Rechenmethoden der Physik: mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik ; mit 297 Aufgaben und Lösungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2003
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
Physics and astronomy online library |
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MAY-BRITT KALLENRODE
RECHENMETHODEN
DER PHYSIK
MATHEMATISCHER BEGLEITER
ZUR EXPERIMENTALPHYSIK
MIT 47 ABBILDUNGEN,
297 AUFGABEN UN
D LOESUNGEN
SPRINGER
INHALTSVERZEICHNI
S
TEIL I ERST
E SCHRITT
E
RECHNE
N IN DE
R MECHANI
K
RECHNE
N MI
T VEKTORE
N
3
1.1 GRUNDLAGEN 3
1.2 ORTS- UND VERSCHIEBUNGSVEKTOR 4
1.3 KOORDINATENSYSTEME 5
1.3.1 KARTESISCHE KOORDINATEN 5
1.3.2 POLARKOORDINATEN 6
1.3.3 WINKEL IN GRAD- UND BOGENMASS 8
1.3.4 ZYLINDERKOORDINATEN 10
1.3.5 KUGELKOORDINATEN 11
1.4 VEKTORALGEBRA IN KARTESISCHE KOORDINATEN 12
1.4.1 GLEICHE, INVERSE UND PARALLELE VEKTOREN 12
1.4.2 VEKTORADDITION UND -SUBTRAKTION 13
1.4.3 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR 14
1.5 SKALARPRODUKT 15
1.5.1 KOMPONENTENWEISE DARSTELLUNG 15
1.5.2 RECHENREGELN UND ANWENDUNGEN 16
1.6 KREUZPRODUKT 18
1.6.1 GRUNDLAGEN 18
1.6.2 RECHENREGELN 19
1.6.3 KOMPONENTENWEISE DARSTELLUNG 19
1.7 SPATPRODUKT 22
1.8 MEHRFACHPRODUKTE 24
AUFGABEN 25
DIFFERENTIATIO
N
29
2.1 FUNKTIONEN 29
2.1.1 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 30
2.1.2 WICHTIGE FUNKTIONEN 31
2.2 DIFFERENTIALRECHNUNG 36
2.2.1 GRUNDBEGRIFFE 36
2.2.2 DIFFERENTIALQUOTIENT 37
2.2.3 WICHTIGE ABLEITUNGEN 37
INHALTSVERZEICHNIS
2.2.4 ABLEITUN
G EINER IN PARAMETERFOR
M DARGESTELLTE
N
FUNKTIO
N 38
2.3 FUNKTIONE
N VON VEKTORE
N 38
2.3.1 DIFFERENTIATION VON VEKTORE
N 39
2.4 PARTIELL
E ABLEITUN
G 41
2.4.1 FUNKTIO
N ZWEIER VARIABLEN 41
2.4.2 PARTIELL
E ABLEITUN
G 42
2.4.3 KOORDINATENSYSTEME
: TRANSFORMATIO
N
DER BASISVEKTORE
N 44
2.5 POTENZREIHENENTWICKLUN
G 49
2.5.1 FOLGEN UN
D REIHEN 49
2.5.2 TAYLOR-ENTWICKLUN
G 50
2.5.3 MACLAURIN'SCH
E REIHE 51
AUFGABEN 53
INTEGRATIO
N
59
3.1 GRUNDLAGE
N 59
3.1.1 BESTIMMTE
S UN
D UNBESTIMMTE
S INTEGRA
L 60
3.1.2 WICHTIG
E INTEGRAL
E 62
3.2 GRUNDREGEL
N DES INTEGRIEREN
S 62
3.2.1 FAKTORREGE
L 63
3.2.2 SUMMENREGE
L 63
3.2.3 SUBSTITUTIONSMETHOD
E 64
3.2.4 PARTIELL
E INTEGRATIO
N (PRODUKTINTEGRATION
) 66
3.2.5 ROTATIONSKOERPE
R 68
3.2.6 FLAECHE ZWISCHEN ZWEI KURVE
