Analysis: 1 : mit 250 Aufgaben samt ausgearbeiteten Lösungen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
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| Ausgabe: | 6., durchgesehene Auflage |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. [403] |
| Beschreibung: | XIII, 412 Seiten Diagramme |
| ISBN: | 354040371X 9783540403715 |
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Datensatz im Suchindex
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Inhaltsverzeichnis
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1
1.1 Vollständige Induktion . 1
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten. 2
1.3 Aufgaben. 5
2 Reelle Zahlen 7
2.1 Die Körperstruktur von K,. 7
2.2 Die Anordnung von R . 8
2.3 Die Vollständigkeit von R. 10
2.4
2.5 Aufgaben. 18
3 Komplexe Zahlen 20
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen. 20
3.2 Die komplexe Zahlenebene. 22
3.3 Algebraische Gleichungen in
3.4 Die Unmöglichkeit einer Anordnung von
3.5 Aufgaben. 26
4 Funktionen 28
4.1 Grundbegriffe . 28
4.2 Polynome . 32
4.3 Rationale Funktionen. 35
4.4 Aufgaben. 39
5 Folgen 41
5.1 Konvergenz von Folgen. 41
5.2 Rechenregeln. 43
5.3 Monotone Folgen. 46
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln_ 48
X
5.5 Der Satz von
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy.
Nochmals die Vollständigkeit von K. 52
5.7 Uneigentliche Konvergenz. 54
5.8 Aufgaben. 56
6 Reihen 59
6.1 Konvergenz von Reihen. 59
6.2 Konvergenzkriterien. 61
6.3 Summierbare Familien. 66
6.4 Potenzreihen. 74
6.5 Aufgaben. 77
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 80
7.1 Stetigkeit. 80
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen. 83
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente
Reihen. 84
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen.
Der Zwischenwertsatz. 86
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen.
Der Satz vom Maximum und Minimum. 88
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. 92
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen. 93
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte. 97
7.9 Aufgaben. 100
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen
Funktionen 103
8.1 Definition der Exponentialfunktion. 103
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente. 107
8.3 Der natürliche Logarithmus. 110
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen.
Allgemeine Potenzen. 112
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe . 114
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen. 117
8.7 Nullstellen und Periodizität. 119
8.8 Die Arcus-Funktionen. 122
8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen. 123
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des
komplexen Logarithmus und des Arcustangens. 125
Inhaltsverzeichnis
8.11 Die Zahl
8.12 Die hyperbolischen Funktionen. 131
8.13 Aufgaben. 133
9 Differentialrechnung 137
9.1 Die Ableitung einer Funktion. 137
9.2 Ableitungsregeln. 141
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz. 144
9.4 Beispiele und Anwendungen. 147
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen. 152
9.6 Ableitungen höherer Ordnung. 154
9.7 Konvexität. 157
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen. 160
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen.
Verallgemeinerter Schrankensatz. 163
9.10 Der Begriff der Stammfunktion. 166
9.11 Eine auf ganz
9.12 Aufgaben. 169
10 Lineare Differentialgleichungen 173
10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung. 173
10.2 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung. 176
10.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten. 180
10.4 Anwendung auf
10.5 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. 185
10.6 Erweiterung des Lösungsbegriffes. 187
10.7 Aufgaben. 189
11 Integralrechnung 191
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration . 191
11.2 Regelfunktionen. 193
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle_ 196
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Stammfunktionen zu Regelfunkt
