Funktionentheorie: 1
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| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer-Verlag
2002
|
| Ausgabe: | 5., neu bearb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundwissen Mathematik
Springer-Lehrbuch Grundwissen Mathematik ... Springer-Lehrbuch |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Dieser Bd. erschien früher als Bd. 5 der Reihe "Grundwissen Mathematik" |
| Beschreibung: | XX, 401 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540418555 |
Internformat
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Historische Einführung....................................... 1
0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen................. 7
0.1 Der Körper
С
der komplexen Zahlen...................... 7
0.1.1 Der Körper
С
.................................... 7
0.1.2 Absoluter Betrag und Polarkoordinaten............. 9
0.1.3 K-lineare und
C-lineare
Abbildungen
СчС
......... 11
0.1.4 Skalarprodukt ................................... 12
0.1.5 Winkeltreue Abbildungen ......................... 13
0.2
Topologische
Grundbegriffe.............................. 15
0.2.1 Metrische Räume................................. 15
0.2.2 Offene und abgeschlossene Mengen................. 17
0.2.3 Konvergente Folgen. Häufungspunkte............... 17
0.2.4 Historisches zum Konvergenzbegriff................. 18
0.2.5 Kompakte Mengen............................... 19
0.3 Konvergente Folgen komplexer Zahlen..................... 20
0.3.1 Rechenregeln .................................... 20
0.3.2 Cauchysches
Konvergenskriterium.
Charakterisierung
kompakter Mengen in
С
........................... 22
0.4 Konvergente und absolut konvergente Reilien .............. 23
0.4.1 Konvergente Reihen komplexer Zahlen.............. 23
0.4.2 Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium .... 25
0.4.3 Umordimngssatz................................. 2(i
0.4.4 Historisches zur absoluten Konvergenz.............. 20
0.4.5 Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz ... 27
0.4.6 Reihenproduktsatz ............................... 28
0.5 Stetige Funktionen ..................................... 2!)
0.5.1 Stetigkeitsbegriff................................. 30
0.5.2 Die C-Algebra C{X).............................. 31
0.5.3 Historisches zum Funktionsbegriff.................. 32
0.5.4 Historisches zum Stetigkeitsbegrifl .................. 33
0.6 Zusammenhängende Räume. Gebiete in
С
................. 34
0.6.1 Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff .. 35
0.6.2 Wege und Wegzusammenhang ..................... 35
XII Inhaltsverzeichnis
0.6.3 Gebiete in
С
.....................................
M
0.6.4
Zusammenhangskomponenten
vou
Bereichen......... 38
0.6.Ő
Rand und Raiidabstand........................... 38
1. Komplexe Differentialrechnung........................... 41
1.1 Komplex difFerenzierbare Funktionen...................... 42
1.1.1 Komplexe Differenzierbarkeit ...................... 43
1.1.2 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen......... 44
1.1.3 Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differenti¬
algleichungen .................................... 45
1.2 Komplexe und reelle Differenzierbarkeit................... 46
1.2.1 Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen 46
1.2.2 Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differen¬
zierbarkeit ....................................... 47
1.2.3 Beispiele zu den Cauchy-Riemannschen Gleichungen .. 48
1.2.4 * Harmonische Funktionen ........................ 49
1.3 Holomorphe Funktionen................................. 51
1.3.1 Differentiationsregeln............................. 52
1.3.2 Die
C-Algebra
O(D).............................. 54
1.3.3 Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen....... 55
1.3.4 Historisches zur Notation.......................... 56
1.4 Partielle Differentiation nach
x, y, z
und
г
................. 57
1.4.1 Die partiellen Ableitungen fx, fy, fz,
fa
............. 58
1.4.2 Beziehungen zwischen den Ableitungen ux, uy, vx, vy,
JXl Jy-I JZl J~z..................................... 59
1.4.3 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung f| = (J 60
1.4.4 Kalkül der Differentialoperatoren ■§- und
Љ
......... 60
et
ζ
oz
2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen 65
2.1 Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.................. 66
2.1.1 Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie...... 66
2.1.2 Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie........ 67
2.1.3 Geometrische Deutung der Winkeltreue............. 68
2.1.4 Zwei Beispiele.................................... 69
2.1.5 Historisches zur Winkeltreue....................... 71
2.2 Biholomorphe Abbildungen.............................. 72
2.2.1 Komplexe 2x2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen 73
2.2.2 Die biholomorphe Cayleyabbildung
H
Α· Ε, ζ Η»
f=|
.. 74
2.2.3 *
Bijektive
holomorphe Abbildungen von
Η
und von
E
auf die geschlitzte Ebene........................ 75
2.3 Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreise.s 76
2.3.1 Automorphismen von
Η
........................... 77
2.3.2 Automorphismen von
E
........................... 78
2.3.3 Die Schreibweise
η=Ξ3[
шг
Automorphismen von
E
. . 79
2.3.4 Homogenität von
E
und
Η
......................... 79
Inhaltsverzeichnis
XIII
3. Konvergenzbegriffe der Punktionentheorie................ 81
3.1 Gleichmäßige, lokal-gleichmäßige und kompakte Konvergenz . 83
3.1.1 Gleichmäßige Konvergenz ......................... 83
3.1.2 Lokal-gleichmäßige Konvergenz..................... 84
3.1.3 Kompakte Konvergenz............................ 85
3.1.4 Historisches zur gleichmäßigen Konvergenz .......... 86
3.1.5 * Kompakte und stetige Konvergenz................ 87
3.2 Konvergenzkriterien .................................... 90
3.2.1 Weierstraßsches Majorantenkriterium............... 91
3.3 Normal konvergente Reihen.............................. 92
3.3.1 Normale Konvergenz.............................. 92
