Schätzung und Spezifikation ökonometrischer neuronaler Netze:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Lohmar [u.a.]
Eul
2003
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Reihe: Quantitative Ökonomie
138 |
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| Beschreibung: | XIII, 245 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3899361830 |
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Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis v
Tabellenverzeichnis ix
Mathematisches Notations- und Symbolverzeichnis xi
1 Einleitung 1
1.1 Ausgangslage 1
1.2 Problemstellung und Zielsetzung der Arbeit 3
1.3 Vorgehensweise 3
2 Ökonometrische neuronale Modelle 5
2.1 Aufbau und Bestandteile allgemeiner vorwärtsgerichteter neuronaler Modelle 5
2.2 Single-Hidden-Layer (SHL) Netzwerkmodelle 10
2.3 Interpretation neuronaler Modelle im Rahmen der Statistik 12
2.3.1 Störterme in neuronalen Modellen 13
2.3.2 Das On-Neuron aus statistischer Perspektive 15
2.3.3 Neuronale Regressionsmodelle 15
2.3.4 Binäres neuronales Logit/Probit Modell 17
2.3.5 Modellselektion und das Bias Varianz Problem 21
2.3.5.1 Das allgemeine Bias Varianz Problem 21
2.3.5.2 Auswirkungen auf die Spezifikation neuronaler Modelle ... 25
2.3.6 Abschließende Interpretation und Vergleich 27
2.4 Datenprobleme und Preprocessing 29
2.4.1 Skalierung der Daten 31
2.4.2 Multikollinearität 34
2.4.2.1 Mögliche Ursachen für Multikollinearität 34
2.4.2.2 Probleme bei Vorliegen von Multikollinearität und Erken¬
nungsmerkmale 35
2.4.2.3 Hauptkomponentenanalyse 35
2.4.3 Dummy Variablen 40
ü INHALTSVERZEICHNIS
3 Schätzen ökonometrischer neuronaler Modelle 42
3.1 Identifikationsprobleme «
3.1.1 Symmetrie in neuronalen Modellen 45
3.1.2 Nicht identifizierte Parameter durch irrelevante bzw. nicht signifikante
verdeckte Neuronen 47
3.2 Maximum-Likelihood-Schätzung neuronaler Modelle 49
3.2.1 Informationsmatrix bzw. Fishersche Informationsmatrix 51
3.2.2 Berechnung bzw. Schätzung der Fisherschen Informationsmatrix ... 54
3.2.3 Bestimmung der Maximum-Likelihood Zielfunktion 58
3.2.3.1 ML-Zielfunktion im neuronalen Regressionsmodell mit nor¬
malverteilten Störtermen 58
3.2.3.2 ML-Zielfunktion im binären neuronalen Logit/Probit Klas¬
sifikationsmodell gl
3.2.4 Schätzung der Informationsmatrix in neuronalen Modellen 62
3.2.4.1 Schätzung der Informationsmatrix im neuronalen Regrcssi-
onsmodell mit normalverteilten Störtermen 62
3.2.4.2 Schätzung der Informationsmatrix im neuronalen Logit/Probit
Modell g-,
3.2.5 Quasi-Maximum-Likelihood -Schätzung 69
3.2.6 Bestimmung des Gradienten in einem neuronalen Modell 71
3.2.7 Bestimmung der Hesse-Matrix in einem neuronalen SHL Modell ... 72
3.3 Unbedingte nichtlineare Optimierungsverfahren 75
3.3.1 Konvergenztests bzw. Abbruchkriterien 78
3.3.2 Line Search _„
3.3.3 Steepest Descent, Backpropagation und verwandte Verfahren 81
3.3.4 Newton Verfahren 83
3.3.5 Quasi Newton/Variable Metrik Verfahren 84
3.3.G Konjugierte Gradienten Methode 90
3.3.6.1 Konjugierte Richtungen zur iterativen Bestimmung des Mi¬
nimums einer allgemeinen quadratischen Funktion 91
3.3.6.2 Bestimmung konjugierter Gradienten als Suchrichtungsvek-
toren g2
3.3.6.3 Anwendung des Verfahrens auf allgemeine nichtlinearc Op-
timierungsprobleme 93
3.3.7 Vergleich der verschiedenen Optimierungsverfahren 96
INHALTSVERZEICHNIS iii
4 Spezifikation neuronaler Modelle 98
4.1 Nicht statistisch motivierte Spezifikationsverfahren 100
4.2 Asymptotische Testverfahren 103
4.2.1 Likelihood Quotienten Test 106
4.2.2 Wald Test 107
4.2.3 Lagrange Multiplier/Efficicnt Score Test im allgemeinen Fall 108
4.2.4 LM Test im neuronalen Regressionsmodell 112
4.2.4.1 LM Test mit Informationsmatrizenschätzer I(i )-im(0) . . . 114
4.2.4.2 LM Test mit Informationsmatrizenschätzer I(i )-hm(Ö, ) und
i{i-y,ora(Ö,ö) 117
4.2.5 LM Test im neuronalen Logit/Probit Klassifikationsmodell 119
