Algebra und Diskrete Mathematik: 1 Grundbegriffe der Mathematik, Algebraische Strukturen 1, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Algebra
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| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
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Inhaltsverzeichnis
Teil
I
Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen
1 Mathematische Grundbegriffe. 3
1.1 Logische Zeichen. 3
1.2 Elemente der Mengenlehre. 4
1.3 Relationen. 15
1.4 Korrespondenzen, Abbildungen und Verknüpfungen. 21
1.5 Mächtigkeiten, Kardinalzahlen. 27
1.6 Boolesche Funktionen. 35
1.7 Graphen . 45
2 Klassische algebraische Strukturen. 53
2.1 Halbgmppen. 54
2.2 Gruppen. 60
2.3 Ringe und Körper. 76
2.4 Verbände und Boolesche Algebren. 87
Teil
II
Lineare Algebra und analytische Geometrie
3 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen . 101
3.1 Determinanten.102
3.2 Matrizen.120
3.3 Rang von Matrizen.133
3.4 Lösbarkeitskriterien und Lösungsverfahren für LGS.137
4 Vektorräume über einem Körper
К
.151
4.1 Die Definition eines Vektorraums über K, Beispiele.151
4.2 Untervektorräume.155
4.3 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit .158
4.4 Basen.160
XII Inhaltsverzeichnis
4.5
Lineare
Unabhängigkeit und Basen über einem
Untervektorrraum.168
4.6 Dimensionssätze, Isomorphie.172
4.7 Koordinaten, Basistransformationen.174
—> —>
4.8 Anwendungen der Vektoren aus Vi bzw. V3.177
5 Affine Räume.183
5.1 Die Definition eines affinen Raumes, Beispiele.183
5.2 Koordinaten und Koordinatensysteme.185
5.3 Affine Unterräume.186
5.4 Schnitt und Verbindung affiner Räume.190
5.5 Parallele affine Unterräume.191
6 Vektorräume mit Skalarprodukt (Unitäre und Euklidische
VR).193
6.1 Das Skalarprodukt in V2 bzw. V3.193
6.2 Das Skalarprodukt in Vektorräumen über den Körpern
R
oder
С
.204
6.3 Norm (Betrag) von Vektoren.212
6.4 Winkel zwischen Vektoren.215
6.5 Orthogonalität.215
6.6 Das Vektorprodukt.225
7 Euklidische und unitäre affine Punkträume.235
7. l Abstaiidsmessung .235
7.2 Winkel- und Volumenniessung in Euklidischen Punkträumen . 238
7.3 Koordinatentransfomiationen in kartesischen
Koordinatensystemen.239
8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von
Matrizen.247
5.1 Motivation. Grundbegriffe.247
8.2 Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen.253
8.3 Verallgemeinerte Eigenräume.264
8.4 Überführung von symmetrische Matrizen in Diagonalgestalt. 273
8.5 Jordansche
Normalformen
.276
9 Hyperflächen 2. Ordnung.291
9.1 Grundbegriffe.291
9.2 Hauptachsentransfomiation (Beweis von Satz 9.1.1).294
9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung.310
9.4 Klassifikation der Flächen 2. Ordnimg.317
Inhaltsverzeichnis XIII
10 Lineare Abbildungen .323
10.1 Allgemeines über lineare Abbildungen.323
10.2 Adjungierte Abbildungen.333
10.3 Normale Abbildungen.335
10.4 Selbstadjungierte lind antiselbstadjungierte Abbildungen.338
10.5 Unitäre und orthogonale Abbildungen, Isometrien.339
10.6
Normalformen
linearer Abbildungen .340
10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen.342
11 Affine Abbildungen.345
11.1 Allgemeines über affine Abbildungen.345
11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen.348
11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen.349
Teil
III
Numerische Algebra
12 Einführung in die Numerische Mathematik.355
12.1 Fehlertypen.356
12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen.357
12.3 Maschinenzahlen, Rundungsfehler.360
12.4 Intervallarithmetik.362
13 Gleichungsauflösung.367
13.1 Problemstellung, geometrische Deutung.367
13.2 Der Banachsche Fixpunktsatz.369
13.3 Das Newton- Verfahren, die Regula
falai
.373
13.4 Polynomgleichungen.378
13.4.1 Abschätzungen für Polynomnullstellen.378
13.4.2 Das Homer-Schema und das zweizeilige Homer Schema 379
13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnuug von p„,.382
14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung.385
14.1 Der Gauß-Algorithmus (mit Pivot isieruiig) .386
14.2 Vektor- und Matrizennormen .388
14.3 Die Kondition von LGS.391
14.4 Elementare Iterationsverfahren.394
14.4.1 Das Jacobi- Verfahren.394
14.4.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren.397
14.4.3 Konvergenzbedingungen.399
14.5 Projektion.sverfahren.401
14.5.1 Grundidee der
Projektions
verfahren .401
14.5.2 Projektion auf Hyperebenen.403
14.5.3 Gradientenverfahren.404
XIV Inhaltsverzeichnis
15 Interpolation.409
15.1 Einführung.409
15.2 Interpolation mit Polynomen.410
Teil
IV
Übungsaufgaben
16 Übungsaufgaben zum Teil
I
.417
16.1 Aufgaben zum Kapitel 1 .417
16.2 Aufgaben zum Kapitel 2 .429
17 Übungsaufgaben zum Teil
II
.437
17.1 Aufgaben zum Kapitel 3 .437
17.2 Aufgaben zum Kapitel 4 .442
17.3 Aufgaben zum Kapitel 5 .443
17.4 Aufgaben zum Kapitel 6 .445
17.5 Aufgaben zum Kapitel 7 .447
17.6 Aufgaben zum Kapitel 8 .448
17.7 Aufgaben zum Kapitel 9 .450
17.8 Aufgaben zum Kapitel 10 .451
17.9 Aufgaben zum Kapitel 11 .452
18 Übungsaufgaben zum Teil
III
.455
18.1 Aufgaben zum Kapitel 12 .455
18.2 Aufgaben zum Kapitel 13 .456
18.3 Aufgaben zum Kapitel 14 .458
18.4 Aufgaben zum Kapitel 15 .460
Literaturverzeichnis .463
Index.467
Glossar.475 |
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