Mathematik ... für Nichtmathematiker: 1 Grundbegriffe, Vektorrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Lineare Algebra und Matrizenrechnung
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München [u.a.]
Oldenbourg
2006
|
| Ausgabe: | 7., verb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | VIII, 233 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3486274074 9783486274073 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort 1
1 Grundbegriffe der Mathematik 3
1.1 Mengenlehre............................. 3
1.1.1 Verknüpfung von Mengen................. 5
1.1.2 Mengenalgebra....................... 7
1.1.3 Kartesische Produktmengen................ 8
1.1.4 Relationen und Funktionen................ 9
1.2 Verknüpfung von Aussagen.................... 13
1.3 Beweisverfahren in der Mathematik................ 16
1.3.1 Der direkte Beweis..................... 16
1.3.2 Der indirekte Beweis.................... 16
1.3.3 Die vollständige Induktion................. 17
1.4 Summen- und Produktzeichen................... 20
1.4.1 Das Summenzeichen.................... 20
1.4.2 Das Produktzeichen.................... 25
1.5 Binomialkoeffizienten........................ 28
1.6 Aufbau des reellen Zahlensystems................. 31
1.7 Ungleichungen und Absolutbetrag ................ 33
1.7.1 Ungleichungen....................... 33
1.7.2 Intervalle.......................... 35
1.7.3 Vorzeichen und Absolutbetrag .............. 36
1.8 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen............... 42
1.8.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten......... 42
1.8.2 Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln..... 44
1.8.3 Potenzen mit reellen Exponenten............. 46
1.8.4 Logarithmen, Logarithmensysteme............ 47
1.8.5 Umrechnung von Potenzen und Logarithmen...... 49
1.9 Die komplexen Zahlen....................... 55
1.9.1 Definition und Rechenregeln der komplexen Zahlen ... 55
VI
1.9.2 Geometrische Veranschaulichung komplexer Zahlen ... 56
1.10 Darstellung von Zahlen in Rechnern............... 60
1.10.1 Festpunktdarstellung.................... 60
1.10.2 Gleitpunktdarstellung................... 61
1.11 Rechnen mit Näherungswerten .................. 65
1.11.1 Absoluter und relativer Fehler .............. 65
1.11.2 Fehlerfortpflanzung..................... 68
2 Vektorrechnung 75
2.1 Vektoren und Koordinatensysteme................ 75
2.2 Vektoroperationen......................... 78
2.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation .... 78
2.2.2 Das Skalarprodukt..................... 81
2.2.3 Das Vektorprodukt..................... 83
2.3 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren .... 86
2.4 Analytische Geometrie im 2R3................... 88
2.4.1 Geraden........................... 88
2.4.2 Ebenen ........................... 89
3 Lineare Algebra und Matrizenrechnung 95
3.1 Der Vektorraum Mn........................ 95
3.1.1 Vektoren im IRn, Vektoroperationen........... 95
3.1.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit........ 98
3.2 Matrizenrechnung ......................... 102
3.2.1 Der Begriff der Matrix................... 102
3.2.2 Das Rechnen mit Matrizen ................ 106
3.2.3 Transponieren von Matrizen................ 114
3.2.4 Die
3.2.5 Der Rang einer Matrix................... 117
3.3 Lineare Gleichungssysteme..................... 122
3.4 Determinanten........................... 126
3.5 Losung linearer n x n-Gleichungssysteme ............ 131
Inhalt_______________________________________________________
3.5.1 Der Gaufische Algorithmus................ 131
3.5.2 Das Gauß-Verfahren als Dreieckszerlegung........ 135
3.5.3 Berechnung der Inversen nach Gauß-Jordan....... 142
3.5.4 Numerische Probleme................... 145
3.6 Lösung allgemeiner linearer Gleichungssysteme......... 153
4 Kombinatorik 157
4.1 Permutationen........................... 158
4.1.1 Permutationen ohne Wiederholung............ 158
4.1.2 Permutationen mit Wiederholungen........... 159
4.2 Variationen............................. 161
4.2.1 Variationen ohne Wiederholung.............. 161
4.2.2 Variationen mit Wiederholungen............. 162
4.3 Kombinationen........................... 164
4.3.1 Kombinationen ohne Wiederholung............ 164
4.3.2 Kombinationen mit Wiederholungen........... 165
4.4 Zusammenfassung ......................... 166
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 171
5.1 Zufallsereignisse........................... 171
5.2 Verknüpfung von Zufallsereignissen................ 174
5.3 Der Boreische Mengenkörper ................... 176
5.4 Unvereinbare Ereignisse...................... 177
5.5 Sicheres und unmögliches Ereignis................ 177