4.2.5.1 LM Test mit Informatiorismatrizcnschätzer I(p)jm(0) . . . 120
4.2.5.2 LM Test mit Informationsmatrizcnschätzers I(p)jim{0) ¦ ¦ ¦ 122
4.2.5.3 LM Test mit Informationsmatrizenschätzer i(p):op(AÖ) ¦ ¦ ¦ 122
4.3 Spezifikation mittels Linearisierung der nichtlinearen Aktivierungsfunktion . 124
4.3.1 Testproblem 124
4.3.2 Taylorreihenentwicklung der Aktivierungsfunktionen der verdeckten
Neuronen 120
4.3.3 Durchführung des Taylor-Tests im neuronalen Regressionsmodell . . 131
4.3.4 Durchführung des Taylor-Tests im neuronalen Logit/Probit Modell . 134
4.4 Bedingter Momententest von Stinchcombe und White 136
4.4.1 Grundlegende Annahmen 136
4.4.2 Ansatz und Idee des Testverfahrens 137
4.4.3 Entwicklung der Teststatistiken 140
4.4.4 Vorgehensweise bei der Durchführung der Testverfahren 144
4.5 Multiple Tests 148
4.5.1 Bonferroni Test 149
4.5.2 Bonferroni-Holm-Test 150
4.5.3 Anwendung multipler Tests beim Aufbau Ökonometriseher neuronaler
Modelle 152
4.5.3.1 Bonferroni-Test beim neuronalen Modellaufbau 153
4.5.3.2 Bonferroni-Holm-Test beim neuronalen Modellaufbau .... 155
iv INHALTSVERZEICHNIS
4.5.3.3 Kritische Würdigung der Anwendung multipler Tests in neu¬
ronalen Modellen 156
4.6 Modellselektion mittels Schätzung des IMSE 157
4.7 Modellselektion mittels Informations- und Selektionskriterien 164
4.7.1 Modellselektion mittels Selektionskriterien 164
4.7.1.1 Verallgemeinertes Rv für nichtlineare Regressionsmodelle . . 164
4.7.1.2 Pseudo-fl2 Selektionskriterien für allgemeine Logit/Probit
Modelle 169
4.7.2 Modellselektion mittels Informationskriterien 171
5 Monte—Carlo Simulationsstudien 172
5.1 Kriterien zur Beurteilung der Testverfahren 173
5.2 Untersuchung der Testverfahren zur Überprüfung der Signifikanz verdeckter
Neuronen 174
5.2.1 Testverfahren im neuronalen Regressionsmodell 175
5.2.1.1 Modell 1: Test auf Signifikanz eines verdeckten Neurons . . 175
5.2.1.2 Modell lb: Korrigierter, verallgemeinerter Determinations¬
koeffizient Ry 184
5.2.1.3 Modell 2: Test auf Signifikanz eines zweiten verdeckten Neu¬
rons 187
5.2.1.4 Modell 3: Multiple Tests 196
5.2.2 Testverfahren im neuronalen Logit Modell 202
5.2.2.1 Modell 1: Test auf Signifikanz eines verdeckten Neurons . . 202
5.2.2.2 Modell 2: Multiple Tests 211
5.3 Zusammenfassende Interpretation der Simulationsergebnissc 217
6 Zusammenfassung und Ausblick 220
A Anhang 223
A.l Die Logistischt! Verteilung und deren Quantilfunktion 223
A.2 Höhere Momente normalverteilter Zufallsvariablen 224
A.3 Allgemeine quadratische Funktion für symmetrische Hesse-Matrizen 225
A.4 Simulation eines Zufallspfades eines Gauss-Prozesses 225
Literaturverzeichnis 228
ABBILDUNGSVERZEICHNIS v
Abbildungsverzeichnis
1 Allgemeine Darstellung eines Feedforward Neural Network mit vollständiger
Vernetzung der Neuronen (Kreise) 6
2 Allgemeine Darstellung eines rekurrenten neuronalen Netzes mit beispielhaft
dargestellten Rückkopplungen zwischen einigen Neuronen 6
3 Prinzipieller Aufbau eines Neurons 7
4 Übersicht über häufig verwendete Aktivierungsfunktionen in Neuronen .... 8
5 Allgemeine Darstellung eines Single Hidden-Layer Modells vom Typ (2.2)
mit einer verdeckten Schicht bei vollständiger Vernetzung aller Neuronen und
linearer Aktivierungsfunktion im Ausgabeneuron 12
6 Gemeinsame Darstellung der Verteilungsfunktion A(y) der Standardlogisti¬
schen, sowie der Standardnormalverteilung (y) 22
7 Struktogramm zur Bestimmung der Hauptkomponenten einer Menge von Va¬
riablen Xi,.. .,Xi, welche einen vorgegebenen Anteil der Varianz dieser Va¬
riablen darstellen 39
8 Beispiel für zwei unterschiedliche neuronale Regressionsmodelle., welche auf¬
grund der vorliegenden Symmetrie 1 die gleiche Ausgabe generieren 46
9 Empirische und theoretische Dichte des Parameterschätzers 71 für den Pa¬
rameter 7] eines SHL-Modells mit einem verdeckten Neuron und zwei unab¬
hängigen Variablen für Stichproben der Größe P = 50 (links oben), P — 100