N 68
3.3 MEHRFACHINTEGRALE 69
3.3.1 DOPPELINTEGRAL
E 70
3.3.2 DREIFACHINTEGRALE 72
3.4 INTEGRATIO
N EINER VEKTORWERTIGE
N FUNKTIO
N (RIEMANN-INTEGRAL
) 75
AUFGABEN 76
KOMPLEX
E ZAHLE
N
81
4.1 DEFINITION UN
D DARSTELLUN
G 81
4.2 ELEMENTAR
E RECHENVORSCHRIFTEN 83
4.2.1 ADDITIO
N UN
D SUBTRAKTIO
N 83
4.2.2 MULTIPLIKATIO
N ZWEIER KOMPLEXER ZAHLEN 84
4.2.3 KONJUGIERT KOMPLEXE ZAHL 84
4.2.4 DIVISION ZWEIER KOMPLEXER ZAHLEN 85
4.3 EULER'SCH
E FORMEL 85
4.4 POTENZIERE
N UN
D KOMPLEXE WURZEL 86
AUFGABEN 88
INHALTSVERZEICHNIS XI
LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGE
N ERSTE
R ORDNUN
G
91
5.1 WAS IST EINE DIFFERENTIALGLEICHUNG (DGL)? 91
5.2 LOESUNG DURCH RATEN 93
5.3 GEWOEHNLICHE LINEARE DGL ERSTER ORDNUNG 94
5.4 HOMOGENE LINEARE DGL ERSTER ORDNUNG 94
5.4.1 SEPARATION DER VARIABLEN 95
5.4.2 ANFANGS- ODER RANDBEDINGUNGEN 95
5.4.3 ZUSAMMENFASSUNG: TRENNUNG DER VARIABLEN 95
5.5 HOMOGENE LINEARE DGL ERSTER ORDNUNG
MIT KONSTANTEM SUMMANDEN 97
5.6 INHOMOGENE LINEARE DGL ERSTER ORDNUNG 100
5.6.1 VARIATION DER KONSTANTEN 100
5.6.2 AUFSUCHEN EINER PARTIKULAEREN LOESUNG 102
AUFGABEN 103
DIFFERENTIALGLEICHUNGE
N ZWEITE
R ORDNUN
G
107
6.1 GRUNDLAGEN 107
6.2 HOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG 108
6.2.1 EXPONENTIALANSATZ 108
6.2.2 LINEARER HARMONISCHER OSZILLATOR 110
6.2.3 GEDAEMPFTE SCHWINGUNG 113
6.2.4 ZUSAMMENFASSUNG: HOMOGENE DGL 2. ORDNUNG 119
6.3 INHOMOGENE DGL: ERZWUNGENE SCHWINGUNG 119
6.3.1 ZUSAMMENFASSUNG: INHOMOGENE DGL 121
AUFGABEN 121
NUMERISCH
E LOESUN
G VO
N DIFFERENTIALGLEICHUNGE
N
125
7.1 DIE IDEE 125
7.1.1 DIFFERENTIALGLEICHUNG ERSTER ORDNUNG 125
7.1.2 DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG 128
7.2 EULER-VERFAHREN 129
7.3 LEAPFROG-VERFAHREN (HALBSCHRITT-VERFAHREN) 131
7.4 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 4. ORDNUNG 132
AUFGABEN 134
MATRIZE
N
137
8.1 GRUNDBEGRIFFE 137
8.1.1 TRANSPONIERTE EINER MATRIX 138
8.1.2 QUADRATISCHE MATRIZEN 139
8.2 RECHENOPERATIONEN UND -REGELN 139
8.3 DETERMINANTEN 142
8.3.1 UNTERDETERMINANTEN 143
8.3.2 RECHENREGELN 144
8.4 REGULAERE UND ORTHOGONALE MATRIZEN 147
8.5 KOMPLEXE MATRIZEN 148
XII INHALTSVERZEICHNIS
8.6 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 150
8.6.1 DIAGONALFORM 152
8.7 DREHUNGEN 153
8.7.1 DREHMATRIX 153