11.5 Erste Anwendungen. 206
11.6 Integration elementarer Funktionen. 208
11.7 Integration normal konvergenter Reihen . 214
11.8 Riemannsche Summen. 216
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. 218
11.10 Die Eulersche Summationsformel. 223
11.11 Aufgaben. 229
XII Inhaltsverzeichnis
12 Geometrie differenzierbarer Kurven 233
12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe. 233
12.2 Die Bogenlänge. 238
12.3 Parameterwechsel. 242
12.4 Krümmung ebener Kurven. 243
12.5 Die Sektorfiäche ebener Kurven . 246
12.6 Kurven in Polarkoordinaten. 249
12.7 Liftung und Windungzahlen. 252
12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. 255
12.9 Geometrie der Planetenbewegung.
Die drei Keplerschen Gesetze. 256
12.10 Aufgaben. 258
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen 262
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen. 262
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen. 266
13.3 Nicht-lineare Schwingungen.
Die Differentialgleichung x — ƒ
13.4 Aufgaben. 279
14 Lokale Approximation von Funktionen.
Taylorpolynome und Taylorreihen 282
14.1 Approximation durch Taylorpolynome. 282
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen. 286
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Bernoulli-Polynome. 289
14.4 Das Newton-Verfahren. 292
14.5 Aufgaben. 298
15 Globale Approximation von Punktionen.
Gleichmäßige Konvergenz 300
15.1 Gleichmäßige Konvergenz. 300
15.2 Vertauschungssätze. 303
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz. 305
15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für
15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen. 310
15.6 Lokal gleichmäßige Konvergenz.
Der Überdeckungssatz von Heine-Borel. 314
15.7 Der Approximationssatz von
15.8 Aufgaben. 319
Inhaltsverzeichnis XIII
16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen 321
16.1 Der Approximationssatz von
16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen 325
16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet. 329
16.4 Ein Beispiel von
16.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen. 334
16.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer
Funktionen. 336
16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel.
Die Parsevalsche Gleichung. 339
16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem. 342
16.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion. 343
16.10 Die Poissonsche Summenformel . 347
16.11 Aufgaben. 349
17 Die Gammafunktion 351
17.1 Die Gammafunktion nach Gauß. 351
17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und
Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung. 355
17.3 Die Stirlingsche Formel . 357
17.4 Aufgaben. 360
Biographische Notiz zu Euler 361
Lösungen zu den Aufgaben 362
Literatur 403
Bezeichnungen 404
Namen- und Sachverzeichnis 406
KONRAD KOENIGSBERGER ANALYSIS 1 SECHSTE, DURCHGESEHENE AUFLAGE MIT 161
ABBILDUNGEN UND 250 AUFGABEN SAMT AUSGEARBEITETEN LOESUNGEN SPRINGER
INHALTSVERZEICHNIS 1 NATUERLICHE ZAHLEN UND VOLLSTAENDIGE INDUKTION 1 1.1
VOLLSTAENDIGE INDUKTION 1 1.2 FAKULTAET UND BINOMIALKOEFFIZIENTEN 2 1.3
AUFGABEN 5 2 REELLE ZAHLEN 7 2.1 DIE KOERPERSTRUKTUR VON H 7 2.2 DIE
ANORDNUNG VON ET 8 2.3 DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON R 10 2.4 R IST NICHT
ABZAEHLBAR 16 2.5 AUFGABEN 18 3 KOMPLEXE ZAHLEN 20 3.1 DER KOERPER DER
KOMPLEXEN ZAHLEN 20 3.2 DIE KOMPLEXE ZAHLENEBENE 22 3.3 ALGEBRAISCHE
GLEICHUNGEN IN C 24 3.4 DIE UNMOEGLICHKEIT EINER ANORDNUNG VON C 26 3.5
AUFGABEN 26 4 FUNKTIONEN 28 4.1 GRUNDBEGRIFFE 28 4.2 POLYNOME 32 4.3
RATIONALE FUNKTIONEN 35 4.4 AUFGABEN. '. 39 5 FOLGEN 41 5.1 KONVERGENZ
VON FOLGEN 41 5.2 RECHENREGELN 43 5.3 MONOTONE FOLGEN 46 5.4 EINE
REKURSIONSFOLGE ZUR BERECHNUNG VON QUADRATWURZELN 48 X
INHALTSVERZEICHNIS 5.5 DER SATZ VON BOLZANO-WEIERSTRASS 50 5.6 DAS
KONVERGENZKRITERIUM VON BOLZANO-CAUCHY. NOCHMALS DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON
H 52 5.7 UNEIGENTLICHE KONVERGENZ 54 5.8 AUFGABEN 56 6 REIHEN 59 6.1
KONVERGENZ VON REIHEN 59 6.2 KONVERGENZKRITERIEN 61 6.3 SUMMIERBARE
FAMILIEN 66 6.4 POTENZREIHEN 74 6.5 AUFGABEN 77 7 STETIGE FUNKTIONEN.
