satz von Liouville.............................151
7.3.4 Integralformeln von Schwarz und Poisson.......152
7.4 Aufgaben.................................................154
Inhaltsverzeichnis vil
8 Teodorescu-Transformation......................................156
8.1 Eigenschaften der Teodorescu-Transformation.............156
8.2 Hodge-Zerlegung des quaternionalen Hilbertraums.........162
8.2.1 Hodge-Zerlegung.................................162
8.2.2 Darstellungssatz................................164
8.3 Aufgaben................................................165
IV Reihenentwicklungen und lokales Verhalten 167
9 Potenzreihen...................................................168
9.1 Konvergenzsätze vom Weierstraß-Typ, Potenzreihen .... 168
9.1.1 Konvergenzsätze von Weierstraß..................168
9.1.2 Potenzreihen in C...............................170
9.1.3 Potenzreihen in Ct{n)...........................174
9.2 Taylor- und Laurentreihen in C..........................175
9.2.1 Tay lor reihen..................................175
9.2.2 Laurentreihen...................................179
9.3 Taylor- und Laurentreihen in Cl(n) 181
9.3.1 Tay lor reihen..................................181
9.3.2 Laurentreihen...................................188
9.4 Aufgaben................................................191
10 Orthogonalentwicklungen in H...................................193
10.1 Vollständige H-holomorphe Funktionensysteme.............193
10.1.1 Polynomiale Systeme.............................195
10.1.2 Innere und äußere sphärische Funktionen.........198
10.1.3 Harmonische Kugelfunktionen.....................202
10.1.4 H-holomorphe Kugelfunktionen....................204
10.1.5 Vollständigkeit in L2(®3) flkerö................209
10.2 Fourierentwicklung in H.................................210
10.3 Anwendungen.............................................211
10.3.1 Ableitungen H-holomorpher Polynome..............211
10.3.2 Stammfunktionen H-holomorpher Funktionen ... 215
10.3.3 Dekompositionssatz und Taylorentwicklung .... 221
10.4 Aufgaben................................................223
11 Elementare Funktionen..........................................226
11.1 Elementare Funktionen in C..............................226
11.1.1 Exponentialfunktion.............................226
11.1.2 Trigonometrische Funktionen.....................227
11.1.3 Hyperbolische Funktionen........................230
11.1.4 Logarithmus.....................................231
11.2 Elementare Funktionen in Ci(n)..........................233
11.2.1 Polare Zerlegung des Cauchy-Riemann-Operators 233
11.2.2 Elementare radiale Funktionen...................237
11.2.3 Fueter-Sce Konstruktion holomorpher Funktionen 243
11.2.4 Cauchy-Kowalewski-Fortsetzung...................248
Inhaltsverzeichnis
viii
11.2.5 Trennung der Variablen............................253
11.3 Aufgaben..................................................259
12 Lokale Struktur holomorpher Punktionen ..........................262
12.1 Nullstellenverhalten......................................262
12.1.1 Nullstellen in C .................................262
12.1.2 Nullstellen in C£(n)..............................265
12.2 Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen...........269
12.2.1 Isolierte Singularitäten in C.....................269
12.2.2 Isolierte Singularitäten in C£(n).................275
12.3 Residuensatz und Argumentprinzip..........................278
12.3.1 Residuensatz in C.................................278
12.3.2 Argumentprinzip in C..............................281
12.3.3 Residuensatz in C£(n).............................285
12.3.4 Argumentprinzip in Ci(n) 287
12.4 Berechnung reeller Integrale..............................290
12.5 Aufgaben..................................................295
13 Spezielle Funktionen.............................................298
13.1 Eulersche Gammafunktion...................................298
13.1.1 Definition und Funktionalgleichungen..............298
13.1.2 Stirlingsche Formel ..............................303
13.2 Riemannsche Zetafunktion..................................307
13.2.1 Dirichletreihen...................................307
13.2.2 Riemannsche Zetafunktion..........................310
