Geometrische Gruppentheorie: ein Einstieg mit dem Computer ; Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht
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2004
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
vii
1 Einführung in die euklidische Geometrie 1
1.1 Isometrien.............................. 1
1.2 Figuren und Permutationen.................... 4
1.3 Struktur von Isometrien...................... 7
1.4 Höherdimensionale Räume..................... 11
2 Einführung in Gruppen 15
2.1 Gruppendefinition und die Diedergruppen............ 15
2.2 Gruppenordnung und abelsche Gruppen............. 20
2.3 Zyklische Gruppen......................... 24
2.4 Eigenschaften von Gruppen.................... 27
2.5 Die Ordnung eines Elements.................... 29
3 Untergruppen und Homomorphismen 35
3.1 Untergruppen............................ 35
3.2 Nebenklassen und der Satz von Lagrange ............ 43
3.3 Homomorphismen ......................... 47
3.4 Normalteiler ............................ 53
3.5 Translationen............................ 58
4 Gruppenoperationen 61
4.1 Die symmetrische Gruppe..................... 61
4.2 Operationen von Gruppen auf Mengen.............. 66
4.3 Die Bahnformel und die Klassengleichung............ 71
4.4 Cayley-Graphen .......................... 76
4.5 Eine Zerlegung der Ebene..................... 80
5 Gruppenpräsentationen 87
5.1 Gruppenpräsentationen...................... 87
5.2 Freie Gruppen ........................... 92
5.3 Tietze Transformationen und Entscheidbarkeit ......... 96
6 Produkte von Gruppen 103
6.1 Das direkte Produkt........................ 103
6.2 Das freie Produkt ......................... 107
6.3 Das semidirekte Produkt ..................... 109
6.4 Diskontinuierliche Gruppen und Translationen ......... 113
7 Endliche Gruppen 117
7.1 Ein Beispiel............................. 117
7.2 Die Sylowsätze........................... 119
7.3 Einige Gruppen kleiner Ordnung................. 123
7.4 Die orthogonale Gruppe...................... 127
7.5 Reguläre Zerlegungen der 2-Sphäre................ 129
8 Die hyperbolischen Ebene 135
8.1
Axiomatische
Geometrie...................... 135
8.2 Isometrien in der hyperbolischen Ebene............. 139
8.3 Zerlegungen der hyperbolischen Ebene.............. 144
9 Hyperbolische Gruppen 151
9.1 van Kampen Diagramme ..................... 151
9.2 Quasi-Isometrien und der Satz von
Švarc-Milnor
........ 155
9.3 Isoperimetrische Ungleichungen.................. 158
9.4 Hyperbolische Gruppen...................... 163
9.5 Kämmungen ............................ 169
Anhang 173
A Die
Isometrien der Ebene........................ 173
В
Matrizen ................................. 175
С
Zeichenerklärung............................. 179
D
Wichtige Gruppen............................ 181
E
Verwendete GAP Kommandos..................... 182
F
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben ............... 183
G
Erläuterungen zur Literatur....................... 197
Literaturverzeichnis 198
Index 203
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