Mathematische Methoden in der Physik:
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| Sprache: | German |
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München
Elsevier
2005
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung xix
1 Unendliche Reihen 1
1.1 Folgen und Reihen 1
1.1.1 Achill und die Schildkröte 1
1.1.2 Rechnen mit Grenzwerten 4
1.1.3 Anwendungen von unendlichen Reihen 11
1.2 Konvergenz und Divergenz 11
1.2.1 Konvergenztests für Reihen 14
1.3 Potenzreihen 20
1.3.1 Einfache Wege zur Potenzreihe 25
1.3.2 Konvergenz und Genauigkeit 27
1.3.3 Anwendungen 29
1.4 Was war da noch? 37
1.4.1 Funktionenreihen 37
1.4.2 Divergente Reihen 38
1.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 39
1.5.1 Aufgaben 39
1.5.2 Lösungen 41
1.5.3 Literatur 42
2 Komplexe Zahlen 43
2.1 Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene 43
2.2 Komplexe Reihen 49
2.3 Funktionen komplexer Variablen 52
2.3.1 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen . 52
2.3.2 Wurzeln 56
2.3.3 Andere Umkehrfunktionen 58
2.4 Riemannsche Blätter 59
2.4.1 Schnittstruktur einiger Funktionen 63
2.5 Anwendungen 66
2.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 69
2.6.1 Aufgaben 69
2.6.2 Lösungen 71
2.6.3 Literatur 72
vi Inhaltsverzeichnis
3 Vektoren und Matrizen 73
3.1 Lineare Gleichungssysteme 73
3.1.1 Determinanten 74
3.1.2 Lösung eines linearen Gleichungssystems 78
3.2 Matrizen 81
3.2.1 Lineare Algebra der Matrizen 81
3.2.2 Die inverse Matrix 87
3.2.3 Lösung durch Matrixinversion 90
3.2.4 Weiteres Zubehör 91
3.2.5 Lineare Abhängigkeit 93
3.2.6 Rang einer Matrix 96
3.3 Vektoren und ihre Algebra 100
3.3.1 Vektoren 100
3.3.2 Vektoralgebra 101
3.3.3 Analytische Geometrie 109
3.4 Das Eigenwertproblem 113
3.4.1 Quadratische Formen 120
3.4.2 Funktionen von Matrizen 123
3.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 125
3.5.1 Aufgaben 125
3.5.2 Lösungen 127
3.5.3 Literatur 128
4 Differenzialrechnung 129
4.1 Die lineare Näherung 129
4.2 Funktionen mehrerer Variablen 136
4.3 Verschiedene Methoden der Differenziation 143
4.3.1 Kettenregel und Produktregel 144
4.3.2 Implizite Differenziation 147
4.4 Extremwertaufgaben 149
4.5 Nebenbedingungen 155
4.5.1 Elimination 157
4.5.2 Lagrangesche Multiplikatoren 158
4.6 Randpunkte 164
4.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur 169
4.7.1 Aufgaben 169
4.7.2 Lösungen 173
4.7.3 Literatur 174
5 Integralrechnung 175
5.1 Das Integral 175
5.1.1 Die Stammfunktion 175
5.1.2 Lebesgue Integral 176
5.2 Integrationstechnik 182
5.2.1 Einfache Regeln 184
Inhaltsverzeichnis vii
5.2.2 Transformation der Variablen 185
5.2.3 Partielle Integration 188
5.2.4 Systematische Verfahren 190
5.2.5 Integration entlang einer Kurve 194
5.2.6 Uneigentliche Integrale 196
5.3 Differenziation von Integralen 197
5.4 Mehrdimensionale Integrale 200
5.4.1 Variablentransformation 208
5.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 215
5.5.1 Aufgaben 215
5.5.2 Lösungen 217
5.5.3 Literatur 218
6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 219
6.1 Allgemeines 219
6.1.1 Einleitung 219
6.1.2 Klassifikation 222
6.2 Gewöhnliche DGen 1. Ordnung 224
6.2.1 Existenz und Eindeutigkeit 224
6.2.2 Lineare DGen 1. Ordnung 225
6.2.3 Nichtlineare DGen 1. Ordnung 230
6.2.4 Numerische Integration 239
6.3 Gewöhnliche DGen höherer Ordnung 243
6.3.1 Allgemeines 243
6.3.2 Konstante Koeffizienten 244
6.3.3 Inhomogene lineare DGen mit konstanten Koeffizienten 249
6.3.4 Nichtkonstante Koeffizienten 256
6.4 Systeme von DGen 260
6.4.1 Formulierung und linearer Fall 260
6.4.2 Stabilitätsanalyse und dynamische Systeme 265
6.5 Zum Abschluss 267
6.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 268
