Formelsammlung zur numerischen Mathematik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
Mannheim u.a.
1981
|
| Ausgabe: | 3., überarb. u. erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | BI-Hochschultaschenbücher
106 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVII, 406 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3411061065 |
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INHALTSVERZEICHNIS.
Seite
1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 2
1.3 Rundungsvorschriften für Dezimalzahlen 3
1.4 Schreibweise für Näherungszahlen und Regeln zur Bestimmung
der Anzahl sicherer Stellen 4
1.5 Fehlerquellen 6
1.5.1 Der Verfahrensfehler 6
1.5.2 Der Eingangsfehler 6
1.5.3 Der Rechnungsfehler 9
2. Numerische Verfahren zur Lösung algebraischer und transzenden¬
ter Gleichungen 10
2.1 Iterationsverfahren 10
2.1.1 Konstruktionsmethode und Definition 10
2.1.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen 12
2.1.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens. Fehlerabschät¬
zungen. Rechnungsfehler 13
! 2.1.4 Praktische Durchführung 15
j 2.1.4.1 Algorithmus 15
i 2.1.4.2 Bestimmung des Startwertes 16
| 2.1.4.3 Konvergenzuntersuchung 17
2.1.5 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens l7
2.1.6 Spezielle Iterationsverfahren 19
2.1.6.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Null
steilen 19
•2,4 ** Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Null
s stellen 21
; 2.1.6.3 Regula falsi 22
I 2.1.6.4 Das Verfahren von Steffensen für«1nfache und
mehrfache Null stellen 24
! 2.1.6.5 Gegenüberstellung der Verfahren 25
2.2 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 27
2.2.1 Das Homer Schema für algebraische Polynome 28
2.2.1.1 Das einfache Homer Schema für reelle Ar
gumentwerte 28
2.2.1.2 Das einfache Horner Schema für komplexe
Argumentwerte 29
2.2.1.3 Das vollständige Homer Schema für reelle
Argumentwerte 31
2.2.1.4 Anwendungen 33
XII
Seite
2.2.2 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen
algebraischer Gleichungen 34
2.2.2.1 Vorbemerkungen und Oberblick 34
2.2.2.2 Der QD Algorithmus 35
2.2.2.3 Das Verfahren von Mull er 39
2.2.2.4 Das Verfahren von Bauhuber 42
2.2.2.5 Das Verfahren von Jenkins und Traub 43
3. Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme 44
3.1 Aufgabenstellung und Lösbarkeitsbedingungen 44
3.2 Der Gaußsche Algorithmus 45
3.3 Matrizeninversion mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus 50
3.4 Das Verfahren von Cholesky 51
3.5 Das Gauß Jordan Verfahren 52
3.6 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem
Austauschverfahren (Pivotisieren) 53
3.7 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 55
3.8 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 58
3.9 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 60
3.10 Fehler, Kondition und Nachiteration 60
3.10.1 Fehler und Kondition 60
3.10.2 Nachiteration 64
3.11 Iterationsverfahren 65
3.11.1 Vorbemerkungen 65
3.11.2 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 55
3.11.3 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder
das Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 71
3.11.4 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 72
3.11.5 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 73
3.12 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 74
3.13 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 76
4. Systeme nichtlinearer Gleichungen 81
4.1 Iterationsverfahren 81
4.1.1 Konstruktionsmethode und Definition 81
4.1.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen.
Konvergenz eines Iterationsverfahrens. Fehlerabschät¬
zungen. Konvergenzordnung.
4.2 Spezielle Iterationsverfahren 84
4.2.1 Das Newtonsche Verfahren 84
4.2.2 Regula falsi 86
4.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten
verfahren) 87
XIII
Seite
4.2.4 Ein kombiniertes Verfahren (Such Weg Verfahren) 89
5. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 91
5.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 91
5.2 Diagonal ähnliche Matrizen 92
5.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 94
5.3.1 Bestimmung des betragsgro Sten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 94
5.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 98
5.3.3 Bestinraung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 99
5.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 100
5.5 Direkte Methoden 101
5.5.1 Das Verfahren von Krylov 101
5.5.1.1 Bestimmung der Eigenwerte 101
5.5.1.2 Bestimmung der Eigenvektoren 103
5.5.2 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter syrane
trischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD
Algorithmus 103
5.5.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Ver¬
fahren von Martin, Pariett, Peters, Reinsch, Hil
kinson 105
6. Approximation stetiger Funktionen 107
6.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 107
6.2 Approximation im quadratischen Mittel 110
6.2.1 Kontinuierliche Fehlerquadratmethode von Gauß 110
6.2.2 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauß 113
6.3 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff Polynome 117
6.3.1 Beste gleichmäßige Approximation. Definition 118
6.3.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 119
6.3.2.1 Einführung der Tschebyscheff Polynome 119
6.3.2.2 Darstellung von Polynomen als Linearkombi¬
nation von Tschebyscheff Polynomen 120
6.3.2.3 Beste gleichmäßige Approximation 122
6.3.2.4 Gleichmäßige Approximation 122
6.4 Approximation periodischer Funktionen 125
6.4.1 Approximation im quadratischen Mittel 125
6.4.2 Trigonometrische Interpolation 126
