Sur la théorie de la diffusion pour l'équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr:
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Warszawa
Polska Akad. Nauk, Inst. Matematyczny
2003
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| adam_text | Titel: Sur la théorie de la diffusion pour l équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr
Autor: Häfner, Dietrich
Jahr: 2003
TABLE DES MATIERES
1. Introduction......................................................................................................................................................5
2. Le cadre hilbertieri..........................................................................................................................................7
2.1. Une equation des ondes abstraite....................................................................................................8
2.2. La theorie de Mourre............................................................................................................................9
2.2.1. Rappels..........................................................................................................................................9
2.2.2. Une extension abstraite de la theorie de Mourre.............................. 10
3. Le cadre geometrique....................................................................................................................................14
3.1. Classes de symboles..............................................................................................................................Id
3.2. Hamiltonien separable..........................................................................................................................14
3.3. Hamiltonien perturbe............................................................................................................................15
3.4. Hamiltoniens asymptotiques..............................................................................................................16
4. Etude des hamiltoniens A, hu ct dc leurs espaces de Sobolev associes........................................17
4.1. Resultats techniques..............................................................................................................................17
4.2. Absence de valeurs propres................................................................................................................20
4.3. Estimations de resolvante....................................................................................................................21
4.1. Description du domaine dc h............................................................................................................23
5. Estimation de Mourre....................................................................................................................................25
5.1. Resultats techniques..............................................................................................................................25
5.2. Operateur coujugue pour h................................................................................................................27
5.3. Estimation de Mourre pour h............................................................................................................29
5.4. Operateur conjugue pour L................................................................................................................-33
5.5. Estimation de Mourre pour L..........................................................................................................34
5.6. Estimation de Mourre pour hu..........................................................................................................36
5.7. Estimation de Mourre pour Lu........................................................................................................37
6. Comparaison avee la dynamique separable............................................................................................38
6.1. Resultats techniques..............................................................................................................................38
0.2. Operateurs d onde..................................................................................................................................41
7. Projections asymptotiques..........................................................................................................................42
7.1. Resultats techniques..............................................................................................................................43
7.2. Projections asymptotiques pour L,Lq,Lu....................................................................................45
7.3. Projections asymptotiques pour R,Rq,Ru..................................................................................46
8. Completude asymptotique..........................................................................................................................47
8.1. Dynamiques asymptotiques pour Lq..............................................................................................47
8.2. Dynamiques asymptotiques pour Rq..............................................................................................48
8.3. Dynamiques asymptotiques pour L................................................................................................50
8.4. Dynamiques asymptotiques pour .................................................................................................°0
8.5. Dynamique de Dollard..........................................................................................................................51
9. Application a la metrique de Kerr......................................................
9.1. La metrique de Kerr..............................................................................................................................°^
9.2. L cquation de Klein-Gordon ....................................................................................................53
9.3. Dynamiques asymptotiques........................................................
[3]
4
Table des matieres
9.4. Resultats d existence el d unicite.................................................. 55
9.5. Restriction sur i cspace de solutions................................................ 51
9.6. Discussion physique............................................................... 54
9.7. Verification des hypotheses........................................................ 65
9.8. Jlemarque sur les notations........................................................ 69
9.9. Espaces d encrgic................................................................. 69
9.10. Opcrateurs ct dynamiqucs associees.............................................. 74
9.11. Absence de valeurs propres....................................................... 77
9.12. Opcrateurs d onde................................................................ 9
9.13. Completude asyniptotique........................................................ 80
9.14. Les profils....................................................................... 81
A. Quclques Jemmcs conccrnant le probleme non separable................................. 85
A.l. Rcmarques preliminaircs.......................................................... 85
A.2. Demonstration des Lemines 5.4.1 et 5.4.2.......................................... 86
A.3. Quelques commutateurs...................... .................................... 61
A.4. Lemmes de comparaison.......................................................... 64
B. Quelques lenuncs conccrnant le probleme separable..................................... 68
C. Calcul pseudodiffercnticl...............................................................160
References................................................................................161
Abstract
Within certain spaces of positive energy solutions, we show asymptotic completeness for the
Klein-Gordon equation in the Kerr metric. We compare the Klein-Gordon dynamics with the
free dynamics near the horizon of the black hole and with a modified dynamics of Dollard type
at infinity.
2000 Mathematics Subject Classification; 35L05, 35P25, 35Q75, 58J45, 58J50.
Key words and phrases: scattering theory, Kerr metric, Klein-Gordon equation, asymptotic
completeness.
Received 18.2.2002.
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