8.7.2 TRANSFORMATION VON VEKTOREN UND MATRIZEN 156
8.7.3 TRAEGHEITSTENSOR 157
AUFGABEN 159
TEIL II VON FELDERN UND WELLEN
RECHNE
N IN DER ELEKTRODYNAMIK
9 DELTA-FUNKTIO
N
165
9.1 EINDIMENSIONALE DELTA-FUNKTION 165
9.1.1 ANNAEHERUNGEN 166
9.1.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTA-FUNKTION 167
9.2 DELTA-FUNKTION IN DREI DIMENSION 170
AUFGABEN 171
10 DIFFERENTIATION VO
N FELDERN: GRADIENT, DIVERGEN
Z
UND ROTATIO
N
173
10.1 SKALAR- UND VEKTORFELDER 173
10.1.1 SPEZIELLE FELDER 174
10.1.2 DARSTELLUNG VON VEKTORFELDERN
IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 175
10.2 GRADIENT 175
10.2.1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN 176
10.2.2 SPEZIELLE FELDER 177
10.2.3 TOTALES DIFFERENTIAL 179
10.2.4 GRADIENT IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 179
10.2.5 RECHENREGELN 180
10.2.6 RICHTUNGSABLEITUNG 180
10.3 DIVERGENZ 181
10.3.1 ANSCHAUUNG 181
10.3.2 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN 182
10.3.3 SPEZIELLE FELDER 183
10.3.4 RECHENREGELN 184
10.3.5 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 185
10.4 LAPLACE-OPERATOR 185
10.4.1 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 186
10.5 ROTATION 186
10.5.1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN 186
10.5.2 SPEZIELLE FELDER 187
10.5.3 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 188
10.5.4 RECHENREGELN 188
INHALTSVERZEICHNIS XIII
10.6 DER NABLA-OPERATOR ZUSAMMENGEFASST 189
AUFGABEN 190
11 INTEGRATIO
N VO
N FELDERN: KURVEN- UND FLAECHENINTEGRALE
. . . 193
11.1 KURVEN UND FLAECHEN 193
11.1.1 DARSTELLUNG EBENER UND RAEUMLICHER KURVEN 194
11.1.2 FLAECHEN IM RAUM 195
11.1.3 FLAECHEN VOM TYP
Z = F(X,Y)
196
11.2 KURVENINTEGRALE 196
11.2.1 EIGENSCHAFTEN 198
11.2.2 KONSERVATIVE FELDER 198
11.3 OBERFLAECHENINTEGRALE 199
11.4 GAUSS'SCHER INTEGRALSATZ 202
11.4.1 DIVERGENZ ALS QUELLSTAERKE DES FELDES 202
11.4.2 GAUSS'SCHER INTEGRALSATZ 203
11.5 STOKES'SCHER INTEGRALSATZ 207
11.5.1 ROTATION ALS WIRBELSTAERKE 207
11.5.2 STOKES'SCHER INTEGRALSATZ 208
AUFGABEN 210
12 PARTIELL
E DIFFERENTIALGLEICHUNGE
N 215
12.1 PARTIELLE DGLS IN DER PHYSIK 215
12.1.1 DIE POISSON-GLEICHUNG 216
12.1.2 WEITERE PARTIELLE DGLS 216
12.2 POISSON-GLEICHUNG 217
12.2.1 PUNKTLADUNG 217
12.2.2 ALLGEMEINE LADUNGSDICHTEVERTEILUNG 219
