Elemente der Funktionalanalysis: Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze
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Wiesbaden
Vieweg
2005
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| Schriftenreihe: | Studium : Mathematik
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Abbildungsverzeichnis ix
Tabellenverzeichnis xi
Einleitung xiii
I Lineare Analysis 1
1 Normierte lineare Räume 3
1.1 Normierte Räume und Banachräume 3
1.2 Beispiele normierter Räume 5
1.3 Funktionenräume 10
1.4 Äquivalente Normen 16
1.5 Produkt und Quotientenräume 18
1.6 Metrische lineare Räume 21
1.7 Aufgaben 22
2 Kompakte Mengen 29
2.1 Spezielle Mengen in normierten Räumen 29
2.2 Notwendige Bedingungen für Kompaktheit 31
2.3 Hinreichende Bedingungen für Kompaktheit 34
2.4 Eine Charakterisierung endlichdimensionaler Räume 38
2.5 Nichtkompaktheitsmaße 41
2.6 Aufgaben 43
3 Kompaktheitskriterien 49
3.1 Der Satz von Arzelä Ascoli 49
3.2 Der Satz von Kolmogorov Riesz 51
3.3 Weitere Kompaktheitskriterien 55
3.4 Äquivalente Nichtkompaktheitsmaße 57
3.5 Aufgaben 60
vi Inhaltsverzeichnis
4 Beschränkte lineare Operatoren 65
4.1 Beschränkte lineare Operatoren 65
4.2 Beispiele beschränkter linearer Operatoren 68
4.3 Der Satz von der beschränkten Inversen 74
4.4 Neumannsche Reihe und Spektralradius 77
4.5 Konvergenz von Operatorfolgen 83
4.6 Projektionen 87
4.7 Aufgaben 88
5 Kompakte Operatoren 97
5.1 Kompakte lineare Operatoren 97
5.2 Beispiele kompakter Operatoren 98
5.3 Zur Umkehrung kompakter Operatoren 101
5.4 7 beschränkte lineare Operatoren 102
5.5 Die wesentliche Norm eines linearen Operators 107
5.6 Aufgaben 110
6 Matrixoperatoren und Integraloperatoren 113
6.1 Matrixoperatoren 113
6.2 Integraloperatoren 122
6.3 Singuläre Integraloperatoren vom Fredholm Typ 132
6.4 Singuläre Integraloperatoren vom Volterra Typ 141
6.5 Aufgaben 145
7 Die Fredholm Alternative 151
7.1 Die Fredholm Alternative in RN 151
7.2 Der Auf und Absteige Index eines Operators 152
7.3 Charakteristische Werte und Eigenwerte 157
7.4 Fredholm Operatoren 162
7.5 Aufgaben 173
8 Lösbarkeit linearer Gleichungen 177
8.1 Entartete Kernfunktionen 178
8.2 Iterierte Kernfunktionen vom Fredholm Typ 180
8.3 Iterierte Kernfunktionen vom Volterra Typ 184
8.4 Existenz und Eindeutigkeitssätze 187
8.5 Zusammenhang mit Anfangswertproblemen 192
8.6 Zusammenhang mit Randwertproblemen 194
8.7 Aufgaben 198
Inhaltsverzeichnis vii
II Nichtlineare Analysis 201
9 Nichtlineare Operatoren 203
9.1 Beschränkte und stetige Operatoren 203
9.2 Nemytskij Operatoren 205
9.3 Kompakte Operatoren 215
9.4 Hammerstein Operatoren 217
9.5 Aufgaben 218
10 Der Banachsche Fixpunktsatz 221
10.1 Kontrahierende Operatoren 221
10.2 Anwendungen in endlichdimensionalen Räumen 227
10.3 Anwendungen in unendlichdimensionalen Räumen 229
10.4 Nichtexpansive Operatoren 232
10.5 Aufgaben 235
11 Der Brouwersche Fixpunktsatz 237
11.1 Fixpunkte skalarer Funktionen 237
11.2 Fixpunkte vektorieller Funktionen 239
11.3 Refraktionen und Zusammenziehungen 241
11.4 Ein Zusammenhang mit Eigenwertproblemen 247
11.5 Anwendungen des Brouwerschen Fixpunktsatzes 247
11.6 Weitere Äquivalenzen und Anwendungen 249
11.7 Aufgaben 251
12 Der Schaudersche Fixpunktsatz 255
12.1 Fixpunkte in unendlichdimensionalen Räumen 255
12.2 Schauder Projektionen 258
12.3 Der Schaudersche Fixpunktsatz 259
12.4 Anwendungen des Schauderschen Fixpunktsatzes 261
12.5 Die Leray Schauder Alternative 264
12.6 Quasibeschränkte Operatoren 266
12.7 Aufgaben 268
13 Der Darbosche Fixpunktsatz 273
13.1 Kondensierende nichtlineare Operatoren 273
13.2 Der Darbosche Fixpunktsatz 278
13.3 Schwach kondensierende Operatoren 280
13.4 Ein Vergleich einiger Operatorenklassen 283
13.5 Nicht kondensierende Abbildungen 285
13.6 Aufgaben 289
viii Inhaltsverzeichnis
14 Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungen 291
14.1 Wesentliche Operatoren 291
14.2 Der Borsuksche Fixpunktsatz 298
14.3 Anwendung auf Randwertprobleme 306
14.4 Aufgaben 310
A Anhang 313
A.l Kriterien für endliche Dimension 313
A.2 Der Bairesche Kategoriensatz 314
A.3 Basen in Banachräumen 316
A.4 Der Weierstraßsche Approximationssatz 324
A.5 Die Fortsetzungssätze von Tietze Uryson und Dugundji 328
A.6 Aufgaben 331
Literaturverzeichnis 335
Symbolverzeichnis 339
Index 341
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