13.3 Automorphe Formen und Funktionen .........................313
13.3.1 Automorphe Funktionen und Formen in C .... 313
13.3.2 Automorphe Funktionen und Formen in Ci(n) . . 320
13.4 Aufgaben..................................................334
Anhang 337
A.l Differentialformen im in.........................................338
A.l.l Alternierende Abbildungen.................................338
A.1.2 Differentialformen........................................343
A.1.3 Aufgaben..................................................350
A.2 Integration und Mannigfaltigkeiten...............................351
A.2.1 Integralbegriffe..........................................351
A.2.1.1 Integration im Mn+1...............................351
A.2.1.2 Koordinatenwechsel in Differentialformen..........352
A.2.1.3 Mannigfaltigkeiten und Integration................354
A.2.2 Sätze von Stokes, Gauß und Green..........................365
A.2.2.1 Satz von Stokes...................................365
A.2.2.2 Satz von Gauß.....................................365
A.2.2.3 Satz von Green....................................367
A.2.3 Aufgaben..................................................368
Inhaltsverzeichnis ix
A.3 Einige Funktionenräume...........................................371
A.3.1 Räume hölderstetiger Funktionen...........................371
A.3.2 Räume differenzierbarer Funktionen........................372
A.3.3 Räume integrierbarer Funktionen...........................373
A.3.4 Distributionen............................................374
A.3.5 Hardy-Räume...............................................375
A.3.6 Sobolev-Räume.............................................375
A.4 Eigenschaften holomorpher Kugelfunktionen........................377
A.4.1 Eigenschaften der Legendre-Polynome.......................377
A.4.2 Norm der holomorphen Kugelfunktionen......................378
A.4.3 Skalarprodukte holomorpher Kugelfunktionen................382
A.4.4 Vollständige Orthonormalsysteme in .......................384
A.4.5 Ableitungen holomorpher Kugelfunktionen ..................388
A.4.6 Aufgaben..................................................389
Literatm Verzeichnis 391
Index 399
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vorwort xi
I Zahlen 1
1 Komplexe Zahlen. 2
1.1 Entdeckungsgeschichte. 2
1.2 Definition und Eigenschaften. 3
1.3 Darstellungen und geometrische Aspekte. 10
1.4 Aufgaben. 14
2 Quaternionen. 15
2.1 Entdeckungsgeschichte. 15
2.2 Definition und Eigenschaften. 16
2.3 Abbildungen und Darstellungen. 24
2.3.1 Basismorphismen . 25
2.3.2 Drehungen im l3 . 27
2.3.3 Drehungen des R4. 30
2.3.4 Darstellungen . 32
2.4 Vektoren und geometrische Aspekte. 34
2.4.1 Bilineare Produkte. 38
2.4.2 Multilineare Produkte. 44
2.5 Anwendungen. 47
2.5.1 Visualisierungen der Sphäre S3. 47
2.5.2 Elemente der sphärischen Trigonometrie. 49
2.6 Aufgaben. 51
3 Clifford“ Zahlen. 52
3.1 Entdeckungsgeschichte. 52
3.2 Definition und Eigenschaften. 54
3.2.1 Definition der Clifford-Algebra. 54
3.2.2 Strukturen und Automorphismen . 57
3.2.3 Absoluter Betrag. 60
3.3 Geometrische Anwendungen. 63
3.3.1 Spin-Gruppe. 63
3.3.2 Konstruktion von Drehungen des Rn. 65
vi Inhaltsverzeichnis
3.3.3 Drehungen des Mn+1. 68
3.4 Darstellungen. 69
3.5 Aufgaben. 73
II Funktionen 75
4 Topologische Aspekte . 76
4.1 Topologie und Stetigkeit. 76
4.2 Reihen. 81
4.3 Riemannsche Sphären. 86
4.3.1 Komplexer Fall. 86
4.3.2 Höhere Dimensionen. 89
4.4 Aufgaben. 90
5 Holomorphe Funktionen. 92
5.1 Differenzierbarkeit in C. 92
5.2 Differenzierbarkeit in H. 98
5.2.1 Mejlikhzhons Resultat. 99
5.2.2 H-Holomorphie.100
5.2.3 Holomorphie und Differentialformen.104
5.3 Differenzierbarkeit in C£(n).107
5.4 Aufgaben.110
6 Potenzen und Möbiustransformationen .111
6.1 Potenzfunktionen.111
6.1.1 Potenzfunktionen in C.111
6.1.2 Potenzfunktionen in höheren Dimensionen . 112
6.2 Möbiustransformationen.117
6.2.1 Möbiustransformationen in C.117
6.2.2 Möbiustransformationen in höheren Dimensionen . 121
6.3 Aufgaben.127 III
III Integration und Integralsätze 129
7 Integralsätze und Integralformeln.130
7.1 Cauchyscher Integralsatz und dessen Umkehrung.130
7.2 Formeln von Borel-Pompeiu und Cauchy.133
7.2.1 Formel von Borel-Pompeiu.133
7.2.2 Formel von Cauchy.135
