Numerische Mathematik: eine projektorientierte Einführung für Ingenieure, Mathematiker und Naturwissenschaftler
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Wiesbaden
Vieweg
2004
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Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
2 Zentrale Modellprojekte 5
2.1 Modellprojekt 1 — Die Fahrerkabine.................. 5
2.1.1 Modellierung............................. 6
2.2 Modellprojekt 2 — Die Kühlrippe................... 10
2.2.1 Modellierung............................. 11
3 Anfangswertaufgaben 16
3.1 Anwendungsbeispiele........................... 16
3.2 Mathematische Probleme bei Anfangswertaufgaben.......... 18
3.3 Numerische Behandlung gewöhnlicher Differenzialgleichungen .... 20
3.4 Das explizite Euler-Verfahren...................... 20
3.5 Allgemeine Einschrittverfahren..................... 21
3.6 Fehlerbetrachtung............................ 22
3.7 Abschätzung des globalen Fehlers.................... 24
3.8 Diskussion der Ergebnisse........................ 26
3.9 Anmerkungen und Beweise....................... 28
3.9.1 Beweis von Satz 3.10......................... 29
4 Fehleranalyse 31
4.1 Rechnerarithmetik............................ 31
4.2 Rundungsfehler.............................. 33
4.3 Fehlerfortpflanzung und numerische Verfahrensfehler......... 36
4.4 Fehleranalyse............................... 39
4.5 Fehleranalyse bei Einschritt verfahren.................. 43
viii Inhaltsverzeichnis
4.6 Diskussion der Ergebnisse........................ 45
4.7 Anmerkungen............................... 46
5 Randwertaufgaben 47
5.1 Anwendungsbeispiele........................... 47
5.2 Eindimensionale Randwertaufgaben.................. 48
5.2.1 Randbedingungen .......................... 50
5.2.2 Lineares Gleichungssystem ..................... 51
5.3 Zweidimensionale Randwertprobleme.................. 53
5.4 Approximationseigenschaften Finiter Differenzen........... 58
5.5 Anmerkungen und Beweise....................... 60
5.5.1 Beweis von Satz 5.6 ......................... 61
6 Interpolation 65
6.1 Einführung................................ 65
6.2 Polynominterpolation.......................... 65
6.2.1 Das Verfahren von
6.2.2 Interpolation nach Newton ..................... 68
6.3
6.4 Anmerkungen und Beweise....................... 82
6.4.1 Beweis von Satz 6.2 ......................... 83
6.4.2 Beweis zu Lemma 6.3........................ 83
6.4.3 Beweis zu Satz 6.9.......................... 84
6.4.4 Beweis zu Satz 6.15 ......................... 85
6.4.5 Beweis zu Satz 6.21 ......................... 85
6.4.6 Beweis von Satz 6.25......................... 86
6.4.7 Beweis zu Satz 6.23 ......................... 87
7 Numerische Integration 90
7.1 Newton-Cotes -Formeln......................... 90
7.2 Summierte Regeln............................ 92
Die summierte Trapezregel ..................... 92
Die summierte Simpson-Regel ................... 93
Weitere Quadraturformeln...................... 94
______________________________________________________________
7.3 Extrapolation............................... 95
7.4 Anwendung auf Modellprojekt der Fahrerkabine........... 97
7.5 Anmerkungen und Beweise....................... 100
7.5.1 Beweis zu Satz 7.1.......................... 100
7.5.2 Beweis zu Satz 7.3.......................... 104
8 Diskrete
8.1 Anmerkungen und Beweise....................... 112
8.1.1 Beweis von Satz 8.3 ......................... 112
8.1.2 Beweis von Satz 8.5 ......................... 112
9 Lineare Gleichungssysteme 113
9.1 Anwendungsbeispiele........................... 113
9.2 Normen und andere Grundlagen.................... 115
9.3 Kondition eines linearen Gleichungssystems.............. 117
9.4 Die Ut-Zerlegung............................ 118
9.5 Lösen von Dreieckssystemen....................... 122
9.6 Fehleranalyse der
9.7 Partielle Pivotisierung.......................... 125
9.8 Abschätzung der Genauigkeit...................... 128
9.9 Verbesserung der Genauigkeit...................... 129
Konstruktion einer kleineren Konditionszahl............129
Iterative Verbesserung der berechneten Lösung.......... 131
9.10 Die Cholesky-Zerlegung......................... 132
9.11 Anmerkungen und Beweise....................... 134
9.11.1 Beweis von Satz 9.10......................... 134
9.11.2 Beweis von Satz 9.18......................... 135
9.11.3 Beweis von Satz 9.24......................... 135
10 Nichtlineare Gleichungssysteme 136
10.1 Ein Anwendungsproblem........................ 136
