Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden:
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Berlin [u.a.]
Springer
2005
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E
PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
UND NUMERISCHE
METHODE
N
UEBERSETZT VON MICAELA KRIEGER-HAUWEDE
4Y SPRINGER
INHALTSVERZEICHNI
S
1 EINFUEHRUN
G
1
1.1 HINTERGRUND 1
1.2 NOTATION UND MATHEMATISCHE VORBEMERKUNGEN 5
1.3 PHYSIKALISCHE HERLEITUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG 8
1.4 PROBLEMSTELLUNGEN 12
2 EI
N ZWEIPUNKT-RANDWERTPROBLE
M
15
2.1 DAS MAXIMUMPRINZIP 15
2.2 GREENSCHE PUNKTION 18
2.3 VARIATIONSFORMULIERUNG 20
2.4 PROBLEMSTELLUNGEN 23
3 ELLIPTISCH
E GLEICHUNGE
N
27
3.1 VORBEMERKUNGEN 27
3.2 EIN MAXIMUMPRINZIP 29
3.3 DAS DIRICHLET-PROBLEM FUER EINE KREISSCHEIBE. DAS
POISSON-INTEGRAL 30
3.4 FUNDAMENTALLOESUNGEN. DIE GREENSCHE FUNKTION 32
3.5 VARIATIONSFORMULIERUNG DES DIRICHLET-PROBLEMS 35
3.6 EIN NEUMANN-PROBLEM 38
3.7 REGULARITAET 40
3.8 PROBLEMSTELLUNGEN 41
4 FINIT
E DIFFERENZENVERFAHRE
N FUER ELLIPTISCH
E GLEICHUNGE
N
...
. 4
5
4.1 EIN ZWEIPUNKT-RANDWERTPROBLEM 45
4.2 DIE POISSON-GLEICHUNG 48
4.3 PROBLEMSTELLUNGEN 52
5 DI
E METHOD
E DE
R FINITE
N ELEMENT
E FUER ELLIPTISCH
E
GLEICHUNGE
N
53
5.1 EIN ZWEIPUNKT-RANDWERTPROBLEM 54
X INHALTSVERZEICHNIS
5.2 EIN MODELLPROBLEM IN DER EBENE 60
5.3 EINIGE ASPEKTE DER APPROXIMATIONSTHEORIE 63
5.4 FEHLERABSCHAETZUNGEN 66
5.5 EINE A POSTERIORI FEHLERABSCHAETZUNG 69
5.6 NUMERISCHE INTEGRATION 71
5.7 EINE METHODE DER GEMISCHTEN FINITEN ELEMENTE 75
5.8 PROBLEMSTELLUNGEN 77
6 DA
S ELLIPTISCH
E EIGENWERTPROBLE
M
81
6.1 ENTWICKLUNG NACH EIGENFUNKTIONEN 81
6.2 NUMERISCHE LOESUNG DES EIGENWERTPROBLEMS 92
6.3 PROBLEMSTELLUNGEN 97
7 ANFANGSWERTPROBLEM
E FUER GEWOEHNLICH
E
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
101
7.1 DAS ANFANGSWERTPROBLEM FUER LINEARE SYSTEME 101
7.2 NUMERISCHE LOESUNG GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 107
7.3 PROBLEMSTELLUNGEN 113
8 PARABOLISCH
E GLEICHUNGE
N
115
8.1 DAS REINE ANFANGSWERTPROBLEM 115
8.2 LOESUNG DURCH ENTWICKLUNG NACH EIGENFUNKTIONEN 120
8.3 VARIATIONSFORMULIERUNG. ENERGIEABSCHAETZUNGEN 126
8.4 EIN MAXIMUMPRINZIP 129
8.5 PROBLEMSTELLUNGEN 131
9 FINIT
E DIFFERENZENVERFAHREN FUER PARABOLISCHE PROBLEM
E
135
9.1 DAS REINE ANFANGSWERTPROBLEM 135
9.2 DAS GEMISCHTE ANFANGS-RANDWERTPROBLEM 145
9.3 PROBLEMSTELLUNGEN 153
10 DI
E METHOD
E DER FINITEN ELEMENT
E FUER EI
N PARABOLISCHES
PROBLE
M
157
10.1 DIE SEMIDISKRETE GALERKIN-METHODE DER FINITEN ELEMENTE 157
10.2 EINIGE VOLLSTAENDIG DISKRETE SCHEMATA 164
10.3 PROBLEMSTELLUNGEN 168
11 HYPERBOLISCH
E GLEICHUNGEN
171
11.1 CHARAKTERISTISCHE RICHTUNGEN UND FLAECHEN 171
11.2 DIE WELLENGLEICHUNG 174
11.3 SKALARE GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 178
11.4 SYMMETRISCHE HYPERBOLISCHE SYSTEME 183
11.5 PROBLEMSTELLUNGEN 190
INHALTSVERZEICHNIS
XI
12 FINIT
E DIFFERENZENVERFAHREN FUER HYPERBOLISCH
E GLEICHUNGEN
. 195
12.1 SKALARE GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 195
12.2 SYMMETRISCHE HYPERBOLISCHE SYSTEME 202
12.3 DAS WENDROFF-BOX-SCHEMA 206
12.4 PROBLEMSTELLUNGEN 208
13 DI
E METHOD
E DER FINITEN ELEMENT
E FUER HYPERBOLISCH
E
GLEICHUNGEN
211
13.1 DIE WELLENGLEICHUNG 211
13.2 HYPERBOLISCHE GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 215
13.3 PROBLEMSTELLUNGEN 226
14 WEITERE KLASSE
N NUMERISCHER METHODE
N
229
14.1 KOLLOKATIONSVERFAHREN 229
14.2 SPEKTRALMETHODEN 230
14.3 FINITE VOLUMENVERFAHREN 232
14.4 RANDELEMENTMETHODEN 233
14.5 PROBLEMSTELLUNGEN 235
A EINIGE HILFSMITTE
L AUS DER ANALYSI
S
237
A.L ABSTRAKTE LINEARE RAEUME 237
A.2 FUNKTIONENRAEUME 244
A.3 DIE FOURIER-TRANSFORMATION 252
A.4 PROBLEMSTELLUNGEN 253
B UEBERBLICK UEBER NUMERISCHE LINEARE ALGEBR
A
257
B.L DIREKTE VERFAHREN 257
B.2 ITERATIVE VERFAHREN. RELAXATION, UEBERRELAXATION UND
BESCHLEUNIGUNG 258
B.3 METHODE DER ALTERNIERENDEN RICHTUNG 260
B.4 PCG-VERFAHREN 261
B.5 MEHRGITTERVERFAHREN UND GEBIETSZERLEGUNG 262
LITERATURVERZEICHNIS
265
INDEX
269
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