Einführung in die Systemtheorie: Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
2003
|
| Ausgabe: | 2., korr. und aktualisierte Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverzeichnis Seite [545]-546 |
| Beschreibung: | XVII, 553 S.: Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 351916194X |
Internformat
MARC
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Titel: Einführung in die Systemtheorie
Autor: Girod, Bernd
Jahr: 2003
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Signale 1
1.2 Systeme 5
1.2.1 Was ist ein System? 5
1.2.2 Der Anspruch der Systemtheorie 7
1.2.3 Lineare, zeitinvariante Systeme 7
1.2.3.1 Linearitat eines Systems 7
1.2.3.2 Zeitinvarianz eines Systems 9
1.2.3.3 LTI-Systeme 10
1.2.4 Beispiele fur Systeme 10
1.2.4.1 Elektrische Netzwerke 10
1.2.4.2 Weitere Beispiele fiir Systeme 11
1.2.5 Einteilung von Systemen 12
1.3 Ubersicht iiber dieses Buch 13
1.4 Aufgaben 14
2 Beschreibung kontinuierlicher LTI-Systeme im Zeitbereich 17
2.1 Differentialgleichungen 17
2.1.1 Systemanalyse 17
2.1.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 18
2.2 Blockdiagramme 19
2.2.1 Direktform I 20
2.2.2 Direktform II 20
2.2.3 Direktform III 24
2.2.4 Warum realisiert man LTI-Systeme nicht mit Differenzierern? . . 26
2.2.5 Elektrische Realisierung eines Integrierers mit einem Operations-
verstarker 27
2.3 Zustandsraumbeschreibung von LTI-Systemen 29
2.3.1 Beispiel zur Zustandsraumbeschreibung 29
2.3.2 Allgemeine Form der Zustandsraumbeschreibung 30
2.4 Differentialgleichung, Blockdiagramm und Zustandsraumbeschreibung . 31
2.5 Aquivalente Zustandsraumdarstellungen 33
2.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 35
X
Inhaltsverzeichnis
2.7 Zusammenfassung ^
2.8 Aufgaben
Beschreibung von LTI-Systemen im Frequenzbereich 43
3.1 Komplexe Frequenzen
3.1.1 Was ist eine komplexe Frequenz?
3.1.2 Komplexe Frequenz: Beispielsignale
3 1.3 Die komplexe Frequenz-Ebene
46
3.2 Eigenfunktionen
3.2.1 Was sind Eigenfunktionen?
3.2.2 Eigenfunktionen von LTI-Systemen 48
3.2.3 Beispiel: RLC-Netzwerk ^
3.2.4
3.2.5 Normierung
3.3 Aufgaben ^
Laplace-Transformation
4.1 Verallgemeinerung des Eigenfunktionsansatzes 58
4.2 Definition der Laplace-Transformation 58
4.3 Einseitige und zweiseitige Laplace-Transformation 60
4.4 Beispiele zur Laplace-Transformation 61
4.5 Konvergenzbereich der Laplace-Transformation 64
4.5.1 Uneigentliche Integrate 65
4.5.2 Singularitaten 65
4.5.3 Eigenschaften des Konvergenzbereiehs 67
4.6 Existenz und Eindeutigkeit der Laplace-Transformierten 68
4.6.1 Existenz der Laplace-Transformierten 68
4.6.2 Eindeutigkeit der inversen Laplace-Transformation 70
4.7 Eigenscbaften und Satze der Laplace-Transformation 72
4.7.1 Linearitat der Laplace-Transformation 72
4.7.2 Verschiebung im Zeitbereich oder Frequenzbereich 73
4.7.3 Skalierung der Zeitachse oder der Frequenzebene 73
4.7.4 Differentiation und Integration im Zeitbereich 74
4.7.5 Differentiationssatz und Integrationssatz fur die
einseitige Laplace-Transformation 74
4.7.6 Differentiationssatz fur stiickweise glatte Signale 76
4.7.7 Differentiation im Frequenzbereich 79