GRENZWERTE 80 7.1 STETIGKEIT 80 7.2 RECHNEN MIT STETIGEN FUNKTIONEN 83
7.3 ERZEUGUNG STETIGER FUNKTIONEN DURCH NORMAL KONVERGENTE REIHEN 84 7.4
STETIGE REELLE FUNKTIONEN AUF INTERVALLEN. DER ZWISCHENWERTSATZ 86 7.5
STETIGE FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN MENGEN. DER SATZ VOM MAXIMUM UND
MINIMUM 88 7.6 ANWENDUNG: BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES DER ALGEBRA 92
7.7 STETIGE FORTSETZUNG. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 93 7.8 EINSEITIGE
GRENZWERTE. UNEIGENTLICHE GRENZWERTE 97 7.9 AUFGABEN 100 8 DIE
EXPONENTIALFUNKTION UND DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 103 8.1
DEFINITION DER EXPONENTIALFUNKTION 103 8.2 DIE EXPONENTIALFUNKTION FUER
REELLE ARGUMENTE 107 8.3 DER NATUERLICHE LOGARITHMUS 110 8.4
EXPONENTIALFUNKTIONEN ZU ALLGEMEINEN BASEN. ALLGEMEINE POTENZEN 112 8.5
BINOMIALREIHEN UND LOGARITHMUSREIHE 114 8.6 DEFINITION DER
TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 117 8.7 NULLSTELLEN UND PERIODIZITAET 119
8.8 DIE ARCUS-FUNKTIONEN 122 8.9 POLARKOORDINATEN KOMPLEXER ZAHLEN 123
8.10 GEOMETRIE DER EXPONENTIALABBILDUNG. HAUPTZWEIG DES KOMPLEXEN
LOGARITHMUS UND DES ARCUSTANGENS 125 INHALTSVERZEICHNIS XI 8.11 DIE ZAHL
T T 129 8.12 DIE HYPERBOLISCHEN FUNKTIONEN 131 8.13 AUFGABEN 133 9
DIFFERENTIALRECHNUNG 137 9.1 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 137 9.2
ABLEITUNGSREGELN 141 9.3 MITTELWERTSATZ UND SCHRANKENSATZ 144 9.4
BEISPIELE UND ANWENDUNGEN 147 9.5 REIHEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN
152 9.6 ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 154 9.7 KONVEXITAET 157 9.8 KONVEXE
FUNKTIONEN UND UNGLEICHUNGEN 160 9.9 FAST UEBERALL DIFFERENZIERBARE
FUNKTIONEN. VERALLGEMEINERTER SCHRANKENSATZ 163 9.10 DER BEGRIFF DER
STAMMFUNKTION 166 9.11 EINE AUF GANZ K STETIGE, NIRGENDS
DIFFERENZIERBARE FUNKTION . 168 9.12 AUFGABEN 169 10 LINEARE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 173 10.1 EINDEUTIGKEITSSATZ UND
DIMENSIONSABSCHAETZUNG 173 10.2 EIN FUNDAMENTALSYSTEM FUER DIE HOMOGENE
GLEICHUNG 176 10.3 PARTIKULAERE LOESUNGEN BEI SPEZIELLEN INHOMOGENITAETEN
180 10.4 ANWENDUNG AUF SCHWINGUNGSPROBLEME 182 10.5 PARTIKULAERE LOESUNGEN
BEI ALLGEMEINEN INHOMOGENITAETEN 185 10.6 ERWEITERUNG DES
LOESUNGSBEGRIFFES 187 10.7 AUFGABEN 189 11 INTEGRALRECHNUNG 191 11.1
TREPPENFUNKTIONEN UND IHRE INTEGRATION 191 11.2 REGELFUNKTIONEN 193 11.3
INTEGRATION DER REGELFUNKTIONEN UEBER KOMPAKTE INTERVALLE 196 11.4 DER
HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG. STAMMFUNKTIONEN ZU
REGELFUNKTIONEN 199 11.5 ERSTE ANWENDUNGEN 206 11.6 INTEGRATION
ELEMENTARER FUNKTIONEN 208 11.7 INTEGRATION NORMAL KONVERGENTER REIHEN
214 11.8 RIEMANNSCHE SUMMEN 216 11.9 INTEGRATION UEBER NICHT KOMPAKTE
INTERVALLE 218 11.10 DIE EULERSCHE SUMMATIONSFORMEL 223 11.11 AUFGABEN
