Analyse mathématique: 4 Intégration et théorie spectrale, analyse harmonique, le jardin des délices modulaires
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Berlin [u.a.]
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| adam_text | Table des matières du volume IV
XI — Intégration et Transformation de Fourier 1
§ 1. L intégrale supérieure d une fonction positive 6
1 Intégrale d une fonction sci 6
(i) Mesures positives 6
(ii) Le théorème de Dini 7
(iii) Intégrale d une fonction sci 9
2 Intégrale supérieure d une fonction positive. Ensembles
négligeables, ensembles raisonnables 12
(i) Intégrales supérieures 12
(ii) Ensembles négligeables 15
(iii) Ensembles et fonctions raisonnables 16
3 Les espaces Fp 17
(i) Définition des espaces Fp 17
(ii) Convergence en moyenne et presque partout 19
§ 2. Les espaces Lp 22
4 Fonctions intégrables, espaces LP 22
(i) Intégrale d une fonction intégrable 22
(ii) Les espaces LP ; théorème de Riesz Fischer 25
(iii) Cas des fonctions sci ou ses 29
5 Les théorèmes de Lebesgue 30
(i) Le théorème de convergence dominée 30
(ii) Relation entre Lp et L1 ; inégalité de Hôlder 33
(iii) Applications à la transformation de Fourier dans R 37
§ 3. Ensembles et fonctions mesurables 40
6 Ensembles intégrables et mesurables 40
(i) Propriétés des ensembles intégrables 40
(ii) Ensembles mesurables 42
VI Table des matières du volume IV
7 Fonctions mesurables 44
(i) Espaces séparables 44
(ii) Applications mesurables 46
8 Mesurabilité et continuité 49
(i) Les théorèmes d Egoroff et de Lusin 49
(ii) Fonctions mesurables au sens de Lusin 53
9 Mesurabilité et intégrabilité 55
§ 4. Du côté de chez Lebesgue Fubini 57
10 Le théorème de Lebesgue Fubini (LF) 57
(i) Produit de mesures 57
(ii) Le théorème de Lebesgue Fubini 58
(iii) Compléments au théorème de LF 62
(iv) La formule d inversion de Fourier 65
11 Intermède topologique : espaces polonais 66
(i) Espaces polonais 66
(ii) Fonctions sci sur un espace localement compact polonais ... 72
(iii) Ensembles boréliens dans un espace polonais 73
12 Sommes continues de mesures : exemples 75
(i) Mesures produit 75
(ii) Mesure définie par une densité localement intégrable 76
(iii) Image d une mesure par une application 76
(iv) Quotient d une mesure invariante 78
13 Fonctions intégrables pour une somme continue 79
(i) Cas des fonctions sci 79
(ii) Le théorème de Lebesgue Fubini généralisé 82
14 Fonctions intégrables pour l image d une mesure 85
15 Mesures invariantes par un groupe 90
(i) Mesures invariantes sur un groupe 90
(ii) Représentations linéaires continues 92
(iii) Quotient d un espace par un groupe 96
(iv) Quotient d une mesure invariante 98
(v) Un exemple : le groupe orthogonal dans Mn 101
(m) Cas des espaces homogènes 103
(vit) Cas des groupes discrets 105
Table des matières du volume IV VII
§ 5. Le théorème de Lebesgue Nikodym 110
16 Mesures de base A : fonctions intégrables 110
17 Le théorème de Lebesgue Nikodym (LN) 114
(i) Caractérisation des mesures absolument continues 114
(ii) Application aux mesures complexes 116
(iii) La décomposition de Lebesgue 119
18 Formes linéaires continues sur Lp. L espace L°° 121
§ 6. Décompositions spectrales dans un espace de Hilbert 125
19 Opérateurs dans un espace de Hilbert 125
(i) Définitions, formes linéaires continues 125
(ii) Bases orthonormales 128
(iii) Adjoints, opérateurs hermitiens 129
(iv) Spectre d un opérateur hermitien 131
(v) Topologie faible 133
(vi) Opérateurs de Hilbert Schmidt 135
(vii) Algèbres de von Neumann 137
20 Les théorèmes de Gelfand sur les algèbres normées 141
21 Une caractérisation des algèbres de fonctions continues 148
22 Décompositions spectrales 150
(i) L algèbre de GN d un opérateur normal 150
(ii) Mesure spectrale d une algèbre d opérateurs 152
(iii) Intégration par rapport à une mesure spectrale 154
(iv) Décomposition spectrale d un opérateur normal 159
23 Opérateurs autoadjoints 160
