Zinsderivate: Modelle und Bewertung
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Ein Überblick über zinssensitive Finanztitel............... 1
Zinsstrukturen und Zinsderivate........................... 7
2.1 Zinsstrukturen.......................................... 8
2.1.1 Diskontierungsfunktion............................. 8
2.1.2 Kassazins ........................................ 8
2.1.3 Terminzins....................................... 9
2.1.4 Kurzfristiger Terminzins............................ 11
2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit.................. 12
2.2 Anleihen ............................................... 13
2.2.1 Nullkuponanleihe.................................. 13
2.2.2 Kuponanleihe..................................... 13
2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe .................... 13
2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe................ 14
2.3 Anleiheoptionen......................................... 16
2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen für Anleiheoptionen . 17
2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen für Anleiheoptionen . . 18
2.3.3 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Anleiheoptionen . . 19
2.3.4 Put-Call-Parität für europäische Optionen............ 19
2.4
Forwards
und
Futures
auf Anleihen........................ 20
2.4.1
Forwards
......................................... 20
2.4.2
Futures..........................................
21
2.5
Forwards
und
Futures
auf Zinsen.......................... 22
2.6
Swaps..................................................
23
2.6.1
Payer
und
Receiver Swaps
.......................... 23
2.6 1.
і
Payer Swaps
.............................. 24
2.6.1.2
Receiver Swaps
............................ 24
2 6 1 3
Swap Rate
............................... 24
2.6.2
Forward Swaps
.................................... 25
2.6.3
Swaptioris
........................................ 25
2 7
Caps, Floors
und
Collars
................................ 26
viii Inhaltsverzeichnis
2.7.1
Caps
.............................................
26
2.7.2
Floors
...........................................
28
2.7.3 Cap-Floor-Parität................................. 29
2.7.4
Collars
........................................... 30
2.8 Aufgaben............................................... 31
2.9 Lösungshinweise......................................... 33
3 Bewertung in diskreter Zeit ............................... 35
3.1 Einperiodiges Modell..................................... 36
3.1.1 Modellökonomie................................... 36
3.1.2 ArbitragemögHchkeiten............................. 37
3.1.3 Duplikation....................................... 39
3.1.4 Vollständigkeit.................................... 39
3.15 Risikoneutrales Martingalmaß (RNM)................ 40
3.2 Mehrperiodiges Modell................................... 44
3.2.1 Modellökonomie................................... 44
3.2.2 Duplikat
ion
und Rückwärtsrechnung im Baum........ 46
3.2.3 Vollständigkeit.................................... 47
3.2.4 Arbitragefreiheit.................................. 47
3.2.5 RisikoneutraVe Bewertung.......................... 48
3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen........................ 49
3.2.7 Amerikanische Derivate............................ 49
3.3 Aufgaben............................................... 51
3.4 Losungshinweise......................................... 54
4 Diskrete Zinsmodelle...................................... 57
4Л
Überblick............................................... 57
4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen.......................... 58
4.3 Das Modell von Ho und Lee.............................. 59
4.3.1 Beschreibung des Modells.......................... 59
4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion............ 59
4.3.1.2 Beispiel................................... 65
4.3.1.3 Volatilitätsparameter....................... 65
4.3.1.4 Anleihepreise.............................. 66
4.3.2 Zinsstruktur...................................... 67
4.3.2.1 Short Rate................................ 67
4.3.2.2 Fortführung des Beispiels: Baum der Short Rate 69
4.3.2.3 Kassazinsen............................... 69
4.3.2.4 Terminzinsen.............................. 70
4.3.3 Bewertimg von Derivaten........................... 70
4.3.3.1 Optionen................................. 71
4.3.32
Futures
................................... 73
4.3.3.3 Fortführung des Beispiels:
Futures-
und
Forwardpreis.............................. 75
4.3.3.4
Caps
und
Floors
........................... 75
Inhaltsverzeichnis ix
4.3.3.5 Fortführung des Beispiels: Bewertung von
Caps
und
Floors
........................... 76
-1.4 Das Modell von Black, Derman und
Toy
.................... 79
4.4.1 Baum der Short Rate.............................. 80
4.4.2 Kalibration des Modells............................ 81
4.4.2.1 Gegebene Volatilitäten der Short Rates....... 81
4.4.2.2 Gegebene Volatilitäten der Kassazinsen in
t
= 1 81
4.4.3 Beispiel.......................................... 84
4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung......................... 87
4.6 Aufgaben............................................... 95
4.7 Lösungshinweise......................................... 98
Bewertung in stetiger Zeit.................................105