(rechts oben), P = 500 (links unten) und P = 1000 (rechts unten). Der wahre
Wert des Parameters betrug 71 = 2 und es wurden jeweils 10.000 Stichproben
gezogen 55
10 Struktogramm zur allgemeinen Durchführung einer nichtlinearen Optimie¬
rung mittels eines Quasi Newton Verfahrens 89
11 Struktogramm zur allgemeinen Durchführung einer nichtlinearen Optimie¬
rung mittels eines Konjugierte Gradienten Verfahrens (Restart optional: sie¬
he 3.3.7) 95
12 Struktogramm zu einer möglichen allgemeinen Vorgehensweise bei der Spezi¬
fikation eines neuronalen Modells 100
13 Empirische, und asymptotische Dichte, von Teststatistik LMma für den Test
Ho : au = 0 gegen Hx : on ^ 0 unter Gültigkeit von Ho in einem SHL-
Modell mit einem verdeckten Neuron und zwei unabhängigen Variablen für
Stichproben der Größe P = 50 (links oben), P = 100 (rechts oben), P =
500 (links unten) und P = 1000 (rechts unten). Es wurden jeweils 10.000
Stichproben gezogen. Die gepunktete Linie bezeichnet das O.9ö—Quantil der
X2(l) Verteilung 115
vi ABBILDUNGSVERZEICHNIS
14 Empirische und asymptotische Dichte von Teststatistik LMja für den Test
Ho : Qu = 0 gegen H : an ^ 0 unter Gültigkeit von Ho in einem SHL
Modell mit einem verdeckten Neuron und zwei unabhängigen Variablen für
Stichproben der Größe P = 50 (links oben), P = 100 (rechts oben), P =
500 (links unten) und P = 1000 (rechts unten). Es wurden jeweils 10.000
Stichproben gezogen. Die gepunktete Linie bezeichnet das 0,95— Quantil der
X2(l) Verteilung 118
15 Struktogramm zur Durchführung einer Sequenz von LM-Spezifikationstests im
neuronalen Regressionsmodell mittels einer asymptotisch äquivalenten Hilfs-
regression im Rahmen der Linearisierung von Aktivierungsfunktionen zusätz¬
licher verdeckter Neuronen 133
16 Struktogtmnm zur Durchführung einer Sequenz von bedingten Momententests
zur Modellspezifikation im neuronalen Regressionsmodell 147
17 Struktogramm zur allgemeinen Durchführung eines Bonferroni-Holm-Tests . 151
18 Struktogramm zur möglichen Durchführung eines Bonferroni-Tests im Rah¬
men der neuronalen Modellspezifikation 154
19 Struktogramm zur Durchführung eines Bonferroni-Holm-Tests im Rahmen
der neuronalen Modellspezifikation 155
20 Struktogramm zur möglichen Vorgehensweise bei der Modellspezifikation mit
dem IMSE,,-Schätzer CVP 162
21 Darstellung der Orthogonalprojektion von y auf y zur Bestimmung eines ver¬
allgemeinerten Determinationskoeffizienten (R ) 165
22 Simulierte Signifikanzniveaus cts für einen Taylorreihen-Test mit verschie¬
denen Teststatistiken auf Signifikanz eines verdeckten Neurons auf einem Si¬
gnifikanzniveau von a =0,1, 0,05, 0,025, 0,01 (von oben nach unten) mit ac
gleich 10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von äy 177
23 Neuronales Modell (5.180) mit Parameter 71 = -3 (links) und 71 = 3 (rechts)
ohne überlagerten Störterm (oben) und mit überlagertem Störterm mit o~t
gleich 10% (mitte) und 30% (unten) von öy 179
24 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines verdeckten Neu¬
rons für P = 25,50,75,100 (von oben nach unten) mit n = 0,1. n, betrug
10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von öy (Datengenerierendes Modell
(5.180)) 180
25 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines verdeckten Neu¬
ronsfür P = 150,200,500,1000 (von oben nach unten) mit a = 0,1. ac betrug
10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von öy (Datengenerierendes Modell
(5.180)) 181
26 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines verdeckten Neu¬
rons für P = 25, 50, 75,100 (von oben nach unten) mit cre = 30% von äy und
a = 0,05 (linke Seite) bzw. a = 0,01 (rechte Seite) (Datengenerierendes
Modell (5.180)) 182
ABBILDUNGSVERZEICHNIS vii
27 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines verdeckten Neu¬
rons für P = 150,200, 500,1000 (von oben nach unten) mit at = 30% von äy
und a = 0,05 (linke Seite) bzw. a = 0, 01 (rechte Seite) (Datengenerierendes