4.7.8 Tabelle der wichtigsten Laplace-Transformierten 79
4.8 Aufgaben v. . .80
Komplexe Funktionervtheorie und inverse Laplace-Transformation 82
5.1 Wegintegral in der komplexen Ebene 82
5.2 Hauptsatz der Funktionentheorie 83
5.3 Ringintegrale um Singularitaten 84
5.4 Integralformel von Cauchy gg
Inhaltsverzeichnis XI
5.4.1 Residuenberechnung 87
5.4.2 Integration parallel zur imaginaren Achse 88
5.4.3 Bedeutung der Integralformel von Cauchy 90
5.5 Inverse Laplace-Transformation 90
5.5.1 Inverse einseitige Laplace-Transformation 90
5.5.2 Inverse zweiseitige Laplace-Transformation 91
5.5.3 Integrationsweg fur die inverse Laplace-Transformation 92
5.5.4 Berechnung der inversen Laplace-Transformation mit dem Resi-
duensatz 93
5.5.5 Praktische Berechnung der inversen Laplace-Transformation . 96
5.6 Aufgaben 98
6 Analyse zeitkontinuierlicher LTI-Systeme mit der Laplace-Transfor¬
mation 100
6.1 Systemreaktion auf zweiseitige Eingangssignale 100
6.2 Berechung der Systemfunktion 102
6.3 Pole und Nullstellen der Systemfunktion 105
6.4 Berechnung der Systemfunktion aus Differentialgleichungen 107
6.5 Zusammenfassendes Beispiel 108
6.6 Kombination von einfachen LTI-Systemen 110
6.6.1 Reihenschaltung 110
6.6.2 Parallelschaltung Ill
6.6.3 Riickkopplung Ill
6.7 Kombination von LTI-Systemen mit mehreren Ein- und Ausgangen . . . 113
6.7.1 Reihenschaltung 114
6.7.2 Parallelschaltung 114
6.7.3 Riickkopplung 115
6.8 Analyse von Zustandsraumbeschreibungen 116
6.9 Aufgaben 118
7 Losung von Anfangswertproblemen mit der Laplace-Transformation 120
7.1 Systeme erster Ordnung 120
7.1.1 Klassische Losung von Anfangswertproblemen 121
7.1.2 Externer und interner Anteil der Losung 122
7.1.3 Anfangswert und Anfangszustand 124
7.1.4 Beispiel: Anfangswertproblem mit harmonischer Erregung . 127
7.1.5 Zusammenfassung 130
7.2 Systeme zweiter Ordnung 130
7.3 Systeme hoherer Ordnung 132
7.3.1 Losung der Zustandsraumdifferentialgleichung 132
7.3.2 Berechnung des Anfangszustands aus den Anfangswerten . 137
7.3.3 Berechnung des internen Anteils im Zeitbereich 139
7.4 Bewertung der Verfahren zur Losung von Anfangswertproblemen . 142
7.5 Linearitat von Systemen mit Anfangszustand 144
7.6 Aufgaben 145
XII
Inhaltsverzeichnis
147
Faltung und Impulsantwort ^
8.1 Motivation
8.2 Zeitverhalten eines RC-Netzwerks °
8.2.1 Systemfunktion
8.2.2 Reaktion auf einen Rechteckimpuls
8.2.3 Reaktion auf sehr kurze Rechteckimpulse 150
8.3 Der Delta-Impuls
8.3.1 Einfiihrung ^
8.3.2 Ausblendeigenschaft
8.3.3 Impulsantwort
8.3.4 Rechenregeln fiir Delta-Impulse 154
8.3.4.1 Linearkombination von Delta-Impulsen 154
8.3.4.2 Skalierung der Zeitachse 154
8.3.4.3 Multiplication mit einer stetigen Funktion 155
8.3.4.4 Derivation 156
8.3.4.5 Integration 151
8.3.5 Anwendung von Delta-Impulsen 158
8.4 Faltung 1®®
8.4.1 Systembeschreibung durch Impulsantwort 160
8.4.2 Impulsantwort und Systemfunktion 162
8.4.3 Berechnung des Faltnngsintegrals 165
8.4.4 Impulsantworten spezieller Systeme 167
8.4.4.1 Integrierer 167
8.4.4.2 Differenzierer 168
8.4.4.3 Verzogerungsglieder 169
8.4.4.4 Bausteine der Regelungstechnik 171
8.4.5 Kombination einfacher LTI-Systeme 172