5.1 Modellökonomie.........................................106
5.2 Grundlagen der stochastischen
Analysis
....................106
5.2.1
Stochastische
Prozesse.............................107
5.2.2 Wiener Prozesse,
stochastische
Differentialgleichungen
und
stochastische
Integrale.........................107
5.23
Itôs
Lemma ......................................111
5.3 Risikoneutrale Bewertung ................................113
5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen Maßes...............114
5.3.2 Bewertung von Derivaten...........................116
5.4 Fundamentale partielle Differentialgleichung................117
5.5 Aufgaben...............................................120
5.6 Lösungshinweise.........................................121
Zeitstetige Zinsmodelle....................................125
6.1 Überblick...............................................125
6.2 Das Modell von
Heath, Jarrow
und
Morton
.................126
6.2.1 Modcllbeschreibung................................126
6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der
Anleihepreise..............................127
6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen.......129
6.2.2 Risikoneutrale Bewertung ..........................130
6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen
Wahrscheinlichkeitsmaßes...................130
6.2.2.2 Stochastik unter dem risikoneutralen Maß.....131
6.2.2.3 Risikoncutrale Bewertung von Derivaten......132
6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung...................132
6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten Maßes 132
6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten
Maß.....................................134
6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von
Derivaten.................................134
6.2.3.4 Beispiel: Bewertung
еіпей
europäischen
Calls
. . 134
I n h
al ts
verze
ich n
is
6.2.3.5 Beispiel:
Forward-
und Futurespreise.........135
6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess .... 136
6.2.5 Gauß-Zinsmodelle.................................137
6.2.5.1 Exkurs: Norraalverteilung und
Lognormal verteil
ung
.......................138
6.2.5.2 Bewertung von Anleihen,
Futures
und
Optionen im Gauß-Zinsmodell...............139
6.2.5.3
G
auft-Zinsmodell mit konstanter Volatilität . .. 144
6.2.5.4 Gauß-Zinsmodell mit exponentiell gedämpfter
Volatilität ................................147
6.3 Das
Libor
Market-Modell................................149
6.3.1 Definition des LiBOR...............................149
6.3.2 Modellierung des Forward-LmOR....................150
6.3.3 Terminal
Measure
.................................151
6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den
terminrisikonangepaßten Maßen .............151
6.3.3.2 Forward-LlBOR unter dem Terminal
Measure
.. 152
6.3.4 Bewertung von Derivaten im LiBOR Market-Modell .... 153
6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung 153
6.3.4.2 Bewertung eines
Caps
......................154
6.4 Das
Swap
Market-Modell.................................155
6.4.1 Definition und Modellierung der
Swap
Rate...........155
6.4.2 Bewertung einer Swaption..........................155
65 Short Rate-Modelle......................................157
6.5.1 Grundlagen.......................................157
6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit...............157
6.5.1.2 Bestimmung des risikoneutralen Maßes.......158
6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short
Rate-Modellen............................159
6.5.1.4 Modellendogene Zinsstruktur................159
6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen
das HJM-Modell...........................160
6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee .... 161
6.5.2.1 Beschreibung des Modells...................162
6.5.2.2 Verhalten der Short Rate...................162
6.5.2.3 Bestimmung der Zinsstruktur...............163
6.5.2.4 Kalibration des Modells....................165
6.5.2.5 Verbindung zum Modell von HJM ...........166
6.5.3 Das Modell von Vasicek............................168
6.5.3.1 Beschreibung des Modells...................168
6.5.3.2 Verhalten der Short Rate...................169
6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur ...............170
6.5.3.4 Kalibration des Modells....................172
6.5.3.5 Verbindung zum Modell von HJM ...........172
6.5.4
„Extended Vasicek
..................... .173
Inhaltsverzeichnis xi
6.5.4.1 Beschreibung des Modells...................173
6.5.4.2 Verhalten der Short Rate...................173
6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur ...............174
6.5.4.4 Kalibration des Modells ....................176
6.5.4.5 Verbindung zum Modell von HJM...........177
6.5.5 Das Modell von
Cox,
Ingersoll und
Ross
..............178
6.5.5.1 Beschreibung des Modells...................178
6.5.5.2 Verhalten der Short Rate...................178
6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur ...............180
6.6 Aufgaben...............................................182
6.7 Lösungshinweise.........................................
І87
Abbildungsverzeichnis
.........................................193
Literatur......................................................195
Index..........................................................197
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