Mathematik in der Biologie: [jetzt Aufgaben mit Lösungen] ; mit 12 Tabellen
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|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
|
| Ausgabe: | 3., vollst. überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXI, 210 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3540206647 |
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| adam_text | Titel: Mathematik in der Biologie
Autor: Bohl, Erich
Jahr: 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbestandteile mathematisclier Modellicrung.......... 1
1.1 Das Geschehen in diesein Kapit.nl.......................... 1
1.2 Entwicklung von Populationen............................ 2
1.2.1 Zwei Experiment e................................. 2
1.2.2 Vom Experiment zur mathematisehen Beschreibung ... 4
1.2.3 Veranderungen.................................... 6
1.2.4 Ratengleichungen.................................. 7
1.2.5 Ausblick ......................................... 9
1.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen ...................... 10
1.3.1 Eine kombinatorische Aufgabe der Enzymkinctik...... 10
1.3.2 Kinetische Gastheorie als Sonderfall ................. 12
1.3.3 Natiirlicho und ganze Zahlen........................ 15
1.3.4 Rationale und reelle Zahlen......................... 15
1.3.5 Absolut er Betrag reeller Zahlen..................... 1G
1.4 Beschreibung von Vorgangen: Funktionen................... 17
1.4.1 Funktionen....................................... 17
1.4.2 Die logistische Kurve, Verkettung von Funktionen..... 18
1.4.3 Monotone Funktionen.............................. 19
1.4.4 Die Exponentialfunktion ........................... 20
1.4.5 Potenzen......................................... 22
1.4.6 Polynome, rationale Funktionen..................... 23
1.4.7 Konstruktion von Funktionen....................... 25
1.4.8 Der Logarithmus.................................. 27
1.5 Die Veranderungsrat.e von Vorgangen: Ableitung ............ 28
1.5.1 Die Idee der Veranderungsrat.e zu einem festcn Zeitpunkt 28
1.5.2 Definition der Veranderungsratc: Ableitung einer
Funktion......................................... 20
1.5.3 Grundregeln der DifTerentialrechnung................ 32
1.5.4 Konsistenz der Tabellen 1.5 und 1.6 ................. 34
1.5.5 Die logistische Kurve als Losung der Verhulstgleichung . 34
1.5.6 Exponentielles Wachstum .......................... 3G
XVIII Intialtsverzcichius
1.6 Anwcndungen der Ablcitung: Monotonie, Extrcma, Kriimmung 37
1.6.1 Motivation..............................................................................37
1.6.2 Monotonie und Ableitung....................................................37
1.6.3 Monotonieverhalten bci der logistischen Kurve................38
1.6.4 Qualitative Kurvendiskussion..............................................38
1.6.5 Kriimmung und zweitc Ableitung........................................38
1.6.6 Ligandcnbindung an Proteine..............................................40
1.6.7 Sigmoidcs Verhalten bci der logistischen Kurve................43
1.7 Ubungsaufgaben ................................................................................^4
Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung 49
2.1 Das Geschehen in diescm Kapitel.......................... 49
2.2 Qualitative Methoden.................................... 50
2.2.1 Evolution einer reellen Variablen.................... 50
2.2.2 Zeitimabhangige Evolutionen: Stationare Punkte...... 52
2.2.3 Monoton waehsende Evolutionen.................... 53
2.2.4 Monoton fallende Evolutionen....................... 53
2.2.5 Langzeitverhalten von Evolutionen.................. 54
2.2.6 Stabilitat von stationaren Punktcn.................. 54
2.2.7 Wendepunkte..................................... 55
2.2.8 Qualitative Analyse: die Verhulstgleichutig............ 56
2.2.9 Qualitative Analyse: Allgemcine Evolutionen.......... 56
2.3 Quantitative Methoden .................................. 56
2.3.1 Motivation....................................... 56
2.3.2 Die cinfachste Ratengleichung....................... 57
2.3.3 Stanimfunktion................................... 58
2.3.4 Angabe einfacher Stammfunktionen.................. 58
2.3.5 Quantitative Analyse: Separation der Variablen....... 59
2.3.6 Quantitative Analyse: exponentielles und logistisches
Wachstum........................................ 60
