Mathematischer Einführungskurs für die Physik: mit ... über 110 Beispielen und 233 Selbsttests mit Lösungen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
2004
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| Ausgabe: | 9., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Teubner-Studienbücher : Physik
Lehrbuch Physik |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 366 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3519330741 |
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Inhalt
1. Vektoren
1.1. Definition von Vektoren. 15
1.1.1. Skalare. 15
1.1.2. Vektoren. 15
1.1.2.1. Vorläufiges. 1.1.2.2. Bezugssysteme. 1.1.2.3. Komponenten.
1.1.2.4. Koordinatentransformationen. 1.1.2.5. Vektordefinition
1.1.3. Tensoren. 21
1.2. Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen. 24
1.2.1. Addieren und Subtrahieren. 24
1.2.2. Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition. 26
1.2.3. Multiplikation von Vektoren mit Zahlen. 27
1.2.4. Komponentendarstellung der Vektoren. 28
1.2.4.1. Einheitsvektoren. 1.2.4.2. Komponenten. 1.2.4.3. Umrech¬
nung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung
1.2.5. Rechenregeln in Komponentendarstellung. 32
1.2.5.1. Addition und Subtraktion. 1.2.5.2. Multiplikation mit
Zahlen. 1.2.5.3. Beispiele zur übenden Erläuterung
1.2.6. Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra. 34
1.3. Das Innere Produkt von Vektoren. 35
1.3.1. Definition. 35
1.3.2. Eigenschaften des Inneren Produktes. 36
1.3.3. Beispiele zur übenden Erläuterung. 39
1.3.4. Algebraische Definition des Vektorraumes. 41
1.3.5. Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt. 42
1.4. Koordinatentransformationen. 42
1.4.1. Die Transformationsmatrix. 42
1.4.1.1. Beschreibung einer Koordinatendrehung. 1.4.1.2. Zuordnung
von Drehungen und Matrizen. 1.4.1.3. Determinante der Drehmatrix
1.4.2. Die Transformationsformeln für Vektoren . 46
1.4.3. Beispiele zu übenden Erläuterung. 48
1.4.4. Die Transformationsformeln für Tensoren. 49
1.4.5. Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen. 50
1.5. Matrizen. 51
1.5.1. Definitionen. 51
1.5.2. Multiplikation von Matrizen. 53
1.5.3.
1.5.4. Matrizen - Tensoren - Transformationen. 58
1.5.5. Beispiele zur übenden Erläuterung. 58
1.5.6. Übungen zum Selbsttest: Matrizen. 60
8 Inhalt
1.6. Determinanten. 61
1.6.1. Definition. 61
1.6.2. Eigenschaften von Determinanten. 64
1.6.3. Beispiele zur übenden Erläuterung. 66
1.6.4. Übungen zum Selbsttest: Determinanten . 69
1.7. Eigenwerte, Eigenvektoren. 70
1.7.1. Ein physikalisches Alltagsproblem. 70
1.7.2. Eigenwerte: Definition und Berechnung. 72
1.7.3. Beispiele zur übenden Erläuterung. 73
1.7.4. Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren. 75
1.7.5. Übungen zum Selbsttest: Eigenwerte und -vektoren. 77
1.8. Das Äußere Produkt von Vektoren . 77
1.8.1. Definition. 77
1.8.2. Eigenschaften des Äußeren Produktes. 78
1.8.3. Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transformations¬
verhalten. 80
1.8.4. Beispiele zur übenden Erläuterung. 82
1.8.5. Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt_:. 85
1.9. Mehrfache Vektorprodukte. 85
1.9.1. Grundregeln. 85
1.9.2. Spatprodukt dreier Vektoren. 86
1.9.3. Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte. 87
1.9.4. n-fache Produkte. 88
1.9.5. Beispiele zur übenden Erläuterung. 88
1.9.6. Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte . 89
1.10. Komplexe Zahlen. 90
1.10.1. Imaginäre Einheit
1.10.2. Definitionen und Rechenregeln im Komplexen. 91
1.10.3. Die Polardarstellung. 94
1.10.4. Beispiele zur übenden Erläuterung. 96
1.10.5. Die komplexe Zahlenebene. 98
1.10.6. Übungen zum Selbsttest: komplexe Zahlen. 99
2. Vektorfunktionen
2.1. Vektorwertige Funktionen. 101
2.1.1. Definition. 101
2.1.2. Parameterdarstellung von Raumkurven. 102
2.2. Ableitung vektorwertiger Funktionen. 104
2.2.1. Definition der Ableitung. 104
2.2.2. Beispiele zur übenden Erläuterung. 105
2.2.3. Rechenregeln für die Vektordifferentiation. 108
2.2.4. Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren. 109
Inhalt 9
2.3. Raumkurven. 109
2.3.1. Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor. 110
2.3.2. Die (Haupt-)Normale. 110
2.3.3. Die Binormale. 112