Modell (5.180)) 183
28 Darstellung der relativen Häufigkeiten der Fälle, in denen i?,- bzgl. eines
neuronalen Regressionsmodells mit einem verdeckten Neuron größer ist als für
ein Modell ohne verdecktes Neuron. Die Standardabweichung des Störterms
a, beträgt 10% (links) bzw. 30% (rechts) von äy (Datengenerierendes Modell
(5.180)) 184
29 Durchschnittliche Werte von Rv bei 10.000 Replikationen für ein neuronales
Regressionsmodell mit einem verdeckten Neuron und ohne für P = 25, 75,
150 und 1000 (von oben nach unten) mit o, = 10% (links) und 30% (rechts)
von äy (Datengenerierendes Modell (5.180)) 18G
30 Simulierte Signifikanzniveaus für einen Taylorreihen Test mit verschiedenen
Teststatistiken auf Signifikanz eines zweiten verdeckten Neurons auf einem
Signifikanzniveau von a =0,1, 0,05, 0,025, 0,01 (von oben nach unten) mit
(J, 10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von äy (Datengenerierendes
Modell (5.182)) 189
31 Neuronales Modell (5.182) mit Parameter 72 = —3 (oben), 72 = 0 (mitte)
und 72 = 3 (unten) ohne überlagerten Störterm (links) und mit überlagerten
Störterm (rechts) mit rf = 30% von dy 191
32 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines zweiten verdeck¬
ten Neurons für P = 25, 50, 75,100 (von oben nach unten) mit a = 0,1. af
betrug 10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von äy (Datengen. Modell
(5.182)) 192
33 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines zweiten verdeck¬
ten Neurons für P = 150, 200,500.1000 (von oben nach unten) mit o = 0.1.
a, betrug 10% (linke Seite) bzw. 30% (rechte Seite) von y (Datengen. Modell
(5.182)) 193
34 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines zweiten verdeck¬
ten Neurons für P = 25,50,75,100 (von oben nach unten) mit a, = 30% von
dy und a = 0,05 (linke Seite) bzw. a = 0,01 (rechte Seite) (Datengen. Mo¬
dell (5.182)) 194
35 Simulierte Powerkurven für einen Test auf Signifikanz eines zweiten verdeck¬
ten Neurons für P = 150, 200,500,1000 (von oben nach unten) mit a, = 30%
von äy und a = 0,05 (linke Seite) bzw. « = 0,01 (rechte Seite) (Daten¬
gen. Modell (5.182)) 195
36 Neuronales Modell (5.184) ohne überlagerten Störterm (oben links) und mit
überlagertem Störterm mit r, = 10% (oben rechts), 30% (unten links) und
50% vonöy 197
37 Neuronales Logit-Modell (5.186) 202
viü ABBILDUNGSVERZEICHNIS
38 Latentes Neuronales Logit-Modell aus (5.186) (links) und resultierende bi¬
näre Funktion der Werte der abhängigen Variable (rechts) ohne überlagerten
Störterm (links) und mit überlagertem Störterm mit r, = ^- 203
39 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen Tests im neuro¬
nalen Logit-Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mit a =0,1 und
at = 25% (oben), 50% und 100% (unten) von ^ 205
40 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen Tests im neuro¬
nalen Logit Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mit a =0,1 und
re = 125% (oben), 150% und 200% (unten) von f 206
41 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen-Tests im neuro¬
nalen Logit- Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mita =0,05 und
at = 25% (oben), 50% und 100% (unten) von ^ 207
42 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen-Tests im neuro¬
nalen Logit-Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mita =0,05 und
o, = 125% (oben), 150% und 200% (unten) von f 208
43 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen-Tests im neuro¬
nalen Logit-Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mita =0,01 und
rt = 25% (oben), 50% und 100% (unten) von ^ 209
44 Simulierte Signifikanzniveaus für verschiedene Taylorreihen-Tests im neuro¬
nalen Logit Modell auf Signifikanz eines verdeckten Neurons mita =0,01 und
at = 125% (oben), 150% und 200% (unten) von f 210
45 Neuronales Logit Modell (5.188) 211
46 Latentes Neuronales Logit-Modell aus (5.188) (links) und resultierende binäre