5.6 Die mathematische Wahrscheinlichkeit.............. 178
5.7 Die klassische Wahrscheinlichkeit................. 180
5.8 Die bedingte Wahrscheinlichkeit.................. 184
5.9 Unabhängige Ereignisse...................... 187
5.10 Das Bayessche Theorem...................... 192
5.11 Interpretation von Wahrscheinlichkeiten............. 194
5.12 Das Gesetz der großen Zahlen .................. 196
5.13 Zufallsvariablen........................... 198
Vili
5.14
5.15
5.15.1 Diskrete Zufallsvariablen.................. 205
5.15.2 Stetige Zufallsvariablen.................. 208
5.15.3 Fraktilen und Grenzen einer Verteilung ......... 212
5.16 Maßzahlen einer Verteilung.................... 216
5.16.1 Der Mittelwert oder Erwartungswert einer Verteilung . 216
5.16.2 Die Varianz einer Verteilung................ 218
5.16.3 Momente einer Verteilung................. 219
5.16.4 Schiefe und Kurtosis.................... 221
Literatur 227
Sachregister 228
|
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Inhalt
Vorwort 1
1 Grundbegriffe der Mathematik 3
1.1 Mengenlehre. 3
1.1.1 Verknüpfung von Mengen. 5
1.1.2 Mengenalgebra. 7
1.1.3 Kartesische Produktmengen. 8
1.1.4 Relationen und Funktionen. 9
1.2 Verknüpfung von Aussagen. 13
1.3 Beweisverfahren in der Mathematik. 16
1.3.1 Der direkte Beweis. 16
1.3.2 Der indirekte Beweis. 16
1.3.3 Die vollständige Induktion. 17
1.4 Summen- und Produktzeichen. 20
1.4.1 Das Summenzeichen. 20
1.4.2 Das Produktzeichen. 25
1.5 Binomialkoeffizienten. 28
1.6 Aufbau des reellen Zahlensystems. 31
1.7 Ungleichungen und Absolutbetrag . 33
1.7.1 Ungleichungen. 33
1.7.2 Intervalle. 35
1.7.3 Vorzeichen und Absolutbetrag . 36
1.8 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. 42
1.8.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 42
1.8.2 Potenzen mit rationalen Exponenten, Wurzeln. 44
1.8.3 Potenzen mit reellen Exponenten. 46
1.8.4 Logarithmen, Logarithmensysteme. 47
1.8.5 Umrechnung von Potenzen und Logarithmen. 49
1.9 Die komplexen Zahlen. 55
1.9.1 Definition und Rechenregeln der komplexen Zahlen . 55
VI
1.9.2 Geometrische Veranschaulichung komplexer Zahlen . 56
1.10 Darstellung von Zahlen in Rechnern. 60
1.10.1 Festpunktdarstellung. 60
1.10.2 Gleitpunktdarstellung. 61
1.11 Rechnen mit Näherungswerten . 65
1.11.1 Absoluter und relativer Fehler . 65
1.11.2 Fehlerfortpflanzung. 68
2 Vektorrechnung 75
2.1 Vektoren und Koordinatensysteme. 75
2.2 Vektoroperationen. 78
2.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation . 78
2.2.2 Das Skalarprodukt. 81
2.2.3 Das Vektorprodukt. 83
2.3 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren . 86
2.4 Analytische Geometrie im 2R3. 88
2.4.1 Geraden. 88
2.4.2 Ebenen . 89
3 Lineare Algebra und Matrizenrechnung 95
3.1 Der Vektorraum Mn. 95
3.1.1 Vektoren im IRn, Vektoroperationen. 95
3.1.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 98
3.2 Matrizenrechnung . 102
3.2.1 Der Begriff der Matrix. 102
3.2.2 Das Rechnen mit Matrizen . 106
3.2.3 Transponieren von Matrizen. 114
3.2.4 Die
3.2.5 Der Rang einer Matrix. 117
3.3 Lineare Gleichungssysteme. 122
3.4 Determinanten. 126
3.5 Losung linearer n x n-Gleichungssysteme . 131
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3.5.1 Der Gaufische Algorithmus. 131
3.5.2 Das Gauß-Verfahren als Dreieckszerlegung. 135
3.5.3 Berechnung der Inversen nach Gauß-Jordan. 142
3.5.4 Numerische Probleme. 145
3.6 Lösung allgemeiner linearer Gleichungssysteme. 153
4 Kombinatorik 157
4.1 Permutationen. 158
4.1.1 Permutationen ohne Wiederholung. 158
4.1.2 Permutationen mit Wiederholungen. 159
4.2 Variationen. 161
4.2.1 Variationen ohne Wiederholung. 161
4.2.2 Variationen mit Wiederholungen. 162
4.3 Kombinationen. 164
4.3.1 Kombinationen ohne Wiederholung. 164
4.3.2 Kombinationen mit Wiederholungen. 165
4.4 Zusammenfassung . 166
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 171
5.1 Zufallsereignisse. 171
5.2 Verknüpfung von Zufallsereignissen. 174
5.3 Der Boreische Mengenkörper . 176
5.4 Unvereinbare Ereignisse. 177
5.5 Sicheres und unmögliches Ereignis. 177
5.6 Die mathematische Wahrscheinlichkeit. 178
5.7 Die klassische Wahrscheinlichkeit. 180
5.8 Die bedingte Wahrscheinlichkeit. 184
5.9 Unabhängige Ereignisse. 187
5.10 Das Bayessche Theorem. 192
5.11 Interpretation von Wahrscheinlichkeiten. 194
5.12 Das Gesetz der großen Zahlen . 196
5.13 Zufallsvariablen. 198
Vili
5.14
5.15
5.15.1 Diskrete Zufallsvariablen. 205
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5.16.1 Der Mittelwert oder Erwartungswert einer Verteilung . 216
5.16.2 Die Varianz einer Verteilung. 218
5.16.3 Momente einer Verteilung. 219
5.16.4 Schiefe und Kurtosis. 221
Literatur 227
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