(i) Inverse d un opérateur hermitien injectif 160
(ii) Prolongement canonique d un opérateur symétrique
positif 164
24 Décompositions en sommes continues 169
(i) Vecteurs propres virtuels 169
(ii) Sommes continues d espaces de Hilbert 175
(iii) L espace L2 d une intégrale de mesures 177
§ 7. La transformation de Fourier commutative 181
25 Produit de convolution dans un glc 181
(i) Convolutions et représentations 181
(ii) Convolution de deux mesures 183
VIII Table des matières du volume IV
(iii) Convolution d une mesure et d une fonction 185
(iv) Convolution de deux fonctions 189
(v) Suites de Dirac 191
26 La transformation de Fourier dans L1 (G) 193
(i) Caractères d un glc commutatif 193
(ii) La topologie du groupe dual 195
(iii) L homomorphisme canonique G —» G 198
27 La transformation de Fourier dans L2(G) 199
(i) L algèbre A(G) et ses caractères 199
(ii) Décomposition spectrale de la représentation régulière .... 202
(iii) La mesure invariante du dual 204
(iv) Formule d inversion de Fourier et bidualité 209
§8. Représentations unitaires des groupes localement compacts 211
28 Compléments sur les représentations 211
29 La transformation de Fourier dans un groupe compact 214
(i) Représentations irréductibles d un groupe central 214
(ii) Fonctions centrales sur un groupe compact 216
(iii) Décomposition spectrale de Z(G) 221
(iv) Caractères de Z(G) et représentations irréductibles 224
(v) Faciles généralisations 228
30 Mesures et fonctions de type positif 232
(i) Mesures de type positif 232
(ii) Cas d un groupe commutatif 233
(iii) Fonctions de type positif 235
31 Représentations quasi régulières d un groupe unimodulaire 241
(i) Mesures centrales de type positif 241
(ii) Le théorème de commutation 244
(iii) Traces dans une algèbre hilbertienne 250
(iv) Cas d un groupe commutatif 255
(v) Caractères d un groupe localement compact 256
(vi) Caractères de classe (I) 258
32 Composantes discrètes de la représentation régulière 261
Table des matières du volume IV IX
XII Le jardin des délices modulaires ou,
l opium des mathématiciens 271
§ 1. Séries et produits infinis de la théorie des nombres 271
1 La transformée de Mellin d une transformée de Fourier 271
2 L équation fonctionnelle de la fonction £ 277
3 La méthode de Weil pour la fonction T](z) 284
§ 2. Les séries 5^1/ cos imz et ^2 exp (jrin2z) 293
4 La série J2 V cos 7Tnz 293
5 L identité £) V cos ™z = 6{z)2 296
(i) Le domaine fondamental de F{6) 296
(ii) Une méthode générale 298
(iii) L identité f(z)/6(z)2 = 1 299
6 Le produit infini de la fonction 6(u, z) 301
7 La loi de réciprocité des sommes de Gauss 305
(i) La méthode de Cauchy 305
(ii) La méthode de Dirichlet 308
(iii) La loi de réciprocité quadratique 310
§ 3. Les séries L(s; x) de Dirichlet 314
8 L équation fonctionnelle de r)(z) : bis 314
9 Intermède arithmétique 315
(i) Anneaux quotients 315
(ii) Les groupes G(m) ; caractères mod m 318
(iii) Relations d orthogonalité 322
(iv) Sommes de Gauss 323
(v) Cas du caractère unité 326
10 Les séries 6f(x; ) et L(s; x) 330
(i) Equation fonctionnelle de 0f(x; x) 330
(ii) Les séries L(s, x) • ¦ 331
§ 4. Fonctions elliptiques 337
11 Les théorèmes de Liouville 337
12 Fonctions elliptiques et séries thêta 339
(i) Le théorème d Abel 339
(ii) Fonctions thêta générales 343
(iii) Les métamorphoses de la série de Jacobi 345
X Table des matières du volume IV
13 Le point de vue d Eisenstein et de Weierstrass 350
(i) Convergence des séries d Eisenstein 350
(ii) La fonction p de Weierstrass 353
(iii) Les séries ^ tt2/sin2 ir(u + nz) et G2(z) 358
(iv) Relation entre les fonctions p et 6 360
(v) Fonctions elliptiques ayant des pôles simples donnés 363
(vi) Les fonctions Cl et ox 366
14 Intégrales elliptiques 367
(i) Le corps des fonctions elliptiques 367
(ii) La surface de Riemann du corps des fonctions
elliptiques 369
(iii) Formule d addition 372
§ 5. SZ 2(R) comme groupe localement compact 377
15 Sous groupes, mesure invariante 377
