Ueber lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung: Vorlesung, gehalten im Sommersemester 1894
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Göttingen
1894
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| adam_text | V orbemerkung
Seite
1
Einleitung: Yon der algebraischen Form der Differential-
gleichungen.
A. Rationale Coefficicnten.
Constantenzählungen, Normirungen................................................ 5
Homogene Variabelen; invariante Darstellungen 12
Einführung des Quotienten ..................................................... 30
Von der allgemeinen Bedeutung der Lame’schen Gleichung......................35
Ii. Algebraische Coefficicnten.
Verschiedene Darstellungen der algebraischen Gebilde............................42
Die Form der Differentialgleichungen bei p = 1 vom Integral u aus . . . 57
Dasselbe bei directcin Ansatz ................................................. 72
Uebertragung auf hyperelliptiselle Gebilde..................................... 82
Die höheren algebraischen Gebilde in kanonischer Darstellung................90
Hauptgegenstand der Vorlesung: Vonden transcendenten
Eigenschaften der Differentialgleichungen.
I. Allgemeine Darlegung.
Die Wege auf der Hienianu’scben Fläche und die Monodromiegruppe . . . 105
l nverzweigte Differentialgleichungen und ihre Beziehung zur Theorie der
Abel’scben Integrale...................................................115
Unsere generelle Fragestellung .............................................. 126
Die conforine Abbildung in der ^-Ebene. Sonderstellung der symmetrischen
Fälle....................’....................·.....................129
Synthetische Mathematik und algorithmische Mathematik.........................139
II. Fragen, boti՛, die Rationalitätsgruppe.
Definition und Bedeutung der llationalitätsgruppe
147
Seite
Fälle algebraischer Integrirbarkeit.
Rationale Integrirbarkeit.................................................159
Ikosaedrische Integrirbarkeit.............................................169
Analoge Ansätze bei linearen Differentialgleichungen dritter Ordnung . . . 187
Theorie der Laine’schen Polynome.
Der allgemeine algebraische Ansatz........................................190
Die Realitätstheoreme und der Beweis von Ptieltjes........................198
Allgemeine Sätze für den hypergeometrischen Fall auf Grund der conformen
Abbildung...........................................................210
Bestätigung dieser Resultate durch die Methode von Stieltjes ..... 226
Ausdehnung der Sätze auf den Fall von 4 singulären Puncten................234
Die zugehörigen Polygone....................................................245
III. Eigentliche transcendente Untersuchungen.
A. Pas Oscillationstkcorem.
Sein ursprüngliches Auftreten bei Sturm und die modernen Weiterbildungen . 256
Genaue Discussion für den Fall der gewöhnlichen Lamé’schen Gleichung . 276
Beziehungen zur Theorie der Lamé’schen Polynome sowie der mit ihnen zu-
sammenhängenden Polygone.....................................................297
Eingreifen der Theorie der elliptischen Functionen..........................315
Die Herinite’sche Gleichung.
Allgemeine analytische Eigenschaften ................................. 323
Realiiätsverhältnisse: Die Reihenfolge der singulären Fälle................338
Elliptisches und hyperbolisches Verhalten in den verschiedenen Intervallen der
x-Axe.................................................................359
Die Gestalt der Polygone in den niedersten Fällen..........................372
Das allgemeine Ergebniss...................................................384
Beziehung zum Oscillationstheorem........................... .... 393
Ausdehnung des Oscillationstheorcras auf allgemeinere Differential-
gleichungen.
n singuläre Puncte ........................................................401
Die „allgemeine·1 Lamé’sche Gleichung......................................412
Veränderliche Exponenten...................................................422
Seite
li. Von den automorphen Functionen.
Beispiele eindeutiger automorpher Functionen.
Dreiecksiünctionen........................................................432
Die doppeltperiodischen Functionen........................................444
Functionen mit unendlich vielen zerstreuten Gränzpuncten..................453
Functionen mit Gränzkreis.................................................465
Insbesondere für höheres Geschlecht.......................................476
Allgemeiner Stand der Theorie.............................................487
Von den Beweisen des Fiindamentaltheorems.
Die Oontinuitätsmethode ..................................................499
Die Methode des Linienelementes mul die der unendlichfach überdeckten Rie-
mann’schen Fläche............................................515—524
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