8.4.6 Faltung durch Hinschauen 174
8.5 Anwendungen 180
8.5.1 Suchfilter (Matched Filter) 180
8.5.2 Entfaltung 182
8.6 Aufgaben 184
Fourier-Transformation 186
9.1 Riickblick auf die Laplace-Transformation 186
9.2 Definition der Fourier-Transformation 187
9.2.1 Hintransformation 187
9.2.2 Existenz der Fourier-Transformation 188
9.3 Unterschiede zwischen Fourier- und Laplace-Transformation 189
9.4 Beispiele zur Fourier-Transformation 191
9-4-1 Fourier-Transformierte des Delta-Impulses 191
9.4.2 Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion 192
9.4.3 Fourier-Transformierte einer komplexen Exponentialfunktion . . 196
9.4.4 Fourier-Transformierte von j igg
9.5 Symmetrien der Fourier-Transformation ^ 199
Inhaltsverzeichnis XIII
9.5.1 Gerade und ungerade Funktionen 200
9.5.2 Konjugierte Symmetrie 201
9.5.3 Symmetriebeziehungen fiir reellwertige Zeitsignale 201
9.5.4 Symmetriebeziehungen fur imaginare Zeitsignale 203
9.5.5 Symmetriebeziehungen fiir komplexwertige Signale 203
9.6 Inverse Fourier-Transformation 204
9.7 Satze zur Fourier-Transformation 205
9.7.1 Linearitat der Fourier-Transformation 206
9.7.2 Ahnlichkeitssatz 206
9.7.3 Dualitat 207
9.7.4 Faltungssatz der Fourier-Transformation 211
9.7.5 Multiplikationssatz 213
9.7.6 Verschiebungssatz und Modulationssatz 216
9.7.7 Differentiationssatze 217
9.7.8 Integrationssatz 218
9.8 Parsevalsches Theorem 219
9.9 Korrelation deterministischer Signale 221
9.9.1 Definition 221
9.9.2 Eigenschaften 222
9.9.2.1 Zusammenhang mit der Faltung 222
9.9.2.2 Symmetrie 223
9.9.2.3 Kommutativitat 223
9.9.2.4 Fourier-Transformierte von Korrelationsfunktionen . . . 223
9.10 Zeit-Bandbreite-Produkt 225
9.10.1 Flachengleiches Rechteck 225
9.10.2 Toleranzschemata 227
9.10.3 Momente zweiter Ordnung 228
9.10.4 Zusammenfassung 229
9.11 Aufgaben 230
10 Bode-Diagramme 233
10.1 Einfiihrung 233
10.2 Beitrage einzelner reeller Pole und Nullstellen 234
10.3 Bode-Diagramm fiir mehrere reelle Pole und Nullstellen 237
10.4 Regeln fiir Bode-Diagramme 239
10.4.1 Betragsfrequenzgang 240
10.4.2 Phasenverlauf 240
10.5 Komplexe Pol- und Nullstellenpaare 241
10.6 Aufgaben 246
11 Abtastung und periodische Signale 251
11.1 Einleitung 251
11.2 Delta-Impulskamm und periodische Funktionen 252
11.2.1 Delta-Impulskamm und seine Fourier-Transformierte 252
11.2.2 Fourier-Transformierte periodischer Signale 254
XIV
Inhaltsverzeichnis
11.2.3 Faltung eines periodischen und eines aperiodischen Signals . 256
11.2.4 Periodische Faltung ^
11.3 Abtastung
11.3.1 Ideale Abtastung
11.3.2 Abtasttheorem
11.3.3 Abtasttheorem fur komplexwertige Bandpafi-Signale 264
11.3.4 Abtasttheorem fur reellwertige Bandpafi-Signale 266
11.3.5 Nichtideale Abtastung 269
11.3.6 Nichtideale Rekonstruktion 272
11.3.7 Abtastung im Frequenzbereich 275
97ft
11.4 Aufgaben
12 Diskrete Signale und ihr Spektrum 284
12.1 Diskrete Signale 284
12.2 Einfache Zahlenfolgen 28^
12.2.1 Diskreter Einheitsimpuls 286
12.2.2 Diskreter Einheitssprung 287
12.2.3 Exponentialfolgen 287
12.3 Fourier-Transformierte einer Folge 289
12.3.1 Definition der ^-Transformation 290
12.3.2 Inverse IF*-Transformation 290
12.3.3 Korrespondenzen der ^-Transformation 290
