Funktionentheorie: eine Einführung
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
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| Ausgabe: | 6. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 1. und 2. Aufl. unter dem Titel: Einführung in die Funktionentheorie |
| Beschreibung: | 123 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540203923 9783540203926 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit.................1
1.2 Potenzreihen.................................2
1.3 Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen.......................5
1.4 Übungsaufgaben.............................8
1.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben.............9
2. Der Cauchysche Integralsatz
2.1 Kurvenintegrale.............................10
2.2 Der Cauchysche Integralsatz
für ein Rechteck.............................11
2.3 Cauchyscher Integralsatz
für Bilder von Rechtecken...................14
2.4 Übungsaufgaben............................17
2.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben............18
3. Erste Folgerungen
aus dem Cauchyschen Integralsatz
3.1 Die Cauchyformel...........................20
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz...........21
3.3 Satz von
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen.........26
3.5 Identitätssatz und Gebietstreue..............29
3.6 Übungsaufgaben............................32
3.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben............33
viii Inhaltsverzeichnis
4. Isolierte Singularitäten
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitäten......35
4.2 Meromorphe Funktionen....................36
4.3 Laurentreihen...............................37
4.4 Laurentreihenentwicklung...................40
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitäten......42
4.6 Übungsaufgaben............................43
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben............45
5. Analytische Fortsetzung
5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten ... 46
5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel......48
5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen........50
5.4 Analytische Fortsetzung
und Kurvenintegrale........................52
5.5 Homotopie von Wegen......................54
5.6 Der Monodromiesatz........................59
5.7 Übungsaufgaben............................62
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben............63
6. Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung
des Cauchyschen Integralsatzes..............64
6.2 Die Umlaufszahl............................65
6.3 Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes..............69
6.4 Cauchyformel und Residuensatz.............72
6.5 Übungsaufgaben............................74
6.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben............76
7. Der Residuenkalkül
7.1 Vorbemerkungen............................77
7.2 Integrale über die ganze reelle Achse.........78
7.3 Hauptwerte.................................80
7.4 Integrale über die positive reelle Halbachse .. 83
7.5 Integrale über ein Intervall..................84
Inhaltsverzeichnis
7.6 Das Null- und Polstellen zählende Integral.. 85
7.7 Übungsaufgaben...........................88
7.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben...........90
8. Folgen holomorpher Funktionen
8.1 Kompakte Konvergenz.....................91
8.2 Blätterzahlen von Grenzfunktionen.........92
8.3 Lokal beschränkte Folgen...................94
8.4 Der Satz von
8.5 Übungsaufgaben...........................97
8.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben...........98
9. Satz von Mittag-Leffler
und Weierstraßscher Produktsatz
9.1 Der Satz von Mittag-Leffler................99
9.2 Die Partialbruchzerlegung von
9.3 Unendliche Produkte......................102
9.4 Der Weierstraßsche Produktsatz...........104
9.5 Übungsaufgaben..........................107
9.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben.........108
10. Der Riemannsche Abbildungssatz
10.1 Der Satz..................................110
10.2 Erster Beweisschritt.......................112
10.3 Zweiter Beweisschritt.....................114
10.4 Dritter Beweisschritt......................116
10.5 Übungsaufgaben..........................117
10.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben.........118
Literaturverzeichnis............................119
Register..........................................120
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