(i) Opérations de SL2(R) dans le demi plan 377
(ii) Les formes automorphes comme fonctions sur G 378
(iii) Sous groupes de SL2 382
(iv) Points fixes et valeurs propres 385
(v) Mesure invariante 385
(vi) Le point de vue du disque unité 388
16 La série discrète de représentations de SL2(R) 390
(i) Fonctions holomorphes intégrables dans le demi plan 391
(ii) Les espaces J^p du disque unité 395
(iii) Un théorème de type Paley Wiener pour Jf? (P) 398
(iv) La fonction noyau de Jff^(P) 401
(v) La série discrète holomorphe de représentations
irréductibles de SL2(R) 403
(vi) Les solutions de l équation / *wr = / 406
§ 6. Fonctions modulaires : la théorie classique 411
17 Domaine fondamental, formes modulaires 411
(i) Générateurs du groupe modulaire 411
(ii) Domaine fondamental 412
(iii) Définition classique des formes modulaires 414
(iv) Séries d Eisenstein et de Poincaré 416
18 Les analogues des deux théorèmes de Liouville 422
(i) La surface de Riemann de SL2{Z) 422
(ii) Zéros et pôles 426
Table des matières du volume IV XI
(iii) Construction des formes modulaires à l aide de A(z)
et des séries d Eisenstein 428
(iv) Application aux fonctions elliptiques 430
§ 7. Groupes fuchsiens 434
19 Généralités sur les formes automorphes 434
(i) Deux lemmes sur les sous groupes discrets 434
(ii) Généralités sur les formes automorphes 438
(iii) La topologie des horocycles. La surface de Riemann de F . 443
(iv) Groupes fuchsiens 447
20 Formes paraboliques et représentations de G 452
21 Séries de Poincaré, d Eisenstein et de Maafi Selberg 459
(i) Séries de Poincaré 459
(ii) Séries de Poincaré Eisenstein 466
(iii) Séries d Eisenstein 470
22 Développements en séries de Fourier 476
(i) Méthode générale 476
(ii) Cas des séries de Poincaré Eisenstein 480
(iii) Cas des formes de Maafi Selberg ; prolongement analytique 484
§ 8. La théorie de Hecke 493
23 Formes modulaires et séries de Dirichlet 493
(i) Les séries de Hecke 493
(ii) Les séries de Weil 495
(iii) Extension aux formes non holomorphes 501
24 Les opérateurs de Hecke 504
(i) Les opérateurs T{x) dans un groupe abstrait 504
(ii) Les T{x) dans un groupe localement compact 507
(iii) Les opérateurs T(x) pour le groupe modulaire 510
(iv) Les opérateurs T(p) : cas des fonctions sur F G 512
(v) Fonctions propres des opérateurs de Hecke 514
(vi) Applications aux formes modulaires 517
§ 9. SL2(M.) comme groupe de Lie 520
25 Groupes de Lie 520
(i) Définition et exemples 520
(ii) Opérations sur les vecteurs tangents 521
(iii) Dérivations et champs de vecteurs invariants 523
(iv) Coordonnées canoniques 525
XII Table des matières du volume IV
(v) L algèbre de Lie d un groupe 528
(vi) Algèbres de Lie des groupes classiques 530
(vii) Distributions et opérateurs différentiels invariants 531
26 L algèbre de Lie en dimension infinie 537
(i) Le sous espace M =° 537
(ii) Différentiabilité faible et différentiabilité forte 539
(iii) Opérateurs de convolution dans Jf°° 542
(iv) Le théorème de Dixmier et Malliavin 544
(v) Vecteurs analytiques 546
(vi) Cas des représentations unitaires 549
27 Opérateurs différentiels dans 5L2(M) 552
(i) L algèbre de Lie de SL2(M.) 552
(ii) Opérateurs différentiels dans le demi plan 555
28 La représentation de g associée à une fonction holomorphe 559
(i) Le g module HCr(f) = HC(fr) 559
(ii) Cas r = p 0 561
(iii) 0 modules simples de dimension finie 562
(iv) Condition pour que dimHCr(f) +oo 563
(v) Un théorème de Maafi 564
29 Représentations irréductibles de g 565
(i) Classification 565
(ii) Modèles fonctionnels des représentations de g 567
30 Représentations irréductibles de G 570
(i) Le théorème de multiplicité un 570
(ii) Modèles fonctionnels pour G : série discrète 572
(iii) Modèles fonctionnels pour G : série principale paire 574
Index 580
Table des matières du volume I 587
Table des matières du volume II 591
Table des matières du volume III 595
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