6.6.1 Aufgaben 268
6.6.2 Lösungen 271
6.6.3 Literatur 272
7 Grundlagen der Vektoranalysis 273
7.1 Differenziation von Vektoren 273
7.2 Bogenlänge, Krümmung und Torsion 276
7.3 Linien und Oberflächenintegrale 282
7.4 Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient 292
7.5 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern 297
7.5.1 Bedeutung der Divergenz 297
7.5.2 Bedeutung der Rotation 300
7.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 304
viü Inhaltsverzeichnis
7.6.1 Aufgaben 304
7.6.2 Lösungen 306
7.6.3 Literatur 306
8 Basissysteme krummliniger Koordinaten 307
8.1 Gebräuchliche Koordinatensysteme 307
8.2 Bestimmung von Vektorkomponenten 310
8.3 Bogen , Flächen und Volumenelement 317
8.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 319
8.4.1 Aufgaben 319
8.4.2 Lösungen 320
8.4.3 Literatur 320
9 Integralsätze 321
9.1 Der Gaußsche Integralsatz 321
9.2 Der Greensche Satz in der Ebene 326
9.3 Der Integralsatz von Stokes 329
9.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 334
9.4.1 Aufgaben 334
9.4.2 Lösungen 336
9.4.3 Literatur 336
10 Elemente der Tensorrechnung 337
10.1 Definition eines Tensors 337
10.2 Rechenregel für Tensoren 340
10.3 Beispiele für Tensoren 342
10.3.1 Dere Tensor 342
10.3.2 Der Trägheitstensor 345
10.4 Differenzialoperationen und Tensoren 345
10.5 Drehung um eine Achse 347
10.6 Ko und kontravariante Darstellung 351
10.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur 359
10.7.1 Aufgaben 359
10.7.2 Lösungen 360
10.7.3 Literatur 360
11 Ein wenig Differenzialformen 361
11.1 Äußere Formen 361
11.2 Äußere Ableitung 368
11.3 Integralsätze 373
11.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 377
11.4.1 Aufgaben 377
11.4.2 Lösungen 378
11.4.3 Literatur 378
Inhaltsverzeichnis ix
12 Funktionenräume 379
12.1 Vektorräume 379
12.1.1 Rückblick: Vektoren im R! 379
12.1.2 Lineare Räume 381
12.2 Metrik, Norm, Skalarprodukt 383
12.2.1 Metrik 383
12.2.2 Norm 386
12.2.3 Skalarprodukt 387
12.3 Basis eines Vektorraums 390
12.3.1 Orthonormale Basis 390
12.3.2 Komponentendarstellung 393
12.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 398
12.4.1 Aufgaben 398
12.4.2 Lösungen 400
12.4.3 Literatur 400
13 Fourierreihe 401
13.1 Motivation und Definition 401
13.2 Konvergenzkriterien 404
13.3 Tipps und Beispiele 405
13.4 Komplexe Form der Fourierreihe 409
13.5 Fourier Kosinus und Fourier Sinus Reihe 413
13.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 419
13.6.1 Aufgaben 419
13.6.2 Lösungen 420
13.6.3 Literatur 420
14 Integraltransformationen 421
14.1 Einleitung 421
14.2 Die Laplace Transformation 422
14.3 Die Fouriertransformation 427
14.4 Faltung 432
14.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 435
14.5.1 Aufgaben 435
14.5.2 Lösungen 436
14.5.3 Literatur 436
15 Funktionale und Variationsrechnung 437
15.1 Funktionale 437
15.2 Variationsrechnung 439
15.3 Distributionen und die Diracsche Deltafunktion 447
15.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 453
15.4.1 Aufgaben 453
15.4.2 Lösungen 454
15.4.3 Literatur 454
x Inhaltsverzeichnis
16 Operatoren und Eigenwerte 455
16.1 Einleitung 455
16.2 Das Eigenwertproblem in der linearenAlgebra 456
16.3 Lineare Operatoren in Vektorräumen 463
16.3.1 Eigenschaften 463
16.3.2 Darstellungen 465
16.3.3 Das Eigenwertproblem für Operatoren 473
16.4 Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem 476
16.4.1 Schwingungsgleichung 477
16.4.2 Legendresche Differenzialgleichung 478
16.4.3 Sturm Liouville Problem 479
16.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 481
16.5.1 Aufgaben 481
16.5.2 Lösungen 482
16.5.3 Literatur 482
17 Spezielle Differenzialgleichungen 483