2.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung........... 62
2.4.1 Motivation....................................... 62
2.4.2 Integrale......................................... 63
2.4.3 Geometrische Interpretation des Integrals............. 63
2.4.4 Integration als Umkehrung der Differentiation......... 64
2.4.5 Summenregel..................................... 65
2.4.6 Quantitative Behandlung einer Ratengleichung........ 67
2.5 Integral: partielle Integration.............................. 69
2.5.1 Umkehrung der Produktregel....................... 69
2.5.2 RNA-Gehalt einer Zelle............................ 70
2.5.3 Zur Idee der partiellen Integration................... 71
2.6 Existenz und Eindeutigkeit............................... 72
2.6.1 Losbarkeit von Anfangswertaufgaben ................ 72
2.6.2 Losungsgesaintheit ................................ 73
2.7 Ubungsaufgaben ..........................................................73
Inhaltsverzeichnis XIX
2.7.1 Differentialgleichungen, Anfangswcrtaufgaben......... 73
2.7.2 Integration....................................... 76
3 Beschreibung von Vorgangen mit mehr als einer
unabhangigen Variablen................................... 77
3.1 Das Geschehen in diesem Kapitel.......................... 77
3.2 Funktionen mehrercr Veranderlichen GroBen................ 78
3.2.1 Motivation ....................................... 78
3.2.2 Wachstum einer Population auf einem Substrat....... 79
3.2.3 Rauber-Beute-Interaktion.......................... 80
3.2.4 Prabiotische Evolution............................. 81
3.2.5 Zustande von natlirlichen Systemen mit mehr als einer
GroBe............................................ 82
3.2.6 Reelle Funktionen auf Teilmengcn des RN............ 83
3.2.7 Graphische Darstellungsmoglichkeiten................ 84
3.2.8 GroBen und ihre Abhangigkeiten.................... 86
3.2.9 Iinplizite Gleichungen.............................. 87
3.2.10 Implizit definierte Funktionen: allgemeiner Fall........ 87
3.3 Veranderungsrate in Richtung verschiedener Variabler:
partielle Ableitung....................................... 88
3.3.1 Motivation ....................................... 88
3.3.2 Verschiedene Abhangigkeiten bei der logistischen Kurve 89
3.3.3 Partielle Ableitung................................ 90
3.3.4 Zweite partielle Ableitung.......................... 91
3.4 Approximation von Funktionen: Taylor Polynorne........... 92
3.4.1 Motivation ....................................... 92
3.4.2 Taylor Polynorne mit einer Veranderlichen............ 92
3.4.3 Taylor Polynorne der Exponentialfunktion............ 93
3.4.4 Taylor Polynom bei mehreren Veranderlichen......... 95
3.4.5 Taylor Polynom beim Raubcr-Beute-Modell .......... 96
3.5 Veranderungsrate einer GroBe: vollstandiges Differential...... 96
3.5.1 Motivation ....................................... 96
3.5.2 Abhangigkeiten von GroBen und deren Veranderungen . 97
3.5.3 Idee des vollstandigen Differentials .................. 98
3.5.4 Definition des vollstandigen Differentials ............. 99
3.5.5 Wieso ist das vollstandige Differential vollstandig?.....101
3.5.6 Vollstandiges Differential bei Abhangigkeit von nur
einer GroBe ......................................101
3.5.7 Vollstandiges Differential bei Abhangigkeit von zwei
GroBen: Potentiate.................................103
3.6 Rechnen mit Formen, Substitutionsregel fiir Integrale,
implizite Differentiation..................................104
3.6.1 Multiplikation mit dx.............................104
3.6.2 Integration von Formen............................104
3.6.3 Substitutionsregel fiir Integrale......................105
Inhaltsvcrzeichnis
3.G.4 Implizite Differentiation............................
3.7 Ubungsaufgaben ........................................
3.7.1 Fnnktionen mehrerer Veranderlicher.................1U
3.7.2 Vollstandige Differentiate...........................108
Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren:
Lineare .................................................^
4.1 Das Gcschehen in diesem Kapitel..........................
4.2 Rekonstruktion..........................................^
4.2.1 Gescliwindigkeit der Michaelis-Menten-Reaktion.......HI
4.2.2 Rekonstruktion einer Funktion......................H3
4.2.3 Lineare Tlieoriefunktion............................
4.2.4 (d,p)-Matrizen....................................
