Gewöhnliche Differentialgleichungen: Theorie und Praxis - vertieft und visualisiert mit Maple
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Springer
2005
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis.............................................
Einleitung....................................................
1 Einführende Überlegungen ............................... 1
1.1 Erste Aspekte.......................................... 3
Was ist eine Differentialgleichung?.................. 3
Welche Fragen stellen wir?......................... 4
Mathematische Modellierung....................... 5
1.2 Richtungsfelder ........................................ 7
E U
Historische Notizen zu EULER und Cauchy.................... 10
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2 Elementare Integrationsmethoden........................ 19
2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen .......... 19
2.2 Differentialgleichungen vom Typ y = ƒ
2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung................ 26
2.4 BERNOULLI-Differentialgleichung......................... 28
2.5 RicCATi-DifTerentialgleichung............................ 29
Zusammenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung. 30
Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung... 31
2.6 Exakte Differentialgleichungen........................... 33
Multiplikatoren ..................................... 34
2.7 CLAIRAUT-Differentialgleichung.......................... 36
Historische Notizen zu
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3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz ......................... 67
3.1 Einleitung............................................. 67
3.2 Fixpunktsatz für verallgemeinerte Kontraktionen........... 70
3.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz ......................... 75
Differentialgleichungssystem 1. Ordnung............. 78
Explizite Differentialgleichungen fc-ter Ordnung...... 79
3.4 Fehlerabschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen....... 80
3.5 Lösungen ,im Großen ................................... 82
Maximale Existenzintervalle....................... 84
3.6 Qualitative Beschreibung autonomer Systeme.............. 86
Mathematisches Pendel........................... 90
Räuber-Beute-Modell............................. 93
Fluß zu einer gegebenen DGL...................... 97
3.7 Modifikation des Hauptsatzes für Funktionen mit Werten im Cfc 98
Historische Notizen zu Banach............................... 99
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4 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme
4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz......................... 123
4.2 Linear-algebraische Folgerungen.......................... 124
4.3 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme............ 125
4.4 Homogene lineare DGLen höherer Ordnung................ 129
4.5 Transformation von Differentialgleichungssystemen......... 130
4.6 Inhomogene lineare Differentialgleichungen................. 131
Inhomogene lineare DGL fc-ter Ordnung............. 131
4.7 Reduktion der Ordnung................................. 133
Historische Notizen zu d Alembert .......................... 136
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____________________________________
5
5.1 Exponentialfunktion von Matrizen........................ 152
5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten 155
5.3 Zweidimensionale Systeme, Stabilität ..................... 159
5.4 Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten und spe¬
ziellen Inhomogenitäten.................................169
5.5 Lineare DGLen höherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten........................................... 172
5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen
Koeffizientenfunktionen..................................175
Historische Notizen zu Jordan...............................182
Maple Worksheets
6 Nützliches — nicht nur für den Praktiker.................205
6.1 Lösungen über Potenzreihenansatz........................205
HERMITE-Differentialgleichung.....................207
LEGENDRE-Differentialgleichung....................208
6.2 Schwach
BESSEL-Differentialgleichung.......................220
6.3
Anwendung auf Anfangswertaufgaben...............231
Unstetige Inhomogenitäten........................236
Zur
Kleine Tabelle von
Historische Notizen zu
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7 Rand- und Eigenwertprobleme............................265
7.1 Randwertaufgaben für lineare DGL-Systeme mit linearen
Randbedingungen ......................................266
GREEN-Matrix...................................269
VIII
7.2 Randwertprobleme für lineare DGLen
7.3 Nicht-lineare Randwertaufgaben und Fixpunktprobleme.....282
7.4 Selbstadjungierte Randwertaufgaben......................283
7.5 Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben .................287
Fourier-
Entwicklungssätze................................294
7.6 STURM-LrouviLLE-Randeigenwertaufgaben................301
Historische Notizen zu
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8 Anhang über Matrixfunktionen...........................325
8.1 Matrixpolynome........................................325
Spektraldarstellung von Sylvester-Buchheim......328
8.2 Matrixfunktionen: Definition, Eigenschaften................331
8.3 Beispiele zur Berechnung von Matrixfunktionen............339
Historische Notizen zu SYLVESTER............................345
Maple Worksheets
Anhang zu
Symbolverzeichnis............................................371
Namen- und Sachverzeichnis..................................373
Index zu
Literaturverzeichnis ..........................................385
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