Mathematik für Informatiker: 1 Diskrete Mathematik und lineare Algebra
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2006
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| Schriftenreihe: | eXamen.press
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | Auch als Internetausgabe |
| Beschreibung: | XIII, 479 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540257829 9783540257820 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
1 Logik und Mengen.............................................. 1
1.1 Elementare Logik............................................. 1
1.2 Elementare Mengenlehre...................................... 10
1.3 Schaltalgebra................................................ 15
1.3.1 Anwendimg: Entwurf von Schaltkreisen................... 21
1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 23
1.5 Kontrollfragen............................................... 24
1.6 Übungen.................................................... 28
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme.............................. 33
2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C............................ 33
2.2 Summen und Produkte........................................ 44
2.3 Vollständige Induktion........................................ 46
2.4 Stellenwertsysteme ........................................... 48
2.5 Maschinenzahlen............................................. 51
2.6 Teilbarkeit und Primzahlen.................................... 55
2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 57
2.8 Kontrollfragen............................................... 61
2.9 Übungen.................................................... 65
Diskrete Mathematik
3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie.......................... 71
3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen..................... 71
3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen............................. 74
3.2 Gruppen, Ringe und Körper................................... 77
3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfeiffern?........... 87
3.3 Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen....... 89
3.3.1 Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus......... 94
3.4 Der Chinesische Restsatz...................................... 99
X
3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen.................. 101
3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 102
3.6 Kontrollfragen............................................... 105
3.7 Übungen.................................................... 107
4 Relationen und Funktionen..................................... 111
4.1 Relationen................................................... 111
4.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell.................... 120
4.2 Punktionen.................................................. 123
4.3 Kontrollfragen............................................... 13.6
4.4 Übungen.................................................... 140
5 Polgen und Reihen.............................................. 145
5.1 Polgen...................................................... 145
5.1.1 Anwendung: Wurzelziehen
5.2 Reihen...................................................... 156
5.3 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 162
5.4 Kontrollfragen............................................... 164
5.5 Übungen.................................................... 167
6 Kombinatorik................................................... 171
6.1 Grundlegende Abzählverfahren................................. 171
6.2 Permutationen und Kombinationen............................. 175
6.3 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 181
6.4 Kontrollfragen............................................... 182
6.5 Übungen.................................................... 183
7 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen.................. 187
7.1 Grundbegriffe................................................ 187
7.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos .................. 191
7.2 Lineare Rekursionen.......................................... 194
7.2.1 Anwendung: Sparkassenformel........................... 202
7.3 Wachstum von Algorithmen................................... 204
7.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 210
7.5 Kontrollfragen............................................... 213
7.6 Übungen....................................................215
Lineare Algebra
8 Vektorräume................................................... 219
8.1 Vektoren.................................................... 219
8.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis.............................. 227
8.3 Teilräume................................................... 232
8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 237
8.5 Kontrollfragen............................................... 238
8.6 Übungen.................................................... 240
Inlialtsverzeichiiis XI
9 Matrizen und Lineare Abbildungen............................. 245
9.1 Matrizen.................................................... 245
9.2 Multiplikation von Matrizen................................... 250
9.3 Lineare Abbildungen.......................................... 257
9.3.1 Anwendung: Lineare Codes.............................. 265
9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 268
9.5 Kontrollfragen............................................... 270
9.6 Übungen.................................................... 273
10 Lineare Gleichungen............................................ 279
10.1 Der Gauß-Algorithmus........................................ 279
10.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke....................... 287
10.1.2 Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef.......... 289
10.2 Rang, Kern, Bild............................................. 290
10.3 Determinante................................................ 295