229 XII INHALTSVERZEICHNIS 12 GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER KURVEN 233
12.1 PARAMETRISIERTE KURVEN. GRUNDBEGRIFFE 233 12.2 DIE BOGENLAENGE 238
X2.3 PARAMETERWECHSEL 242 12.4 KRUEMMUNG EBENER KURVEN 243 12.5 DIE
SEKTORFLAECHE EBENER KURVEN 246 12.6 KURVEN IN POLARKOORDINATEN 249 12.7
LIFTUNG UND WINDUNGZAHLEN 252 12.8 NOCH EIN BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES
DER ALGEBRA 255 12.9 GEOMETRIE DER PLANETENBEWEGUNG. DIE DREI
KEPLERSCHEN GESETZE 256 12.10 AUFGABEN 258 13 ELEMENTAR INTEGRIERBARE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 262 13.1 WACHSTUMSMODELLE. LINEARE UND
BERNOULLISCHE GLEICHUNGEN . 262 13.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT
GETRENNTEN VERAENDERLICHEN 266 13.3 NICHT-LINEARE SCHWINGUNGEN. DIE
DIFFERENTIALGLEICHUNG X = F(X) 273 13.4 AUFGABEN 279 14 LOKALE
APPROXIMATION VON FUNKTIONEN. TAYLORPOLYNOME UND TAYLORREIHEN 282 14.1
APPROXIMATION DURCH TAYLORPOLYNOME 282 14.2 TAYLORREIHEN. RECHNEN MIT
POTENZREIHEN 286 14.3 BERNOULLI-ZAHLEN UND COTANGENSREIHE.
BERNOULLI-POLYNOME 289 14.4 DAS NEWTON-VERFAHREN 292 14.5 AUFGABEN 298
15 GLOBALE APPROXIMATION VON FUNKTIONEN. GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 300
15.1 GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 300 15.2 VERTAUSCHUNGSSAETZE 303 15.3
KRITERIEN FUER GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 305 15.4 ANWENDUNG: DIE EULERSCHEN
FORMELN FUER C(2RO) 309 15.5 APPROXIMATION DURCH HALTUNG MIT DIRAC-FOLGEN
310 15.6 LOKAL GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ. DER UEBERDECKUNGSSATZ VON
HEINE-BOREL 314 15.7 DER APPROXIMATIONSSATZ VON STONE 316 15.8 AUFGABEN
319 INHALTSVERZEICHNIS XIII 16 APPROXIMATION PERIODISCHER FUNKTIONEN.
FOURIERREIHEN 321 16.1 DER APPROXIMATIONSSATZ VON FEJER 321 16.2
DEFINITION DER FOURIERREIHEN. ERSTE BEISPIELE UND ANWENDUNGEN 325 16.3
PUNKTWEISE KONVERGENZ NACH DIRICHLET 329 16.4 EIN BEISPIEL VON FEJER 332
16.5 DIE BESSELSCHE APPROXIMATION PERIODISCHER FUNKTIONEN 334 16.6
FOURIERREIHEN STUECKWEISE STETIG DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN 336 16.7
KONVERGENZ IM QUADRATISCHEN MITTEL. DIE PARSEVALSCHE GLEICHUNG 339 16.8
ANWENDUNG: DAS ISOPERIMETRISCHE PROBLEM 342 16.9 WAERMELEITUNG IN EINEM
RING. DIE THETAFUNKTION 343 16.10 DIE POISSONSCHE SUMMENFORMEL 347 16.11
AUFGABEN 349 17 DIE GAMMAFUNKTION 351 17.1 DIE GAMMAFUNKTION NACH GAUSS
351 17.2 DER EINDEUTIGKEITSSATZ DER GAMMAFUNKTION VON BOHR UND MOLLERUP.
DIE EULERSCHE INTEGRALDARSTELLUNG 355 17.3 DIE STIRLINGSCHE FORMEL 357
17.4 AUFGABEN 360 BIOGRAPHISCHE NOTIZ ZU EULER 361 LOSUNGEN ZU DEN
AUFGABEN 362 LITERATUR 403 BEZEICHNUNGEN 404 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS
406 |
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