Randelementmethoden: Analyse, Numerik und Implementierung schneller Algorithmen
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| Published: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
2004
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| Item Description: | Angekündigt u.d.T.: Sauter, Stefan: Randelemente |
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Einführung 1
1.1 Das Konzept der Randelementmethode. 1
1.1.1 Grundbegriffe. 1
1.1.2 Ein physikalisches Beispiel. 2
1.1.3 Fundamentallösungen. 6
1.1.4 Potentiale und Randintegraloperatoren. 6
1.2 Numerik von Randintegralgleichungen . 9
1.2.1 Galerkin-Verfahren. 9
1.2.2 Effiziente Verfahren zur Lösung der Galerkin-Gleichungen. 10
1.2.2.1 Quadraturverfahren . 11
1.2.2.2 Lösen des linearen Gleichungssystems. 11
1.2.2.3
2 Elliptische Differentialgleichungen 15
2.1 Funktionalanalytische Grundlagen. 15
2.1.1 Banach- und Hilbert-Räume. 15
2.1.1.1 Normierte Räume. 15
2.1.1.2 Lineare Operatoren. 16
2.1.1.3 Banach-Räume. 16
2.1.1.4 Einbettungen. 17
2.1.1.5 Hilbert-Räume. 18
2.1.2 Dualräume. 18
2.1.2.1 Dualraum eines normierten, linearen Raumes. 18
2.1.2.2 Dualer Operator. 19
2.1.2.3 Adjungierter Operator. 19
2.1.2.4 Gelfand-Dreier. 21
2.1.2.5 Schwache Konvergenz. 21
2.1.3 Kompakte Operatoren. 22
2.1.4 Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie. 23
2.1.5 Bilinear- und Sesquilinearformen . 24
2.1.6 Existenzsätze. 25
2.1.7 Interpolationsräume . 34
2.2 Geometrische Grundlagen. 36
2.2.1 Funktionenräume. 36
2.2.2 Glattheit von Gebieten. 38
XII INHALTSVERZEICHNIS
2.2.3 Normalenvektoren. 40
2.2.4 Randintegrale. 41
2.3 Sobolev-Räume auf Gebieten
2.4 Sobolev-Räume auf Oberflächen
2.4.1 Definition der Sobolev-Räume auf
2.4.2 Sobolev-Räume auf
2.5 Einbettungssätze. 46
2.6 Spur-Operatoren. 48
2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen . 51
2.8 Der Lösungsoperator. 56
2.9 Elliptische Randwertprobleme. 59
2.9.1 Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme. 59
2.9.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP). 60
2.9.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP). 60
2.9.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP). 60
2.9.1.4 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP). 60
2.9.1.5 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP). 61
2.9.1.6 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP). 61
2.9.1.7 Transmissionsproblem
2.9.2 Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme. 62
2.9.2.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP). 62
2.9.2.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP). 63
2.9.2.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP). 63
2.9.2.4 Funktionenräume für Außenraumprobleme. 64
2.9.2.5 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP). 65
2.9.2.6 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP). 66
2.9.2.7 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP). 67
2.9.2.8 Transmissionsproblem
2.9.3 Äquivalenz von starker und schwacher Formulierung. 68
2.9.3.1 Innenraumprobleme . 68
2.9.3.2 Außenraumprobleme. 69
2.10 Existenz und Eindeutigkeit. 70
2.10.1 Innenraumprobleme. 72
2.10.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem. 72
2.10.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem. 72
