Gewöhnliche Differentialgleichungen: eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
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| Beschreibung: | XV, 244 S. graph. Darst. |
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
1.1 Allgemeine Grundbegriffe. 1
1.2 Autonome Differentialgleichungen und Vektorfelder. 2
1.3 Zeitabhängige Differentialgleichungen und Richtungsfelder. 7
1.4 Anfangswertprobleme . 8
1.5 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen. 9
1.6 Übungsaufgaben. 10
2 Der Existenzsatz von Peano 17
2.1 Das Polygonzugverfahren. 17
2.2
2.3 Ein topologisches Resultat. 24
2.4 Lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen. 27
2.5 Das Auswahlaxiom. 30
2.6 Übungsaufgaben. 33
3 Globale Existenz und Eindeutigkeit 37
3.1 Fortsetzen von Lösungen. 37
3.2 Maximale Lösungen . 41
3.3 Das Gronwallsche Lemma. 44
3.4 Eine lokale Lipschitzbedingung impliziert Eindeutigkeit . 47
3.5 Der Laplacesche Dämon. 50
3.6 Übungsaufgaben. 52
4 Phasenportraits und Stabilität 55
4.1 Die allgemeine Lösung. 55
4.2 Hamiltonsche Differentialgleichungen in der Ebene. 58
4.3 Exakte Differentialgleichungen in der Ebene. 61
4.4 Pfaffsche Formen. 62
4.5 Integrierende Faktoren und erste Integale. 64
4.6 Volterra's drei Gesetze. 67
4.7 Die direkte Methode von Ljapunow. 73
4.8 Asymptotische Stabilität mit der direkten Methode. 77
4.9 Übungsaufgaben. 82
XIV Inhaltsverzeichnis
5 Lineare Differentialgleichungen 85
5.1 Das Superpositionsprinzip. 85
5.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . 87
5.3 Variation der Konstanten. 91
5.4 Übungsaufgaben. 92
6 Autonome lineare Systeme 95
6.1 Die Exponentialfunktion für Matrizen. 95
6.2 Der Lösungsraum eines autonomen linearen Systems. 99
6.3 Stabilität autonomer linearer Systeme. 107
6.4 Linearisierte asymptotische Stabiität. 109
6.5 Übungsaufgaben. 112
7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 115
7.1 Stetigkeit der allgemeinen Lösung. 115
7.2 Tubenumgebungen. 116
7.3 Der Picard-Operator. 119
7.4 Differenzierbarkeit der allgemeinen Lösung. 123
7.5 Bemerkungen zur stetigen Abhängigkeit. 127
7.6 Übungsaufgaben. 127
8 Dynamische Systeme und lokale Flüsse 131
8.1 Globale dynamische Systeme. 131
8.2 Allgemeine dynamische Systeme . 132
8.3 Trajektorien. 136
8.4 Flüsse. 138
8.5 Endliche Entweichzeiten. 140
8.6 Übungsaufgaben. 144
9 Langzeitverhalten von Lösungen 147
9.1 Positiv invariante Teilmengen.147
9.2 Die Subtangentialbedingung.149
9.3 Limesmengen und Attraktoren.154
9.4 Übungsaufgaben.159
10 Die Liouvillesche Volumenformel 161
10.1 Das Jordansehe Volumen im euklidischen Raum.161
10.2 Integration auf Jordan-messbaren Mengen.164
10.3 Die Liouvillesche Volumenformel.167
10.4 Diffeomorphismen und Transformationsformel.172
10.5 Beweis der Liouvilleschen Volumenformel.175
10.6 Der
10.7 Der Maxwellsche Dämon.179
10.8 Übungsaufgaben.181
Inhaltsverzeichnis
Anhang 183
A
A.l
A.2
A.3 Produkt zweier topologischer Räume. 186
A.4 Metrische Räume. 187
A.5 Konvergenz und metrische Vollständigkeit. 188
A.6 Dichte Mengen und Überdeckungen. 191
A.7 Stetigkeit. 193
A.8 Funktionenräume. 196
A.9 Der Banachsche Fixpunktsatz und eine Verallgemeinerung. 197
A.10 Lokalkompaktheit und kompakt-offene Ausschöpfungen . 199
A.ll Grenzwerte numerischer Funktionen. 201
A. 12 Übungsaufgaben. 202
В
С
C.l Einführung. 207
C.2 Der Existenzsatz von Peano. 216
C.3 Globale Existenz und Eindeutigkeit. 220
C.4 Phasenportraits und Stabilität . 226
C.5 Lineare Differentialgleichungen. 227
C.6 Autonome lineare Systeme. 229
C.7 Stetigkeit der allgemeinen Lösung. 230
C.8 Dynamische Systeme und lokale Flüsse. 230
C.9 Langzeitverhalten von Lösungen . 231
CIO Die Liouvillesche Volumenformel. 232
C.ll
D
Literaturverzeichnis 237
Stichwortverzeichnis 239 |
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