10.2 Fixpunktverfahren............................ 137
10.3 Das Newton-Verfahren ......................... 141
10.3.1 Das modifizierte Newton-Verfahren ................ 145
χ
10.3.2 Praktische Realisierung des Newton-Verfahrens..........146
10.4 Anwendungsbeispiele...........................146
10.5 Anmerkungen und Beweise.......................148
10.5.1 Beweis von Satz 10.3.........................149
10.5.2 Beweis von Satz 10.5.........................150
11 Verfahren höherer Ordnung für Anfangswertprobleme 151
11.1 Ein Anwendungsbeispiel.........................151
11.2 Einfache Verfahren höherer Ordnung..................152
11.3 Runge-Kutta-Verfahren.........................154
11.4 Implizite Runge-Kutta-Formeln....................159
11.5 Schrittweitensteuerung..........................162
11.6 Anmerkungen und Beweise.......................168
11.6.1 Beweis zu Satz 11.9 .........................168
12 Stabilität von Verfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen 170
12.1 Steife Differenzialgleichungen......................174
12.2 Steifheit bei partiellen Differenzialgleichungen.............178
12.3 Anmerkungen und Beweise.......................180
13 Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme 182
13.1 Anwendungsbeispiele........................... 182
13.2 Die QR- Zerlegung............................ 186
13.2.1 Householder-Transformationen................... 187
13.2.2 QR- Zerlegung mittels
13.3 Die QR-Zerlegung für Ausgleichsprobleme .............. 192
13.4 Die QR Zerlegung angewendet auf das Modellproblem........ 193
13.5 Anmerkungen und Beweise....................... 196
13.5.1 Beweis von Satz 13.3......................... 197
13.5.2 Beweis von Satz 13.10........................ 197
13.5.3 Beweis zu Satz 13.11......................... 197
14 Eigenwertprobleme 198
14.1 Anwendungsprobleme..........................198
Xl
14.2 Einige Grundlagen............................201
14.3 Der (JjR-Algorithmus für allgemeine Matrizen.............202
14.3.1 Reduktion auf Hessenberg-Form..................202
14.3.2 Die QÄ-Iteration...........................203
14.4 Berechnung von Eigenvektoren.....................207
14.5 Die Singulärwertzerlegung........................211
14.6 Anmerkungen und Beweise.......................213
14.6.1 Beweis von Satz 14.4.........................214
14.6.2 Beweis von Satz 14.5.........................214
14.6.3 Beweis von Satz 14.8.........................215
14.6.4 Beweis von Satz 14.14........................215
14.6.5 Beweis von Satz 14.15........................216
A
A.I Finite
A.l.l Die schwache Formulierung einer Differenzialgleichung...... 219
A.1.2 Galerkin-Diskretisierung....................... 221
Ansatzfunktionen und
Diskretisierung der schwachen Formulierung............ 223
Berechnung der einzelnen Matrizen................. 224
A.1.3 Bemerkungen zur
A.1.4 Zusammenfassung der Methode der Finiten Elemente...... 230
A.1.5 Theoretische Eigenschaften..................... 230
A.1.6
A.1.7 Anmerkungen............................. 237
A.2 Lösungsmethoden für große, schwach besetzte Gleichungssysteme . . 238
A.2.1 Bandsysteme............................. 238
A.2.2 LÄ-Zerlegimg für schwach besetzte Systeme............ 240
Umnummerierung mittels Reverse Cuthill-McKee........ 242
Umordnung durch Minimum
A.2.3 Iterative Lösungsmethoden für große Gleichungssysteme..... 244
Einfache Iterationsverfahren..................... 244
Das Verfahren der Konjugierten Gradienten............ 245
xii Inhaltsverzeichnis
Α.
A.2.5 Beweis von Satz A.10 ........................ 250
A.2.6 Beweis zu Satz A.18......................... 251
A.2.7 Beweis zu Satz A.24......................... 251
В
С
C.l Übungen zu Kapitel 2..........................254
C.2 Übungen zu Kapitel 3..........................254
C.3 Übungen zu Kapitel 4..........................256
C.4 Übungen zu Kapitel 5..........................258
C.5 Übungen zu Kapitel 6..........................260
C.6 Übungen zu Kapitel 7..........................263
C.7 Übungen zu Kapitel 8..........................263
C.8 Übungen zu Kapitel 9..........................264
C.9 Übungen zu Kapitel 10 .........................266
CIO Übungen zu Kapitel 11 .........................268
C.ll Übungen zu Kapitel 12 .........................269
C.12 Übungen zu Kapitel 13 .........................270
C.13 Übungen zu Kapitel 14 .........................271
C.14 Übungen zu Kapitel A.2.........................272
D
E
Literaturverzeichnis 277
Index 281
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