17.1 Die Legendresche Differenzialgleichung 483
17.1.1 Kugelflächenfunktionen 490
17.2 Die Besselsche Differenzialgleichung 493
17.3 Die Hermitesche Differenzialgleichung 498
17.4 Die Laguerresche Differenzialgleichung 500
17.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 501
17.5.1 Aufgaben 501
17.5.2 Lösungen 502
17.5.3 Literatur 502
18 Partielle Differenzialgleichungen 503
18.1 Übersicht 503
18.1.1 Elliptischer Typ 503
18.1.2 Parabolischer Typ 505
18.1.3 Hyperbolischer Typ 506
18.2 Lösungsmethoden: Numerische Verfahren 507
18.3 Analytische „exakte" Verfahren 507
18.3.1 Integraldarstellung 509
18.3.2 Integraltransformation 510
18.3.3 Greensche Funktion 511
18.3.4 Separation der Variablen 517
18.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 529
18.4.1 Aufgaben 529
18.4.2 Lösungen 530
18.4.3 Literatur 530
19 Funktionentheorie 531
19.1 Analytische Funktionen 531
Inhaltsverzeichnis xi
19.1.1 Stetigkeit 531
19.1.2 Differenzierbarkeit 533
19.1.3 Potenzreihen 539
19.2 Komplexe Integration 542
19.2.1 Linienintegral 542
19.2.2 Integralsatz von Cauchy 546
19.2.3 Integralformel von Cauchy 550
19.2.4 Laurentreihe 552
19.2.5 Residuensatz 555
19.2.6 Schnitte 558
19.3 Anwendungen 560
19.3.1 Integrale 560
19.3.2 Fouriertransformation 562
19.3.3 Dispersionsrelationen 563
19.3.4 Hauptwertintegrale 565
19.3.5 Konforme Abbildungen 567
19.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 571
19.4.1 Aufgaben 571
19.4.2 Lösungen 573
19.4.3 Literatur 574
20 Gruppen 575
20.1 Symmetrien und Gruppen 575
20.2 Zweierlei Klassen 579
20.2.1 Konjugationsklassen 580
20.2.2 Nebenklassen 582
20.2.3 Einige Untergruppen 583
20.3 Einige wichtige Gruppen 585
20.4 Darstellung 591
20.5 Kontinuierliche Gruppen 597
20.5.1 Darstellung und Parameter 597
20.5.2 Generatoren und Lie Algebra 601
20.5.3 Anwendungen in der Physik 609
20.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 611
20.6.1 Aufgaben 611
20.6.2 Lösungen 612
20.6.3 Weiterführende Literatur 612
21 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 613
21.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit 613
21.1.1 Wahrscheinlichkeit 613
21.1.2 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen 619
21.1.3 Erwartungswerte und Momente 622
21.2 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 625
21.2.1 Binomialverteilung 626
xii Inhaltsverzeichnis
21.2.2 Poisson Verteilung 628
21.2.3 Gleichverteilung 629
21.2.4 Normalverteilung 631
21.2.5 Exponentialverteilung 632
21.2.6 Histogramme 633
21.3 Funktionen von Zufallsvariablen 634
21.3.1 Fehlerfortpflanzung 637
21.4 Mehrere Zufallsvariablen 640
21.4.1 Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte 640
21.4.2 Funktionen von mehreren Zufallsvariablen 643
21.4.3 Zentraler Grenzwertsatz 646
21.4.4 Autokorrelation 647
21.5 Analyse von Daten und Fehlern 648
21.5.1 Schätzung der Parameter einer Verteilung 648
21.5.2 Andere Verfahren 651
21.5.3 Fit, mach mit! 654
21.5.4 Hypothesentest 659
21.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 664
21.6.1 Aufgaben 664
21.6.2 Lösungen 665
21.6.3 Weiterführende Literatur 666
A Abkürzungen und Anmerkungen 667
B Zoologie elementarer Funktionen 675
B.1 Polynome und rationale Funktionen 678
B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 680
B.3 Trigonometrische Funktionen 683
C Programmbeispiele 689
Literaturverzeichnis 691
Index 697 |
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Beschreibung
THWS Schweinfurt Zentralbibliothek Lesesaal
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2000 SK 950 L269(2) |
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| Exemplar 1 | ausleihbar Checked out – Rückgabe bis: 25.04.2025 Vormerken |