2.3.4. Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein. 112
2.3.5. Beispiele zur übenden Erläuterung. 113
2.3.6. Übungen zum Selbsttest: Raumkurven. 114
3. Felder
3.1. Physikalische Felder. 115
3.1.1. Allgemeine Definition. 115
3.1.2. Skalare Felder. 116
3.1.3. Vektor-Felder. 118
3.1.4. Übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern. 121
3.2. Partielle Ableitungen. 121
3.2.1. Definition der partiellen Ableitung. 121
3.2.2. Beispiele - Rechenregeln - Übungen. 123
3.2.3. Die Kettenregel. 126
3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen. 127
3.3. Gradient. 127
3.3.1. Richtungsableitung. 127
3.3.2. Definition des Gradienten. 129
3.3.3. Interpretation und Rechenregeln. 130
3.3.4. Beispiele zur übenden Erläuterung. 131
3.3.5. Taylorentwicklung für Felder. 132
3.3.6. Übungen zum Selbsttest: Der Gradient. 135
3.4. Divergenz. 136
3.4.1. Definition der Divergenz von Vektorfeldern. 136
3.4.2. Beispiele und Rechenregeln. 137
3.4.3. Interpretation als lokale Wirbelstarke. 138
3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Die Divergenz. 140
3.5. Rotation. 141
3.5.1. Definition der Rotation von Vektorfeldern. 141
3.5.2. Interpretation als lokale Wirbelstärke. 142
3.5.3. Eigenschaften und RechenregeJn der Operation rot. 143
3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung. 144
3.5.5. Übungen zum Selbsttest: Die Rotation. 145
3.6. Der Vektor-Differentialoperator 1?
3.6.1. Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperatoren
durch
3.6.2. Zusammenfassende Übersicht der Eigenschaften von 'v*. 147
3.6.3. Übungen zum Selbsttest: DerNabla-Operator. 148
10 Inhalt
4. Integration
4.1. Physikalische Motivation. 149
4.2. Das Integral über Funktionen. 149
4.2.1. Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals. 155
4.2.2. Eigenschaften des bestimmten Integrals. 157
4.2.3. Übungen zum Selbsttest: Riemannsummen . 159
4.2.4. Das unbestimmte Integral. 160
4.2.5. Einfache Integraltabelle. 163
4.2.6. Übungen zum Selbsttest: Integrale. 164
4.3. Methoden zur Berechnung von Integralen. 164
4.3.1. Substitution. 164
4.3.2. Partielle Integration. 166
4.3.3. Übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration. 168
4.3.4. Integral-Funktionen. 169
4.3.5. Numerische Bestimmung von Integralen. 169
4.4. Uneigentliche Integrale. 170
4.4.1. Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen. 171
4.4.2. Beispiele zur übenden Erläuterung. 172
4.4.3.
4.4.4. Beispiele zur übenden Erläuterung. 175
4.4.5. Übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale. 176
4.5. Parameterintegrale. 177
4.5.1. Differentiation eines Parameterintegrals. 177
4.5.2. Integration von Parameterintegralen. 179
4.5.3. Uneigentliche Parameterintegrale. 181
4.5.4. Übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale. 182
4.6. Die
4.6.1. Heuristische Motivation. 182
4.6.2. Definition der
4.6.3. Darstellung durch „glatte" Funktionen. 185
4.6.4 Praktischer Umgang. 186
4.6.5. Übungen zum Selbsttest:
5. Vektorintegration
5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren. 189
5.1.1. Definition. 189
5.1.2. Beispiele zur übenden Erläuterung. 190
5.1.3. Übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren. 191
5.2. Kurvenintegrale. 192
5.2.1. Definition. 192
5.2.2. Verfahren zur Berechnung. 193
5.2.3. Beispiele zurübenden Erläuterung. 194
Inhalt 11
5.2.4. Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg . 196
5.2.5. Wirbelfreiheit als Kriterium. 199
5.2.6. Beispiel. 205
5.2.7. Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder,
Vektorprodukte. 206
5.2.8. Übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale. 208
5.2.9. Das Vektorpotential. 209
5.3. Flächenintegrale. 212
5.3.1. Definition. 212
5.3.2. Beschreibung von Flächen im Raum. 214
5.3.2.1. Kartesische Parameter. 5.3.2.2. Zylinderkoordinaten.
5.3.2.3. Kugelkoordinaten. 5.3.2.4. Übungen zum Selbsttest:
Krummlinige Koordinaten. 5.3.2.5. Flächenelemente
5.3.3. Doppelintegrale. 219
5.3.3.1. Definition. 5.3.3.2. Iterierte Integrale. 5.3.3.3. Übungen
zum Selbsttest: Doppelintegrale
5.3.4. Wechsel der Variablen. 222
5.3.4.1. Parametertransformation. 5.3.4.2. Die Funktionaldeter¬
minante. 5.3.4.3. Die Transformation von Flächenelementen.