12.2.3 RANDBEDINGUNGEN 221
12.2.4 MULTIPOLENTWICKLUNG 221
12.2.5 POISSON-GLEICHUNG IN DER MAGNETOSTATIK 223
12.3 DIFFUSIONSGLEICHUNG 223
12.3.1 RANDOM WALK UND MITTLERES ABSTANDSQUADRAT -
ANSCHAULICH 224
12.3.2 EINDIMENSIONALE DIFFUSIONSGLEICHUNG 227
12.3.3 LOESUNG DER DIFFUSIONSGLEICHUNG FUER EINE ^-INJEKTION . . . 229
12.3.4 ALLGEMEINE LOESUNG 229
12.4 WELLENGLEICHUNG 230
12.4.1 HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG 230
12.4.2 EINDIMENSIONALE WELLEN 231
12.4.3 HARMONISCHE WELLEN 232
12.4.4 STEHENDE WELLEN 233
12.4.5 SEPARATIONSANSATZ 234
12.5 ZWEIDIMENSIONALE EBENE WELLEN 237
12.6 DREIDIMENSIONALE EBENE WELLEN 238
AUFGABEN 238
XIV INHALTSVERZEICHNIS
TEI
L II
I EI
N ENTSCHIEDENE
S JEI
N
WAHRSCHEINLICHKEITE
N UN
D FEHLE
R
1
3 WAHRSCHEINLICHKEIT
, ENTROPI
E UN
D MAXWELL-VERTEILUN
G
.
. 243
13.1 KOMBINATORI
K 243
13.2 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUN
G 245
13.2.1 GRUNDBEGRIFFE 246
13.2.2 WAHRSCHEINLICHKEIT 246
13.2.3 BEDINGT
E WAHRSCHEINLICHKEIT 248
13.2.4 BAYES'SCHE FORMEL 249
13.3 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGE
N 251
13.3.1 GRUNDBEGRIFFE 252
13.3.2 KENNGROESSE
N EINER VERTEILUN
G 256
13.3.3 BINOMMALVERTEILUN
G 258
13.3.4 POISSON-VERTEILUNG 260
13.3.5 GAUSS'SCH
E NORMALVERTEILUN
G 261
13.4 ENTROPI
E UN
D MAXWELL-BOLTZMANN-VERTEILUN
G 263
13.4.1 INFORMATIO
N UN
D ENTROPI
E 263
13.4.2 MAXIMAL
E UNBESTIMMTHEI
T 269
13.4.3 BOLTZMANN-VERTEILUN
G 270
AUFGABEN 272
1
4 MESSUN
G UN
D MESSFEHLE
R
275
14.1 CHARAKTERISIERUN
G VON MESSDATE
N 276
14.2 VERTEILUNG VON MESSWERTEN, MITTELWER
T UN
D VARIANZ 277
14.2.1 (NORMALVERTEILTE
) MESSWERTE 277
14.2.2 'ZAEHLEN
' UN
D POISSON-VERTEILUN
G 278
14.2.3 MITTELWER
T UN
D STANDARDABWEICHUN
G
AU
S DE
N MESSWERTEN 279
14.2.4 VERTRAUENSBEREIC
H FUER DEN MITTELWER
T 280
14.3 FEHLERFORTPFLANZUNG 281
14.3.1 SUMME
N ODE
R DIFFERENZEN 282
14.3.2 MULTIPLIKATIO
N MI
T EINER KONSTANTE
N 282
14.3.3 MULTIPLIKATIO
N ODE
R DIVISION 283
14.3.4 POTENZGESET
Z 283
14.4 AUSGLEICHSRECHNUNG 284
14.4.1 LINEARE REGRESSION 284
14.4.2 LINEARE REGRESSION UNTE
R BERUECKSICHTIGUN
G
DER MESSFEHLER 289
14.4.3 RANG-KORRELATIO
N 291
AUFGABEN 292
INHALTSVERZEICHNIS XV
LOESUNGE
N 295
LITERATURVERZEICHNI
S 329
SACHVERZEICHNI
S 331 |
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