2.10.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem. 73
2.10.2 Außenraumprobleme. 73
2.10.2.1 Allgemeiner elliptischer Operator mit aminc > ||b||2. 73
2.10.2.2 Laplace-Operator. 74
2.10.2.3 Helmholtz-Gleichung. 78
3 Elliptische Randintegralgleichungen 79
3.1 Randintegraloperatoren. 79
3.1.1 Das Newton-Potential . 81
3.1.2 Abbildungseigenschaften der Randintegraloperatoren. 88
3.2 Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungea. 90
3.3 Sprungrelationen und Daxstellungsformeln. 91
INHALTSVERZEICHNIS XIII
3.3.1 Sprungeigenschaften der Potentiale. 91
3.3.2 Explizite Darstellung des Randintegraloperators
3.3.3 Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren
KundK'. 97
3.3.4 Explizite Darstellung des Randintegraloperators
3.4 Integralgleichungen für elliptische Randwert¬
probleme . 111
3.4.1 Die indirekte Methode. 112
3.4.1.1 Innenraumprobleme. 113
3.4.1.2 Außenraumprobleme. 115
3.4.1.3 Transmissionsproblem. 116
3.4.2 Die direkte Methode. 116
3.4.2.1 Innenraumprobleme. 117
3.4.2.2 Außenraumprobleme. 118
3.4.3 Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen. 119
3.5 Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen. 120
3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit für geschlossene Oberflächen und Dirichlet-
oder Neumann-Randbedingungen. 120
3.5.2 Existenz- und Eindeutigkeit für das gemischte Randwertproblem . 124
3.5.3 Schirmproblem. 126
3.6 Calderon-Projektor. 127
3.7
3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art. 131
3.9 Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung. 136
3.9.1 Helmholtz-Gleichung. 136
3.9.2 Integralgleichungen und Resonanzen . 137
3.9.3 Existenz von Lösungen des Aussenraurnproblems . 139
3.9.4 Modifizierte Randintegralgleichungen. 142
4 Randelementmethoden 145
4.1 Randelemente für die Potentialgleichung in
4.1.1 Modellproblem 1: Dirichlet-Problem . 146
4.1.2 Paneelierungen. 148
4.1.3 Unstetige Randelemente. 152
4.1.4 Galerkin-Randelementmethode . 154
4.1.5 Konvergenzrate unstetiger Randelemente. 158
4.1.6 Modellproblem 2: Neumann Problem. 161
4.1.7 Stetige Randelemente. 162
4.1.8 Galerkin-BEM mit stetigen Randelementen. 169
4.1.9 Konvergenzraten mit stetigen Randelementen. 171
4.1.10 Modellproblem 3: Gemischtes Randwertproblem. 172
4.1.11 Modellproblem 4: Schirmprobleme . 174
4.2 Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren. 175
4.2.1 Abstraktes Variationsproblem. 176
4.2.2 Galerkin-Approximation. 176
4.2.3 Kompakte Störungen. 179
4.2.4 Konsistente Störungen. Lemma von Strang. 184
XIV INHALTSVERZEICHNIS
4.2.5 Aubin-Nitsche-Dualitätstechnik. 187
4.2.5.1 Fehler in Funktionalen der Lösung. 188
4.2.5.2 Störungen. 191
4.3 Beweis der Approximationseigenschaft . 196
4.3.1 Approximationseigenschaften auf ebenen Paneelen. 196
4.3.2 Approximation auf gekrümmten Paneelen . 202
4.3.3 Stetigkeit von Funktionen in Hsstw
4.3.4 Approximationseigenschaften von Sg'"1. 206
4.3.5 Approximationseigenschaften von SgQ. 208
4.4
4.5 Kondition der Systemmatrizen. 212
5 Berechnung der Matrixkoeffizienten 215
5.1 Kernfunktionen und stark
5.1.1 Geometrische Voraussetzungen. 216
5.1.2 Cauchy-singuläre Integrale. 220
5.1.3 Explizite Voraussetzungen an Cauchy-singuläre Kernfunktionen . 222
5.1.4 Kernfunktionen in lokalen Koordinaten. 225
