Zahlbereiche: eine elementare Einführung
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Spektrum Akad. Verl.
2001
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| Ausgabe: | 1. Nachdr. |
| Schriftenreihe: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe
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| Beschreibung: | 254 S. graph. Darst. |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I Natürliche Zahlen 5
1 Vom Zählen und von den Zahlen 5
2 Beweistechniken für die natürlichen Zahlen 10
2.1 Vollständige Induktion 11
2.1.1 Verlagerung des Induktionsanfangs 15
2.1.2 Notwendigkeit des Induktionsanfangs 15
2.1.3 Notwendigkeit des Induktionsschrittes 15
2.1.4 Beispiele 15
2.2 Wohlordnungsprinzip und Kettenprinzip 18
2.3 Dirichlet sches Schubfachprinzip 19
2.4 Äquivalenz der verschiedenen Prinzipien 21
3 Axiomatische Charakterisierung der natürlichen Zahlen:
Ordinalzahlen 24
3.1 Perlenketten-Modell der natürlichen Zahlen 24
3.2 Peano-Axiome 26
3.3 Grundrechenarten 28
3.3.1 Definition der Multiplikation 28
3.3.2 Definition der Addition 30
3.3.3 Korrektheit der Definitionen 30
3.3.4 Grundlegende Eigenschaften von Addition und
Multiplikation 32
3.3.5 Kleiner-Relation 36
3.3.6 Subtraktion 39
3.3.7 Ausweitung der Definitionen und Gesetze von N auf No . 40
3.3.8 Division 41
3.3.9 Teilbarkeitsrelation 43
4 Kardinalzahlen 45
4.1 Begriff der Endlichkeit 45
4.2 Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen 47
4.3 Grundrechenarten 49
4.3.1 Addition 49
4.3.2 Multiplikation 52
4.3.3 Kleiner-Relation, Subtraktion und Division 54
5 Primzahlen 55
5.1 Einführung 55
5.2 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 56
5.3 Bestimmung der Primzahlmenge 58
II Bruchzahlen/ Positive rationale Zahlen 61
1 Einige Gründe zur Einführung der Bruchzahlen 62
2 Bruchzahlen 64
3 Anordnung 70
4 Addition 73
5 Subtraktion 77
6 Multiplikation ; ». . . . 79
7 Division 85
8 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen 86
9 Rückblick und Ausblick 89
9.1 Wichtige Gemeinsamkeiten und Unterschiede von N und Q+ . 89
9.1.1 Einige bisher behandelte Gemeinsamkeiten und Unter¬
schiede 89
9.1.2 Dichtheit der Bruchzahlen 90
9.1.3 Mächtigkeit der Bruchzahlen 91
9.2 Die Zahlbereichserweiterung von (TV, ¦) nach (Q+, ¦) - eine Ana¬
lyse unter strukturellen Gesichtspunkten 92
10 Zur Dezimalbruchdarstellung von Bruchzahlen 100
10.1 Definition 101
10.2 Endliche Dezimalbrüche .105
10.3 Periodische Dezimalbrüche 107
10.4 Zur Zuordnung von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen . . 112
III Rationale Zahlen 115
1 Einige Gründe zur Einführung der rationalen Zahlen 117
2 Rationale Zahlen 119
3 Addition/ Subtraktion 121
4 Multiplikation/Division . 131
5 Ausblick I: Die rationalen Zahlen als Körper 140
6 Anordnung 142
7 Ausblick II: Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper 147
8 Absolutbetrag rationaler Zahlen 148
9 Ganze Zahlen 152
10 Rückblick und Ausblick: Verschiedene Einführungswege der ratio¬
nalen Zahlen 154
10.1 Neubau statt Anbau 154
10.2 Wege von den natürlichen zu den rationalen Zahlen 155
IV Reelle Zahlen 159
1 Reelle Zahlen - oder: Warum reicht Q nicht aus? . . 159
1.1 Erstes Beispiel: Existenz der Quadratwurzel 160
1.2 Zweites Beispiel: Inkommensurabilität 162
1.3 Drittes Beispiel: Der Zwischenwertsatz 165
1.4 Viertes Beispiel: Das Monotoniekriterium . . ., 167
2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen 172
2.1 Intervallschachtelungssatz und Archimedisches Axiom 172
2.2 Der Satz von der oberen Grenze 177
2.3 Die Vollständigkeit von E 184
3 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche 186
3.1 Entsprechung von reellen Zahlen und Dezimalbrüchen 186
3.2 Zur Anordnung und Arithmetik für Dezimalbrüche 190
3.3 R als vollständiger, angeordneter Körper 193
4 Zur Konstruktion der reellen Zahlen 195
4.1 Konstruktion von R über Dezimalzahlen 195
4.2 Weitere Konstruktionen im Überblick 198
4.2.1 Dedekindsche Schnitte 199
4.2.2 Intervallschachtelungen 200
4.2.3 Gauchy-Polgen 202
¦ 4.3 Der axiomatische Standpunkt 204
4.4 Rückblick 205
4.5 Anhang 207
V Komplexe Zahlen 213
1 Zur Einbürgerung der komplexen Zahlen 213
2 Der Körper der komplexen Zahlen 216
2.1 Zielsetzung 216
2.2 Vorüberlegungen/ Anforderungen an C 217
2.3 Konstruktion von C 219
2.4 Einbettung der reellen Zahlen . 221
2.5 Zur Anordnung der komplexen Zahlen 223
3 Geometrische Veranschaulichung der komplexen Zahlen 223
4 Pundamentalsatz der Algebra 229
Anhang 235
Lösungshinweise zu den Aufgaben 235
Literatur 247
Liste der verwendeten Symbole 249
Index 251
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