Funktionentheorie: komplexe Analysis in einer Veränderlichen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2003
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| Ausgabe: | 8., neubearbeitete Auflage |
| Schriftenreihe: | Vieweg Studium
[47] : Aufbaukurs Mathematik |
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Inhaltsverzeichnis
Vorworte viii
Leitfaden x
I Komplexe Zahlen und Funktionen 1
§ 1. Die komplexen Zahlen 1
§ 2. Topologie in der Gaußschen Zahlenebene 8
§ 3. Stetige Punktionen 11
§ 4. Holomorphe Funktionen 16
§ 5. Die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen 20
§ 6*. Differentialformen 26
§ 7. Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen 28
§ 8. Elementare Funktionen 32
§ 9. Lineare Transformationen und die Riemannsche Zahlensphäre 37
II Kurvenintegrale 44
§ 1. Integrationswege und Integration von Funktionen 44
§ 2. Stammfunktionen 53
§ 3*. Integration von Differentialformen 56
§ 4. Vertauschung von Grenzprozessen 61
III Holomorphe Funktionen 66
§ 1. Der Cauchysche Integralsatz für konvexe Gebiete 67
§ 2. Die Cauchyschen Integralformeln 71
§ 3*. Die inhomogene Cauchysche Integralformel 74
§ 4. Holomorphiekriterien 79
vi
§ 5. Potenzreihenentwicklung 80
§ 6. Cauchysche Ungleichungen und Folgerungen 88
§ 7*. Mittelwerteigenschaft und Maximum Prinzip 92
§ 8. Ganze Funktionen und Polynome 95
§ 9. Reell analytische Funktionen 99
§ 10*.Harmonische Funktionen 102
IV Der globale Cauchysche Integralsatz 112
§ 1. Umlaufszahlen 112
§ 2. Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformeln 117
§ 3. Anwendungen der Umlaufszahl 122
V Die Umkehrung der elementaren Funktionen 131
§ 1. Der Logarithmus 131
§ 2. Potenzen 137
§ 3. Die Arcus Funktionen 141
VI Isolierte Singularitäten 145
§ 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen 145
§ 2. Isolierte Singularitäten 152
§ 3. Meromorphe Funktionen 158
§ 4. Der Residuensatz 161
§ 5*. Der Residuensatz für Differentialformen 165
§ 6. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis 170
§ 7. Funktionentheoretische Konsequenzen des Residuensatzes 181
VII Partialbruch und Produktentwicklungen 186
§ 1. Partialbruchentwicklung 187
§ 2. Produktentwicklung 193
§ 3. Entwicklung elementarer Funktionen 198
§ 4. 7T 202
§ 5. Die T Funktion 205
§ 6. Die Stirlingsche Formel 211
§ 7. Elliptische Funktionen 218
§ 8. Additionstheorem und ebene Kubiken 232
§ 9. Die Riemannsche ^ Funktion 241
vii
VIII* Funktionentheorie auf beliebigen Bereichen 251
§ 1. Die Rungeschen Approximationssätze 251
§ 2. Die inhomogenen Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen 259
§ 3. Hauptteilverteilungen 264
§ 4. Divisoren und Nullstellenverteilungen 268
§ 5. Der Ring der holomorphen Punktionen auf einem Gebiet 274
Anhang. Unendlich oft differenzierbare Funktionen 280
IX Biholomorphe Abbildungen 282
§ 1. Konforme Abbildungen 282
§ 2. Automorphismengruppen 285
§ 3. Nichteuklidische Geometrie 288
§ 4. Folgen konformer Abbildungen und normale Familien 294
§ 5. Der Riemannsche Abbildungssatz 296
Zitierte Literatur 300
Wichtige Bezeichnungen 301
Namen und Sachverzeichnis 302 |
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