Numerische Mathematik für Anfänger: eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker ; mit zahlreichen Beispielen und Programmen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Braunschweig
Vieweg
2002
|
| Edition: | 4., durchges. Aufl. |
| Series: | Vieweg Studium : Grundkurs Mathematk
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Literaturverz. S. 336 - 340 |
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| adam_text | Titel: Numerische Mathematik für Anfänger
Autor: Opfer, Gerhard
Jahr: 2002
Inhaltsverzeichnis
Vorwort..................................... v
Liste der Beispiele................................ xi
Liste der Tabellen................................ xiv
Liste der Figuren................................. xvi
Liste der Programme .............................. xvii
1 Zahldarstellung and Rundungsfehler 1
1.1 MaschinenzaWen............................. 1
1.1.1 Relativer und absoluter Fehler .................. 1
1.1.2 Gleitpunktdarstellung....................... 2
1.2 Fehler beim Rechnen........................... 5
1.3 Aufgaben ................................. 10
2 Auswertung elementarer Funktionen 13
2.1 Gewohnliche Polynome.......................... 13
2.2 Trigonometrische Polynome..................... . . 19
2.3 Rationale Funktionen........................... 28
2.4 Aufgaben................................. 34
3 Interpolation 37
3.1 Polynom-Interpolation........................... 37
3.1.1 Fehler der Interpolation...................... 47
3.1.2 Hermite-Interpolation....................... 52
3.1.3 Fehler der Hermite-Interpolation . ................ 59
3.2 Trigonometrische Interpolation...................... 60
3.3 Interpolation in linearen Raumen..................... 65
3.3.1 Radiale Funktionen........................ 69
3.4 Rationale Interpolation .......................... 73
3.5 Aufgaben................................. 79
Inha.lt
Splines 85
4.1 Einfiihrung................................. 85
4.2 Lineare Splines .............................. 89
4.3 Quadratische Splines ........................... 92
4.4 Kubische Splines ............................. 96
4.5 Lokale Splines............................... 98
4.6 B-Splines ................................. 100
4.6.1 Rekursive Definition der B-Splines................ 101
4.6.2 Der von den B-Splines aufgespannte Raum S*,t......... 105
4.6.3 Stiickweisepolynomiale Funktionen in Sfc,t........... 108
4.6.4 B-Splines auf einem Intervall................... 110
4.6.5 Auswertung von Splines in S ,t und die Berechnung der Ableitung 111
4.6.6 Interpolation mit B-Splines in Sfc,t................ 114
4.6.7 B-Splines als CAD-Werkzeug................... 117
4.7 Aufgaben ................................. 121
Numerische Integration 124
5.1 Interpolatorische Formeln......................... 125
5.2 Zusammengesetzte Formeln ....................... 130
5.3 Konvergenzuntersuchungen........................ 132
5.4 Extrapolation und Adaption........................ 133
5.5 GauB-Quadratur.............................. 138
5.6 Integration singularer Funktionen..................... 149
5.6.1 Regularisierung.......................... 150
5.6.2 Anwendung der GauB-Quadratur................. 151
5.7 Aufgaben ................................. 152
Lineare Gleichungssysteme 156
6.1 Aufgabenstellung............................. 156
6.1.1 Matrizen.............................. 158
6.2 Das GauBsche Elimihationsverfahren................... 162
6.2.1 Pivotsuche............................. 168
6.2.2 GauB-Variationen, Cholesky-Zerlegung.............. 173
6.2.3 Mehrere rechte Seiten....................... 177
6.3 Iterative Losungsverfahren ........................ 179
6.4 Methode der konjugierten Gradienten................... 184
6.5 Aufgaben................................. 194
Numerische Mathematik
7 Lineare Optimierung 200
7.1 Aufgabenstellung............................. 200
7.2 Basisvektoren............................... 204
7.3 Das Simplexverfahren........................... 205
7.4 Praktische Durchflihrung......................... 210
7.5 Modifikationstechniken.......................... 215
7.6 Aufgaben................................. 220
8 Ausgleichs- und Approximationsprobleme 225
8.1 Normen von Vektoren und linearen Abbildungen............. 225
8.2 Lineare Approximation.......................... 233
8.3 Uberbestimmte Gleichungssysteme.................... 240
8.3.1 Ausgleichung im quadratischen Mittel.............. 240
8.3.2 Householder-Transformationen, QR-Zerlegungen........ 246
8.3.3 Herstellung einer Bidiagonalform................. 253
8.3.4 Ausgleichung in der Summen- und Maximumnorm ....... 255
8.4 Approximation von Funktionen...................... 256
8.4.1 Tschebyscheff-Approximation .................. 256
8.4.2 Approximation von Funktionen in der i2-Norm......... 262
8.5 Aufgaben................................. 265.
9 Matrixeigen werte und -eigenvektoren 269
9.1 Aufgabenstellung und elementare Eigenschaften............. 269
9.2 Das von-Mises-Verfahren (Potenzmethode)................ 282
9.3 Die inverse von-Mises-Iteration...................... 283
9.4 Das QR-Verfahren............................. 284
9.5 Der Lanczos-Algorithmus......................... 286
9.6 Berechnung der Singularwerte....................... 288
9.7 Beispiele...... ............................ 292
9.7.1 Von-Mises-Verfahren....................... 294
9.7.2 Inverses von-Mises-Verfahren................... 294
9.7.3 QR-Verfahren........................... 294
9.7.4 Lanczos-Algorithmus....................... 295
9.7.5 Singularwertberechnung .......... .......... 2%
9.8 Aufgaben................................. 297
Inhalt_______________________________________________________xi
10 Nichtlineare Gleichungen und Systeme 300
10.1 Aufgabenstellung............................. 300
10.2 Hilfsmittel aus der Analysis........................ 302
10.3 Fixpunktiterationen............................ 305
10.4 Das Newton-Verfahren .......................... 311
10.5 Konvergenz fur lineare Probleme..................... 318
10.6 Eindimensionale Probleme ........................ 320
10.6.1 Bisektion............................. 321
10.6.2 Regula falsi............................ 322
10.6.3 Sekantenverfahren......................... 323
10.6.4 Das vereinfachte Sekantenverfahren............... 324
10.6.5 Fixpunktverfahren......................... 325
10.6.6 Das Newton-Verfahren fur eine Dimension............ 326
10.6.7 Nullstellen von Polynomen.................... 327
10.7 Aufgaben ................................. 331
Anhang: Alphabete 335
Literaturverzeichnis 336
Stichwortverzeichnis 341
Hinweis: Die Beispiele, Tabellen,..., Satze, Definitionen etc. sind in jedem Kapitel einheit-
lich durchlaufend numeriert, mit vorangestellter Kapitelnummer. Dasselbe gilt fur die For-
melnummern, fur die nach gleichem Muster eine separate Durchnumerierung existiert. Die
(Unter-) Abschnittsnummern werden also nicht in das Numerierungssystem ubernommen.
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