10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 300
10.5 Kontrollfragen............................................... 301
10.6 Übungen.................................................... 303
11 Lineare Optimierung........................................... 307
11.1 Lineare Ungleichungen........................................ 307
11.2 Lineare Optimierung.......................................... 310
11.3 Der Simplex-Algorithmus...................................... 311
11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 317
11.5 Kontrollfragen............................................... 318
11.6 Übungen.................................................... 320
12 Skalarprodukt und Orthogonalität.............................. 323
12.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion....................... 323
12.1.1 Anwendung:
12.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation........................ 334
12.1.3 Anwendung: Ray-Tracing................................ 334
12.2 Orthogonalentwicklungen...................................... 336
12.3 Orthogonale Transformationen................................. 342
12.3.1 Anwendung: QR-Zerlegung.............................. 346
12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 347
12.5 Kontrollfragen............................................... 348
12.6 Übungen.................................................... 350
13 Eigenwerte und Eigenvektoren.................................. 355
13.1 Koordinatentransformationen.................................. 355
13.2 Eigenwerte und Eigenvektoren................................. 358
13.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank....... 367
13.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen............................. 370
13.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation........... 373
13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 376
13.5 Kontrollfragen............................................... 376
13.6 Übungen.................................................... 378
XII
Graphentheorie
14 Grundlagen der Graphentheorie................................ 381
14.1 Grundbegriffe................................................ 381
14.2 Darstellung von Graphen am Computer......................... 387
14.3 Wege und Kreise............................................. 389
14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 397
14.5 Kontrollfragen............................................... 398
14.6 Übungen.................................................... 401
15 Bäume und kürzeste Wege...................................... 407
15.1 Bäume...................................................... 407
15.2 Das Problem des Handlungsreisenden........................... 413
15.3 Minimale aufspannende Bäume................................. 415
15.4 Kürzeste Wege............................................... 417
15.4.1 Anwendung: Routing im Internet......................... 420
15.5 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 421
15.6 Kontrollfragen............................................... 422
15.7 Übungen.................................................... 425
16 Flüsse in Netzwerken und Matchings........................... 431
16.1 Netzwerke................................................... 431
16.2 Matchings................................................... 439
16.3 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 445
16.4 Kontrollfragen............................................... 447
16.5 Übungen.................................................... 449
Anhang
A
A.1 Erste Schritte................................................ 455
A.2 Funktionen.................................................. 457
Â.3
A.4 Programme.................................................. 460
B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben.................... 463
B.l Logik und Mengen............................................ 463
B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme.............................. 463
B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie........................... 464
B.4 Relationen und Punktionen.................................... 464
B.5 Folgen und Reihen............................................ 464
B.6 Kombinatorik................................................ 465
B.7 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen.................... 465
B.8 Vektorräume................................................. 465
B.9 Matrizen und Lineare Abbildungen............................. 466
Inhaltsverzeichnis
B.10 Lineare Gleichungen.......................................... 466
B.ll Lineaxe Optimierung.......................................... 466
B.12 Skaiarprodukt und Orthogonalität.............................. 467
B.13 Eigenwerte und Eigenvektoren................................. 467
B.14 Grundlagen der Graphentheorie................................ 467
B.15 Bäume und kürzeste Wege..................................... 468
B.16 Flüsse in Netzwerken und Matchings............................ 468
Literatur........................................................... 469
Verzeichnis der Symbole............................................ 471
Index............................................................... 473
i
iairi
Sie nicht wissert^A/ozu e?§ut ist? Nein? W]
rauch nicht! Deshalb war unser Leitsatz:„Mathematik ist praxisrelevant und interessant !
^raiisBmWnweh^^lm di^rmrche^mscnSi
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rbeispiele illustriert, durch
Hintergründe oder Ausblicke in
: Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verständnis testen und
? sehe Fehler bzw. Missverständnisse ausräumen. Zusätzlich helfen zahlreicherer
Übungen (mit vollständigem Lösungsweg) und weiterführende Übungsaufgaben i
I
l zum Selbststudium geeignet. Ergänzend wird in eigenen Abschnitten das Computeralge- ■
system MathemaUcj
kannT
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