7.2.3 Formeln von Plemelj-Sokhotzki .137
7.2.4 Zur Geschichte der Formeln von Cauchy und Borel-
Pompeiu .142
7.3 Folgerungen aus der Integralformel von Cauchy.145
7.3.1 Höhere Ableitungen holomorpher Funktionen . . . 145
7.3.2 Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip . 149
7.3.3 Satz von Liouville.151
7.3.4 Integralformeln von Schwarz und Poisson.152
7.4 Aufgaben.154
Inhaltsverzeichnis vil
8 Teodorescu-Transformation.156
8.1 Eigenschaften der Teodorescu-Transformation.156
8.2 Hodge-Zerlegung des quaternionalen Hilbertraums.162
8.2.1 Hodge-Zerlegung.162
8.2.2 Darstellungssatz.164
8.3 Aufgaben.165
IV Reihenentwicklungen und lokales Verhalten 167
9 Potenzreihen.168
9.1 Konvergenzsätze vom Weierstraß-Typ, Potenzreihen . 168
9.1.1 Konvergenzsätze von Weierstraß.168
9.1.2 Potenzreihen in C.170
9.1.3 Potenzreihen in Ct{n).174
9.2 Taylor- und Laurentreihen in C.175
9.2.1 Tay lor reihen.175
9.2.2 Laurentreihen.179
9.3 Taylor- und Laurentreihen in Cl(n) 181
9.3.1 Tay lor reihen.181
9.3.2 Laurentreihen.188
9.4 Aufgaben.191
10 Orthogonalentwicklungen in H.193
10.1 Vollständige H-holomorphe Funktionensysteme.193
10.1.1 Polynomiale Systeme.195
10.1.2 Innere und äußere sphärische Funktionen.198
10.1.3 Harmonische Kugelfunktionen.202
10.1.4 H-holomorphe Kugelfunktionen.204
10.1.5 Vollständigkeit in L2(®3) flkerö.209
10.2 Fourierentwicklung in H.210
10.3 Anwendungen.211
10.3.1 Ableitungen H-holomorpher Polynome.211
10.3.2 Stammfunktionen H-holomorpher Funktionen . 215
10.3.3 Dekompositionssatz und Taylorentwicklung . 221
10.4 Aufgaben.223
11 Elementare Funktionen.226
11.1 Elementare Funktionen in C.226
11.1.1 Exponentialfunktion.226
11.1.2 Trigonometrische Funktionen.227
11.1.3 Hyperbolische Funktionen.230
11.1.4 Logarithmus.231
11.2 Elementare Funktionen in Ci(n).233
11.2.1 Polare Zerlegung des Cauchy-Riemann-Operators 233
11.2.2 Elementare radiale Funktionen.237
11.2.3 Fueter-Sce Konstruktion holomorpher Funktionen 243
11.2.4 Cauchy-Kowalewski-Fortsetzung.248
Inhaltsverzeichnis
viii
11.2.5 Trennung der Variablen.253
11.3 Aufgaben.259
12 Lokale Struktur holomorpher Punktionen .262
12.1 Nullstellenverhalten.262
12.1.1 Nullstellen in C .262
12.1.2 Nullstellen in C£(n).265
12.2 Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen.269
12.2.1 Isolierte Singularitäten in C.269
12.2.2 Isolierte Singularitäten in C£(n).275
12.3 Residuensatz und Argumentprinzip.278
12.3.1 Residuensatz in C.278
12.3.2 Argumentprinzip in C.281
12.3.3 Residuensatz in C£(n).285
12.3.4 Argumentprinzip in Ci(n) 287
12.4 Berechnung reeller Integrale.290
12.5 Aufgaben.295
13 Spezielle Funktionen.298
13.1 Eulersche Gammafunktion.298
13.1.1 Definition und Funktionalgleichungen.298
13.1.2 Stirlingsche Formel .303
13.2 Riemannsche Zetafunktion.307
13.2.1 Dirichletreihen.307
13.2.2 Riemannsche Zetafunktion.310
13.3 Automorphe Formen und Funktionen .313
13.3.1 Automorphe Funktionen und Formen in C . 313
13.3.2 Automorphe Funktionen und Formen in Ci(n) . . 320
13.4 Aufgaben.334
Anhang 337
A.l Differentialformen im in.338
A.l.l Alternierende Abbildungen.338
A.1.2 Differentialformen.343
A.1.3 Aufgaben.350
A.2 Integration und Mannigfaltigkeiten.351
A.2.1 Integralbegriffe.351
A.2.1.1 Integration im Mn+1.351
A.2.1.2 Koordinatenwechsel in Differentialformen.352
A.2.1.3 Mannigfaltigkeiten und Integration.354
A.2.2 Sätze von Stokes, Gauß und Green.365
A.2.2.1 Satz von Stokes.365
A.2.2.2 Satz von Gauß.365
A.2.2.3 Satz von Green.367
A.2.3 Aufgaben.368
Inhaltsverzeichnis ix
A.3 Einige Funktionenräume.371
A.3.1 Räume hölderstetiger Funktionen.371
A.3.2 Räume differenzierbarer Funktionen.372
A.3.3 Räume integrierbarer Funktionen.373
A.3.4 Distributionen.374
A.3.5 Hardy-Räume.375
A.3.6 Sobolev-Räume.375
A.4 Eigenschaften holomorpher Kugelfunktionen.377
A.4.1 Eigenschaften der Legendre-Polynome.377
A.4.2 Norm der holomorphen Kugelfunktionen.378
A.4.3 Skalarprodukte holomorpher Kugelfunktionen.382
A.4.4 Vollständige Orthonormalsysteme in .384
A.4.5 Ableitungen holomorpher Kugelfunktionen .388
A.4.6 Aufgaben.389
Literatm'Verzeichnis 391
Index 399 |
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| author | Gürlebeck, Klaus 1954- Habetha, Klaus 1932-2024 Sprößig, Wolfgang 1946- |
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