Funktion der Werte der abhängigen Variable (rechts) ohne überlagerten Stör¬
term (oben) und mit überlagertem Störterm mit at = 30% (mitte) bzw. 50%
(unten) vonäy mal der Standardabweichung der standardloqistischen Verteilung213
TABELLENVERZEICHNIS ix
Tabellenverzeichnis
1 Klassische lineare und neuronale Logit/Probit Modelle 21
2 Vergleich der Terminologien der Bereiche Neuronale Modelle und Statistik
für identische Saehverhalte 28
3 Übersicht über mögliche Schätzer der Informationsmatrix I{p)(O*,a*) im neu¬
ronalen Regressionsmodell 66
4 Übersicht über mögliche Schätzer der Informationsmatrix J(p)(ö*) im neuro¬
nalen Logit/Probit Modell 69
5 Übersicht über die Vor und Nachteile des Konjugierte Gradienten Verfah¬
rens 96
6 Übersicht über die Vor und Nachteile der Quasi Newton Verfahren 97
7 Mögliche Spezifikationsverfahren im identifizierten und nicht identifizierten
neuronalen Modell 99
8 Allgemeine Score und Lagrange Multiplier Teststatistik 110
9 Übersicht über originäre LM Teststatistiken, die Teststatistiken basierend auf
Hilfsregressionen, sowie deren asymptotische Verteilung im neuronalen Re¬
gressionsmodell 119
10 Übersicht über die originären LM Teststatistiken, die Teststatistiken basie¬
rend auf Hilfsregressionen, sowie deren asymptotische Verteilung im neuro¬
nalen Logit/Probit Modell 123
11 Anzahl mittels IMSE—Kriterium zu überprüfender Parameterkombinationen
für ausgewählte Werte von I und J 161
12 Interpretation der Werte des verallgemeinerten Ry 167
13 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMRia, LMR C,
LMitia-,muit und £A/«ic;mii/ resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für
verschiedene Stichprobenumfänge und Standardabweichungen a, des Störtcrms
(vorgegebenes Niveau a = 0,1). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus Mo¬
dell 5.184 gezogen 198
14 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMu a, LMmc,
LMnia;muit und LMHic.muit resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für
verschiedene Stichprobenumfänge und r = 0,5 -dy (vorgegebenes Niveau a =
0,1). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben atbs Modell 5.184 gezogen .... 199
15 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMRia, LMRlc,
LMma;mult und LMtnc:mvit resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für
verschiedene Stichprobenumfänge und Standardabweichungen er, des Störterms
(vorgegebe.nes Niveau a = 0,05). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus
Modell 5.184 gezogen 200
x TABELLENVERZEICHNIS
16 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMRla, LMmc,
LMma-muit und LMRlc.muit resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für
verschiedene Stichprobenumfänge und at = 0,5 -dy (vorgegebenes Niveau a =
0,05). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus Modell 5.184 gezogen .... 201
17 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMKla, LMKlb,
LMKic und LMfc3a resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für ver¬
schiedene Stichprobenumfänge und Standardabweichungen ae des Störterms
(vorgegebenes Niveau a = 0,1). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus
Modell 5.188 gezogen 214
18 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMk i, LMku„
LMK c und LMK3a resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für ver¬
schiedene Stichprobenumfänge und Standardabweichungen ot des Störterms
(vorgegebenes Niveau a = 0,05). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus
Modell 5.188 gezogen 215
19 Relative Häufigkeiten der durch die Anwendung der Tests LMfcia, LMkiö,
LMkic und LMK3a resultierenden Anzahl verdeckter Neuronen J für ver¬
schiedene Stichprobenumfänge und Standardabweichungen af des Störterms
(vorgegebenes Niveau n = 0,01). Es wurden jeweils 10.000 Stichproben aus
Modell 5.188 gezogen 216
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