Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: [für Studium, Berufspraxis und Lehramt]
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2002
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1
§ 1 Modelle für Zufallsexperimente, Abzählmethoden 1
1.1 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 2
1.2 Einfache Urnenmodelle 6
1.3 Anwendungsbeispiele 10
1.4 Die hypergeometrische Verteilung 12
1.5 Vereinigungen von Ereignissen 12
1.6 Multinomialkoeffizienten 14
1.7 Runs 14
1.8 Einfache Identitäten für Binomialkoeffizienten 15
Anhang 17
Aufgaben 19
§2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 21
2.1 Definition und Eigenschaften bedingter Wahrscheinlichkeiten ... 21
2.2 Unabhängigkeit 25
2.3 Produktexperimente 27
2.4 Einige Verteilungen für Produktexperimente 29
2.5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 31
2.6 Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsräumen
aus bedingten Wahrscheinlichkeiten 32
2.7 Austauschbare Verteilungen 34
2.8 Genetische Modelle 35
2.9 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Scheinkorrelation 37
Anmerkungen 39
Aufgaben 40
§ 3 Zufalls variable, Erwartungswert, Varianz 42
3.1 Verteilungen von Zufallsvariablen 42
3.2 Unabhängigkeit 45
3.3 Erwartungswerte 46
3.4 Das Rechnen mit Indikatorfunktionen 49
3.5 Varianz und Kovarianz 52
3.6 Das schwache Gesetz der großen Zahlen 56
Aufgaben 58
§ 4 Grundbegriffe der Schätztheorie 60
4.1 Der allgemeine Rahmen von Schätzproblemen 61
4.2 Maximum-Likelihood-Schätzer 62
4.3 Erwartungstreue 63
4.4 Der mittlere quadratische Fehler 65
viii Inhaltsverzeichnis
4.5 Die Informationsungleichung 66
4.6 Konsistenz 68
4.7 Konfidenzintervalle 69
Aufgaben 74
§ 5 Approximationen der Binomialverteilung 76
5.1 Approximation von n! und bn,p(k) 76
5.2 Der Satz von de Moivre-Laplace 80
5.3 Anwendungen 83
5.4 Die Poisson-Approximation 85
Anhang 89
Aufgaben 90
§6 Tests 92
6.1 Beispiel der „tea tasting Lady 92
6.2 Grundbegriffe der Testtheorie 94
6.3 Mehr zur „tea tasting Lady 95
6.4 Ein verfeinertes Modell für den Tee-Test 97
6.5 Beispiel des Testens der
Existenz von außersinnlicher Wahrnehmung 99
6.6 Eine Erweiterung des Testbegriffs: Randomisierte Tests 100
6.7 Tests einfacher Hypothesen gegen einfache Alternativen 101
6.8 Anwendung auf zusammengesetzte Alternativen 103
6.9 Allgemeine Hinweise zur Testtheorie 103
6.10 p-Werte 104
Aufgaben 105
§ 7 Erzeugende Funktionen 107
Verzweigungsprozesse 111
Aufgaben 113
§8 Entropie und Codierung 114
8.1 Der Quellen-Codierungssatz 114
8.2 Anwendung auf mehrstufige Zufallsexperimente 117
Aufgaben 118
§ 9 Laufzeitanalysen von rekursiven Algorithmen 120
Aufgaben 126
Kapitel II Allgemeine Modelle 128
§ 10 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten 128
10.1 er-Algebren und allgemeine Wahrscheinlichkeitsmaße 128
10.2 Beispiele von Verteilungen mit Dichten 131
Anhang 136
Aufgaben 138
Inhaltsverzeichnis ix
§11 Zufallsvariable und ihre Momente 140
11.1 Messbare Funktionen 140
11.2 Verteilungen von Zufallsvariablen 142
11.3 Unabhängigkeit 143
11.4 Erwartungswerte 145
11.5 Mehrdimensionale Dichtetransformation und Normalverteilung . . 147
Aufgaben 151
§ 12 Grenzwertsätze 153
12.1 Das starke Gesetz der großen Zahlen 153
12.2 Normale Zahlen 157
12.3 Der Zentrale Grenzwertsatz 158
Anhang 162
Aufgaben 163
§ 13 Schätzverfahren und Fehlerrechnung 164
13.1 Maximum-Likelihood-Schätzungen bei Dichten 164
13.2 Konfidenzintervalle 166
13.3 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz 167
13.4 Die Methode der kleinsten Quadrate 168
13.5 Mediän, Ausreißer und Robuste Schätzer 170
Anhang 172
Aufgaben 174
§ 14 Einige wichtige Testverfahren 175
14.1 Der t-Test 175
14.2 Einfache Varianzanalyse 180
14.3 x2-Tests 182
14.4 Nichtparametrische Tests 187
Anhang 192
Aufgaben 194
Kapitel III Markowsche Ketten 195
§ 15 Die markowsche Eigenschaft 195
15.1 Definition und Beispiele 195
15.2 Einfache Folgerungen aus der markowschen Eigenschaft 197
15.3 Stationäre Übergangswahrscheinlichkeiten 198
15.4 Absorptionswahrscheinlichkeiten 200
15.5 Absorptionsverteilungen 201
Aufgaben 203
§ 16 Das Verhalten markowscher Ketten in langen Zeiträumen 205
16.1 Ketten mit endlich vielen Zuständen 205
16.2 Kommunizierende Zustände und Periodizität 208
x Inhaltsverzeichnis
16.3 Rekurrenz und Transienz 210
Anhang 215
Aufgaben 216
§ 17 Der Erneuerungssatz 218
17.1 Die Erneuerungsgleichung 218
17.2 Anwendung auf Übergangswahrscheinlichkeiten 221
17.3 Bestimmung der ma 223
Aufgaben 226
§ 18 Der Poisson-Prozess 227
18.1 Charakterisierung des Poisson-Prozesses 227
18.2 Sprungzeiten beim Poisson-Prozess 230
Aufgaben 232
Hinweise zum Weiterlesen 234
Lösungen der mit (L) gekennzeichneten Aufgaben 236
Literaturverzeichnis 243
Tabellen 247
Symbolverzeichnis 252
Namen- und Sachwortverzeichnis 253
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