5.2 Relativkoordinaten. 229
5.2.1 Der Fall identischer Paneele. 229
5.2.2 Der Fall einer gemeinsamen Kante . 236
5.2.3 Der Fall eines gemeinsamen Punktes. 238
5.2.4 Überblick: Regularisierende Koordinatentransformationen . 239
5.2.5 Berechnung der rechten Seite und des integralfreien
5.3 Numerische Integration. 244
5.3.1 Numerische Quadraturverfahren. 244
5.3.1.1 Einfache Quadraturverfahren. 244
5.3.1.2 Tensor-Gauß-Quadratur. 245
5.3.2 Lokale Quadraturfehlerabschätzungen. 246
5.3.2.1 Lokale Fehlerabschätzungen für einfache Quadraturverfahren . 246
5.3.2.2 Ableitungsfreie Quadraturfehlerabschätzungen für analytische
Integranden
5.3.2.3 Abschätzung der Analytizitätsellipsen der regularisierten In-
tegranden. 252
5.3.2.4 Quadraturordnungen für regularisierte Kernfunktionen . 260
5.3.3 Einfluß der Quadratur auf den Diskretisierungsfehler. 261
5.3.4 Überblick über die Quadraturordnungen für das Galerkin-Verfahren mit
Quadratur. 268
5.3.4.1 Integralgleichungen negativer Ordnung. 268
5.3.4.2 Gleichungen
5.3.4.3 Gleichungen positiver Ordnung. 269
6 Lösung der linearen Gleichungssysteme 271
6.1 cg-Verfahren. 272
6.1.1 cg-Grundalgorithmus. 272
6.1.2 Vorkonditionierungsverfahren. 273
6.1.3 Orthogonalitätsrelationen . 274
INHALTSVERZEICHNIS
6.1.4 Konvergenzrate des cg-Verfahrens. 275
6.1.5 Verallgemeinerungen. 277
6.2 Abstiegsverfahren für nichtsymmetrische Systeme. 277
6.2.1 Abstiegsverfahren. 278
6.2.2 Konvergenzrate von
6.3 Iterative Löser für Gleichungen negativer Ordnung. 280
6.4 Iterative Löser für Gleichungen positiver Ordnung. 282
6.4.1 Integralgleichungen positiver Ordnung . 282
6.4.2 Iterationsverfahren. 284
6.4.3 Mehrgitterverfahren . 288
6.4.3.1 Motivation. 289
6.4.3.2 Mehrgitteralgorithmus für Integralgleichungen positiver Ord¬
nung . 292
6.4.3.3 Geschachtelte Iteration. 294
6.4.3.4 Konvergenzanalyse für Mehrgitterverfahren. 295
6.5 Mehrgitterverfahren für Gleichungen negativer Ordnung. 310
7
7.1 Der Panel-Clustering-Algorithrmis. 314
7.1.1 Voraussetzungen an den Integraloperator. 314
7.1.2 Clusterbaum und zulässige Überdeckung. 315
7.1.3 Approximation der Kernfunktion. 319
7.1.3.1
7.1.3.2 Multipol-Entwickhmg . 322
7.1.3.3 Abstrakte Panel-Clustering-Approximation. 324
7.1.4 Die Matrix-Vektor-Multiplikation im
7.1.4.1 Berechnung der Fernfeldkoeffizienten. 328
7.1.4.2 Cluster-Cluster-Wechselwirkung. 329
7.1.4.3 Auswertung der Panel-Clustering-Approximation einer Matrix-
Vektor-Multiplikation . 329
7.1.4.4 Algorithmische Beschreibung des
7.2 Realisierung der Teilalgorithmen. 332
7.2.1 Algorithmische Realisierung der
7.2.2 Entwicklung mit variabler Ordnung. 337
7.3 Fehleranalyse für das
7.3.1 Lokale Fehlerabschätzungen. 340
7.3.1.1 Lokale Fehlerabschätzung für die
7.3.2 Globale Fehlerabschätzungen . 352
7.3.2.1 L2—Absehätzungen des Panel-Clustering-Fehlers ohne partiel¬
le Integration. 353
7.3.2.2 L2— Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers mit partieller
Integration. 355
7.3.2.3 Stabilität und Konsistenz für das
7.4 Der Aufwand der Panel-Clustering-Methode. 357
7.4.1 Anzahl der
7.4.2 Der algorithmische Aufwand der Panel-Clustering-Methode. 362
7.5
XVI INHALTSVERZEICHNIS
Literaturverzeichnis 367
Liste der Symbole 377
Index 380 |
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