6.4.3 Komplexe aiskrete Fourier Transformation 128
XIV
Seite
7. Interpolation durch algebraische Polynome 130
7.1 Aufgabenstellung 130
7.2 Interpolationsformeln von Lagrange 131
7.2.1 Formel für beliebige Stützstelien 131
7.2.2 Formel für äquidistante Stützstellen 132
7.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stütz
stellen 13Z
7.4 Inverse Interpolation nach Aitken 135
7.5 Interpolationsformeln von Newton 135
7.5.1 Formel für beliebige Stützstellen 135
7.5.2 Formel für äquidistante Stützstellen 137
7.6 Interpolationsformeln für äquidistante Stützstellen mit
Hilfe des Frazerdiagranms 138
7.7 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
des Interpolationsfehlers 143
7.8 Interpolierende Polynom Splines dritten Grades 145
7.8.1 Problemstellung 145
7.8.2 Definition der Splinefunktionen 146
7.8.3 Berechnung der kubischen Splinefunktionen i48
7.9 Hermite Splines fünften Grades 154
7.10 Polynomiale Ausgleichssplines dritten Grades l62
7.11 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 164
7.11.1 Interpolationsformel von Lagrange 164
7.11.2 Zweidimensionale Polynom Splines dritten Grades 166
7.12 Entscheidungshilfen bei der Auswahl des zweckmäßigsten
Verfahrens zur angenäherten Darstellung einer stetigen
Funktion 176
8. Numerische Differentiation 180
8.1 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoras 180
8.1.1 Berechnung der ersten Ableitung an einer beliebigen
Stelle 18°
8.1.2 Tabelle zur Berechnung der ersten und zweiten Ab¬
leitungen an Stützstellen 181
8.2 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 183
8.3 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 184
9. Numerische Quadratur 186
9.1 Vorbemerkungen und Motivation 186
9.2 Interpolationsquadraturforaeln 186
9.2.1 Konstruktionsmethoden 186
XV
Seite
9.2.2 Newton Cotes Formeln 188
9.2.2.1 Die Sehnentrapezformel 189
9.2.2.2 Die Simpsonsche Formel 190
9.2.2.3 Die 3/8 Formel 191
9.2.2.4 Weitere Newton Cotes Formeln 192
9.2.3 Quadraturformeln von Haclaurin 194
9.2.3.1 Die Tangententrapezformel 194
9.2.3.2 Weitere Maclaurin Formeln 195
9.2.4 Die Euler Maclaurin Forroeln 197
9.2.5 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 198
9.3 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 200
9.4 Quadraturformeln von Gauß 202
9.5 Das Verfahren von Romberg 205
9.6 Konvergenz der Quadraturformeln 207
10. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen
Differentialgleichungen erster Ordnung 208
10.1 Prinzip und Einteilung der numerischen Verfahren 208
10.2 Einschrittverfahren 209
10.2.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 209
10.2.2 Das Verfahren von Heun (Praediktor Korrektor
Verfahren) 210
10.2.3 Runge Kutta Verfahren 212
10.2.3.1 Allgemeiner Ansatz 212
10.2.3.2 Das klassische Runge Kutta Verfahren 213
10.2.3.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta
Verfahren 215
10.2.4 Implizite Runge Kutta Verfahren 218
10.3 Mehrschrittverfahren 220
10.3.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 220
10.3.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 222
10.3.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von Adams
Moultön 224
10.3.4 Weitere Praediktor Korrektor Formeln 227
10.3.5 Das Mehrschrittverfahren von Gear 228
10.4 Fehlerschä tzungsformeln und Rechnungsfehler 230
10.4.1 Fehlerschätzungsfornteln 230
10.4.2 Rechnungsfehler 232
10.5 Extrapolationsverfahren 233
10.6 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 235
XVI
Seite
11. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei Systemen
von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und
bei Differentialgleichungen höherer Ordnung 236
11.1 Runge Kutta Verfahren 237
11.1.1 Allgemeiner Ansatz 237
11.1.2 Das klassische Runge Kutta Verfahren 237
11.1.3 Runge Kutta Verfahren für Anfangswertprobleme bei
gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung 241
11.1.4 Schrittweitensteuerung 242
11.1.5 Runge Kutta Fehlberg Verfahren 243
11.1.5.1 Beschreibung des Verfahrens 243
11.1.5.2 Fehlerschätzung und Schrittweiten¬
steuerung 245
11.2 Hehrschrittverfahren 248
11.3 Ein Mehrschrittverfahren für steife Systeme 251
12. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 253
12.1 Zurückfuhrung des Randwertproblems auf ein Anfangswert¬
problem 253
12.1.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differential¬
gleichungen zweiter Ordnung 253
12.1.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential¬
gleichungen erster Ordnung 255
12.1.3 Hehrzielverfahren 257
12.2 Differenzenverfahren 260
12.2.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 260
12.2.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 266
12.2.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 268
9f,Q
12.Z.4 Lineare Eigenwertprobleme
Anhang: Standard FORTRAN Programme 271
Verzeichnis der Programme 272
L Literaturverzeichnis 389
L.l Lehrbücher und Monographien 389
L.2 Originalarbeiten 391
L.3 Aufgaben und Formelsammlungen, Tabellenwerke,
Programmbibliotheken 392
L.4 Ergänzungen zu L.l 392
L.5 Ergänzungen zu L.2 394
XVII
L.6 Literatur zur hier nicht behandelten Gebieten 396
L. 6.1 Extremwerte nichtlinearer Funktionen 396
L. 6.2 Optimierung 396
L. 6.3 Nichtlineare Tschebyscheff Approximation 396
L. 6.4 Uneigentliche Integrale 397
L. 6.5 Mehrfache Integrale 397
L. 6.6 Konforme Abbildungen 397
L. 6.7 Stabilität bei Anfangswertproblemen gewöhnlicher
Differentialgleichungen 397
L. 6.8 Integralgleichungen und Variationsrechnung 398
L. 6.9 Partielle Differentialgleichungen 398
L. 6.10 Methode der finiten Elemente 399
Sachregister 400
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