12.3.3.1 T*-Transformierte des diskreten Einheitsimpulses . . . 291
12.3.3.2 .F*-Transformierte der ungedampften komplexen Expo-
nentialfolge 291
12.3.3.3 ^.-Transformierte des diskreten Einheitssprungs . 292
12.3.3.4 JF*-Transformierte einseitiger Exponentialfolgen . 293
12.3.3.5 -F»-Transformation einer Rechteckfolge 293
12.4 Abtastung kontinuierlicher Signale 294
12.5 Satze der ^.-Transformation 296
12.5.1 Linearitat 296
12.5.2 Verschiebungs- und Modulationssatz 296
12.5.3 Faltungssatz der ^-Transformation 297
12.5.4 Multiplikationssatz 297
12.5.5 Satz von Parseval 298
12.5.6 Symmetrien der Fourier-Transformation diskreter Signale . 298
12.6 Aufgaben jqq
13 z-Transformation 3Q3
13.1 Definition und Beispiele 3Q3
13.1.1 Definition der zweiseitigen z-Transformation 303
13.1.2 Beispiele zur z-Transformation 304
13.1.3 Anschauliche Deutung der z-Ebene . . . 307
13.2 Konvergenzbereich der z-Transformation . 307
13.3 Beziehungen zu anderen Transformationen 310
Inhaltsverzeichnis XV
13.3.1 ^-Transformation und Fourier-Transformation von Folgen . 310
13.3.2 z-Transformation und Laplace-Transformation 312
13.4 Satze der z-Transformation 314
13.5 Inverse z-Transformation 316
13.6 Pol-Nullstellen-Diagramm in der z-Ebene 319
13.7 Aufgaben 321
14 Zeitdiskrete LTI-Systeme 325
14.1 Einfiihrung 325
14.2 Linearitat und Zeitinvarianz 325
14.3 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koefhzienten 326
14.3.1 Differenzengleichungen und Differentialgleichungen 326
14.3.2 Losung von linearen Differenzengleichungen 327
14.3.2.1 Numerische Losung 327
14.3.2.2 Analytische Losung 327
14.4 Eigenfolgen und Systemfunktion diskreter LTI-Systeme 327
14.4.1 Eigenfolgen 327
14.4.2 Systemfunktion 329
14.4.3 Berechnung der Systemfunktion aus der Differenzengleichung . . 330
14.5 Beschreibung durch Blockdiagramme und im Zustandsraum 332
14.5.1 Direktform I 332
14.5.2 Direktform II 333
14.5.3 Zustandsraumbeschreibung diskreter LTI-Systeme 333
14.6 Diskrete Faltung und Impulsantwort 336
14.6.1 Berechnung der Systemreaktion durch diskrete Faltung 337
14.6.2 Faltungssatz der z-Transformation 338
14.6.3 Systeme mit endlich und unendlich langer Impulsantwort . 339
14.6.4 Berechnung der diskreten Faltung 342
14.7 Aufgaben 346
15 Kausalitat und Hilbert-Transformation 352
15.1 Kausale Systeme 352
15.1.1 Allgemeine Systeme 353
15.1.2 Lineare Systeme 353
15.1.3 LTI-Systeme 354
15.2 Kausale Signale 355
15.2.1 Zeitbereich 355
15.2.2 Spektren kausaler Signale 356
15.2.2.1 Kontinuierliche Signale 356
15.2.2.2 Diskrete Signale 357
15.3 Analytisches Signal 359
15.4 Aufgaben 363
Inhaltsverzeichnis
16 Stabilitat und ruckgekoppelte Systeme 36(j
16.1 BIBO, Impulsantwort und Frequenzgang
16.1.1 Kontinuierliche LTI-Systeme
16.1.2 Diskrete Systeme 36g
16.1.3 Beispiele ^
16.2 Kausale stabile LTI-Systeme ^
16.2.1 Allgemeine Eigenschaften
16.2.1.1 Kontinuierliche Systeme A'
16.2.1.2 Diskrete Systeme ' ' ' 0
16.2.2 LTI-Systeme mit gebrochen rationaler Ubertragungsfunktion . - 372
16.2.2.1 Kontinuierliche Systeme 372
16.2.2.2 Diskrete Systeme 373
16.2.3 Stabilitatskriterien 373
16.2.3.1 Kontinuierliche Systeme 374