5.3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Variablentransformation
5.3.5. Berechnung von Flächenintegralen. 227
5.3.5.1. Zusammenfassung der Formeln. 5.3.5.2. Beispiele zur
übenden Erläuterung. 5.3.5.3. Flächenintegrale in Parameterdar¬
stellung. 5.3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung
5.3.6. Übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale. 236
5.4. Volumenintegrale. 236
5.4.1. Definition. 237
5.4.2. Dreifachintegrale. 237
5.4.3. Wechsel der Variablen. 239
5.4.3.1. Funktionaldeterminante. 5.4.3.2. Transformation von
Volumenelementen
5.4.4. Vektorielle Volumenintegrale. 243
5.4.5. Beispiele zur übenden Erläuterung. 243
5.4.6. Übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale. 245
6. Integralsätze
6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächeninte¬
gralen . 247
6.1.1. Integraldarstellung von
6.1.2. IntegraJdarsteilung von 'v' allgemein. 249
6.2. Der Gaußsche Satz. 250
6.2.1. Herleitung und Formulierung. 250
12 Inhalt
6.2.2. Beispiele und Erläuterungen. 252
6.2.3. Allgemeine Form des Gaußschen Satzes. 254
6.2.4. Der Gaußsche Satz in D Dimensionen. 255
6.3. Partielle Integration mittels Gaußschem Satz. 256
6.3.1. Methode. 257
6.3.2. Beispiele. 257
6.3.3. Der Greensche Satz. 258
6.4. Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz. 259
6.5. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurveninte¬
gralen . 259
6.5.1. Kurvenintegral-Darstellung von rot. 259
6.5.2. Kurvenintegral-Darstellung von
6.6. Der Stokessche Satz. 262
6.6.1. Herleitung und Formulierung. 262
6.6.2. Beispiele und Erläuterungen. 265
6.6.3. Allgemeine Form des Stokesschen Satzes. 265
6.6.4. Der Stokessche Satz in D Dimensionen. 267
6.7. Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz. 268
6.8. Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen. 269
7. Krummlinige Koordinaten
7.1. Lokale Koordinatensysteme. 271
7.1.1. Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten. 271
7.1.2. Krummlinig-orthogonale Koordinaten. 272
7.1.3. Zylinder- und Kugelkoordinaten als Beispiele. 274
7.1.4. Übungen zum Selbsttest: Krummlinig-orthogonale Koordinaten
système
7.2. Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten. 275
7.2.1.
7.2.2. Die Formeln in Zylinderkoordinaten. 277
7.2.3. Die Formeln in Kugelkoordinaten. 278
7.2.4. Übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krummlinigen
Koordinaten. 279
8. Gewöhnliche Differentialgleichungen
8.1. Physikalische Motivation. 281
8.2. Lösen von Differentialgleichungen. 284
8.3. Trennung der Variablen. 285
8.3.1. Verfahren. 285
8.3.2. Beispiele zur übenden Erläuterung. 287
8.3.3.
Inhalt 13
8.4. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. 292
8.5. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. 294
8.5.1. Homogene Gleichungen. 294
8.5.2. Gekoppelte homogene Differentialgleichungen (N Variable). 297
8.5.3. Inhomogene Differentialgleichungen. 299
8.6. Geometrische Methoden. 300
8.7. Chaos. 302
8.8. Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen). 308
8.8.1. Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren. 308
8.8.2. Integralgleichungsverfahren. 309
8.8.3. Praxis iterativer Verfahren. 312
8.9. Übungen zum Selbsttest; Differentialgleichungen. 312
9. Randwertprobleme
9.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz. 315
9.2. Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und
Randwerten. 319
9.2.1. Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum. 319
9.2.2. Feld einer Iadungsverteilung bei endlichem Rand;
Greensche Funktionen. 323
9.3. Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder. 326
9.4. Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen
Wirbeln. 327
9.4.1. Wirbelfeld im unendlichen Raum. 328
9.4.2. Wirbelfeld im endlichen Bereich. 329
9.5. Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis. 331
9.6. Vektordifferentialgleichungen. 331
9.6.1. Elektromagnetische Felder. 332
9.6.1.1. Statistische Felder. 9.6.1.2. Feldgetriebene Ströme in Leitern.
9.6.1.3. Elektromagnetische Wellen
9.6.2. Elastische Körper. 337
9.6.3. Flüssigkeitsströmungen. 338
9.6.4. Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine Amplituden¬
gleichung . 340
9.6.5. Zusammenfassung in Darstellungssätzen. 344
Anhang
Lösungen der Übungen zum Selbsttest. 346
Kleine Literaturauswahl. 359
Sachverzeichnis. 360 |
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