4.2.5 Matrixmultiplikation ...............................
4.3 Geometric und lineare Abbildungen im R^.................H8
4.3.1 Folilerquadratsuinme...............................H8
4.3.2 Abstand, inneres Produkt..........................H9
4.3.3 Matrix und lineare Abbildung.......................I2*
4.3.4 Transponierte Matrix..............................122
4.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra.....123
4.4.1 Kennzeichnung der Mmimalabweichung..............123
4.4.2 Vollstandige Beschreibung aller Minimierer...........125
4.4.3 Assoziativitat der Matrizenmultiplikation.............126
4.4.4 Eindoutiger Minimierer ............................127
4.4.5 Gradient von h(x).................................128
4.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten 129
4.5.1 Michaelis-Menten-Bestimmung......................129
4.5.2 Lineare Gleichungssysteme in der Ebene..............131
4.5.3 Inversion.........................................132
4.6 Geschwiiuligkeit einer Michaelis-Menten-Aktion.............134
4.G.1 Definition der Gescliwindigkeit v....................134
4.G.2 Rekonstruktion von p(t) zur Bestiminnng von v.......135
4.G.3 Lineare Gleichungssystcme im R3....................137
4.6.4 Gesehwindigkeitsbestimmung aus Felddaten: die
Inversion.........................................139
4.7 Ubungsaufgaben ........................................142
Interaktionen zweier Populationen.........................145
5.1 Das Gescbehen in diesem Kapitel..........................145
5.2 Ligandenbindung........................................146
5.2.1 Die dynamischen Gleiehungen.......................14G
5.2.2 Eine skalare Aufgabe ..............................148
5.2.3 Evolution der Ligandenbindung.....................149
5.2.4 Charakteristik und Ka ............................149
5.3 Substratumsetzcndc Organismen..........................152
Inhaltsverzcichnis XXI
5.3.1 Flaschchencxperiment..............................152
5.3.2 Erhaltungssatz....................................153
5.3.3 Losungsgesamtheit ................................154
5.3.4 Diskussion allcr Losungen..........................155
5.3.5 Phasenebene......................................156
5.4 Lineare Rauber-Beute-Interaktion: Winkclfunktionen.........158
5.4.1 Ein spezielles Raubcr-Bcute-Modell..................158
5.4.2 sin und cos.......................................159
5.4.3 Ruckfiihrung auf cine skalare Gleichung..............160
5.4.4 Eigenschaften von cos und sin.......................162
5.4.5 Anwendung auf das spezielle Rauber-Beute-Modell .... 163
5.5 Die Winkelfunktion tg{t).................................164
5.5.1 Tangens und Arcus Tangens........................164
5.5.2 Ableitung und Stainmfunktion......................164
5.6 Lineare DifTerentialgleichungssysteine in der Ebene: Matrizen
und Eigenwerte .........................................165
5.6.1 Ligandenbindung..................................165
5.6.2 Lineare dynamische Systeme: Rauber-Beute-Modcll.... 167
5.6.3 Alle Losungen von (5.95)...........................168
5.7 Biologische Evolution....................................169
5.7.1 Ausgangspunkt der Uborlegungen...................169
5.7.2 Evolution ciner einzigen Population..................170
5.7.3 Replikations- und Sterberaten.......................171
5.7.4 Evolution zweier Populationen......................172
5.8 Ubungsaufgaben ........................................178
6 Losungen der Ubungsaufgaben.............................181
6.1 Losungen zum Kapitel 1..................................181
6.2 Losungen zum Kapitel 2..................................189
6.3 Losungen zum Kapitel 3..................................193
6.4 Losungen zum Kapitel 4..................................195
6.5 Losungen zum Kapitel 5..................................197
Literaturverzeiclinis ...........................................^03
Sachverzeichnis................................................^97
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| spelling | Bohl, Erich 1936- Verfasser (DE-588)13374678X aut Mathematik in der Biologie [jetzt Aufgaben mit Lösungen] ; mit 12 Tabellen Erich Bohl 3., vollst. überarb. Aufl. Berlin [u.a.] Springer 2004 XXI, 210 S. Ill., graph. Darst. txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Springer-Lehrbuch Biologie (DE-588)4006851-1 gnd rswk-swf Mathematisches Modell (DE-588)4114528-8 gnd rswk-swf Biomathematik (DE-588)4139408-2 gnd rswk-swf (DE-588)4123623-3 Lehrbuch gnd-content Biologie (DE-588)4006851-1 s Mathematisches Modell (DE-588)4114528-8 s DE-604 Biomathematik (DE-588)4139408-2 s HBZ Datenaustausch application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=010663419&sequence=000001&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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