16.2.3.2 Diskrete Systeme 373
16.3 Ruckgekoppelte Systeme 377
16.3.1 Invertierung eines Systems durch Ruckkopplung 378
16.3.2 Glattung des Frequenzgangs durch Gegenkopplung 379
16.3.3 Stabilisierung eines Systems durch Ruckkopplung 379
16.3.4 Regelkreise 332
16.4 Aufgaben 334
17 Beschreibung von Zufallssignalen 387
17.1 Einleitung 337
17.1.1 Was sind Zufallssignale? 388
17.1.2 Wie beschreibt man Zufallssignale? 388
17.2 Erwartungswerte 389
17.2.1 Erwartungswert als Scharmittelwert 389
17.2.2 Erwartungswerte erster Ordnung 391
17.2.3 Rechnen mit Erwartungswerten 393
17.2.4 Erwartungswerte zweiter Ordnung 394
17.3 Stationare Zufallsprozesse 395
17.3.1 Definition 396
17.3.2 Ergodische Zufallsprozesse 398
17.4 Korrelationsfunktionen 400
17.4.1 Korrelationsfunktionen reeller Signale 401
17.4.1.1 Autokorrelationsfunktion 401
17.4.1.2 Autokovarianzfunktion 404
17.4.1.3 Kreuzkorrelationsfunktion 405
17.4.1.4 Kxeuzkovarianzfunktion 406
17.4.2 Korrelationsfunktionen komplexwertiger Signale 407
17.4.2.1 Kreuzkorrelationsfunktion 407
17.4.2.2 Autokorrelationsfunktion 408
77"4'2-3 Krenzkovarianz- und Autokovarianzfunktion 408
17.o Leistungsdichtespektren 40g
Inhaltsverzeichnis
XVII
17.5.1 Definition 410
17.5.2 Leistungsdichtespektrum und quadratischer Mittelwert 411
17.5.3 Symmetrieeigenschaften des Leistungsdichtespektrums 411
17.5.4 Weifies Rauschen 412
17.6 Beschreibung diskreter Zufallssignale 414
17.7 Aufgaben 415
18 Zufallssignale und LTI-Systeme 420
18.1 Verkniipfungen von Zufallssignalen 420
18.1.1 Multiplikation von Zufallssignalen mit einem Faktor 420
18.1.2 Addition von Zufallssignalen 421
18.1.2.1 Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum 422
18.1.2.2 Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte-
spektrum 423
18.2 Reaktion von LTI-Systemen auf Zufallssignale 424
18.2.1 Stationaritat und Ergodizitat 424
18.2.2 Linearer Mittelwert am Ausgang eines LTI-Systems 425
18.2.3 Autokorrelationsfunktion am Ausgang eines LTI-Systems . 426
18.2.4 Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingang und Ausgang eines
LTI-Systems 428
18.2.5 Leistungsdichtespektrum und LTI-System . 430
18.2.6 Deutung des Leistungsdichtespektrums 432
18.2.7 Messung des Ubertragungsverhaltens eines LTI-Systems 433
18.3 Signalschatzung durch Wiener-Filter 435
18.3.1 Herleitung der Ubertragungsfunktion des Wiener-Filters 436
18.3.1.1 Lineare Verzerrungen und additives Rauschen 438
18.3.1.2 Ideale Ubertragung und additives Rauschen 438
18.3.1.3 Lineare Verzerrungen ohne Rauschen 439
18.4 Aufgaben 440
A Losungen der Aufgaben 446
B Korrespondenzen-Tabellen 537
B.l Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation 537
B.2 Satze der zweiseitigen Laplace-Transformation 538
B.3 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 539
B.4 Satze der Fourier-Transformation 540
B.5 Korrespondenzen der zweiseitigen ^-Transformation 541
B.6 Satze der zweiseitigen z-Transformation 542
B.7 Korrespondenzen der Fourier-Transformation von Folgen 543
B.8 Satze der Fourier-Transformation von Folgen 544
Literaturverzeichnis 545
Index 547 |
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