3.3.2 Diskussion der normalen Konvergenz................ 93
3.3.3 Historisches zur normalen Konvergenz .............. 94
4. Potenzreihen............................................. 97
4.1 Konvergenzkriterien .................................... 98
4.1.1 Abelsches Konvergenzlemma....................... 98
4.1.2 Konvergenzradius ................................ 99
4.1.3 Formel von Cauchy-Hadamard..................... 99
4.1.4 Quotientenkriterium..............................100
4.1.5 Historisches zu konvergenten Potenzreihen...........101
4.2 Beispiele konvergenter Potenzreihen.......................103
4.2.1 Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Euler-
sche Formel......................................103
4.2.2 Logarithmische Reihe und Arcustangensreihe ........104
4.2.3 Binomische Reihe ................................105
4.2.4 * Konvergenzverhalten auf dem Rand...............106
4.2.5 * Abelscher Stetigkeitssatz ........................107
4.3 Holomorphie von Potenzreihen...........................109
4.3.1 Formale gliedweise Differentiation und Integration .... 109
4.3.2 Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz .... 110
4.3.3 Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen 111
4.3.4 Beispiele holomorpher Funktionen..................111
4.4 Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen........113
4.4.1 Ordnungsfunktion................................114
4.4.2 Einheitensatz....................................114
4.4.3 Normalform konvergenter Potenzreihen..............115
4.4.4 Bestimmung aller Ideale........................... 1 l(j
5. Elementar-transzendente Funktionen.....................119
5.1 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen ......120
5.1.1 Charakterisierung von
exp z
durch die Differentialglei¬
chung ...........................................120
5.1.2 Additionstheorem der Exponentialfunktion..........121
5.1.3 Bemerkungen zum Additionstheorem...............122
XIV Inhaltsverzeichnis
5.1.4 Additionstheorem für cos
z mul
sin
z
................ 123
5.1.5 Historisches zu cüs
z
und
.sin z
......................124
•5.1.6 Hyperbolische Funktionen.........................124
5.2 Epimorphiesatz für
exp z
und Folgerungen.................125
5.2.1 Epimorphiesatz .................................. 126
5.2.2 Die Gleichung Kern(exp) =
2τπΖ
................... 127
5.2.3 Periodizität von
exp z.............................
128
5.2.4 Wertevorrat. Nullstellen und Periodizität von cos
z
und sin
z
........................................129
5.2.5
Cotangens-
und Tangensfunktion. Arcustangensreihe .. 130
5.2.6 Die Gleichung ¿i =
і
.............................131
5.3 Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen... 132
5.3.1 Polarkoordinaten.................................133
5.3.2 Bogenmaß und Argument .........................134
5.3.3 Einheitswurzeln..................................135
5.3.4
Singulare
Punkte und natürliche Grenzen............135
5.3.5 Historisches zu natürlichen Grenzen ................137
5.4 Logarithmusfunktionen..................................138
5.4.1 Definition und elementare Eigenschaften ............138
5.4.2 Existenz von Logarithmusfunktionen................139
5.4.3 Die Eulersche Folge (1 + z/n)71.....................140
5.4.4 Hauptzweig des Logarithmus.......................141
5.4.5 Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen .. 142
5.5 Diskussion von Logarithmusfunktionen....................143
5.5.1 Zu den Identitäten log(wz) = log
ад
+ log
z
und log(exp z) =
z
................................143
5.5.2 Logarithmus und Arcustangens ....................145
5.5.3 Potenzfunktionen. Formel von Newton-Abel .........145
5.5.4 Die Riemaimsche C-Funktion.......................147
6. Komplexe Integralrechnung...............................149
6.1 Integration in reellen Intervallen..........................150
6.1.1 Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschät¬
zung ............................................150
6.1.2 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrech¬
nung ............................................151
6.2 Wegintegrale in
С
......................................153
6.2.1 Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege .... 153
6.2.2 Integration längs Wegen...........................154
6.2.3 Die Integrale
¡,)Β(ζ
-
cY dÇ
........................IM
6.2.4 Historisches zur Integration im Komplexen ..........157
6.2.5 Unabhängigkeit von der Parainetrisierang...........157
6.2.6 Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen ........158
6.3 Eigenschaften komplexer Wegintegrale ....................159
6.3.1 Standardabschätzimg .............................161
Inhaltsverzeichnis
XV
6.3.2 Vertauschungssätze...............................162
6.3.3 Das Integral
¿¡
¡дв
^,
В
=
Br(c)
.................163
6.4 Wegunabhängigkeit von Integralen, Stammfunktionen.......165
6.4.1 Stammfunktionen................................ 165
6.4.2 Bemerkungen über Stammfunktionen, Integrabilitäts-
kriterium........................................ 166
6.4.3 Integrabilitätskriterium für Sterngebiete............. 168
7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung. 171
7.1 Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.................. 171
7.1.1 Integrallemma von Goursat........................ 171
7.1.2 Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete ........... 173
7.1.3 Historisches zum Integralsatz...................... 174
7.1.4 Historisches zum Integrallemma.................... 176
7.1.5 * Reeller Beweis des Integrallemmas................ 177
7.1.6 * Die Fresnelschen Integrale....................... 178
7.1.7 * Das Integral I(z) := j™ i 1^ * - e~tz)at ......... 179
7.2 Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben............... 180
7.2.1 Zentrierungslemma............................... 180
7.2.2 Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben......... 182
7.2.3 Historisches zur Integralformel..................... 184
7.2.4 * Die Cauchysche Integralformel für reell stetig diffe¬
renzierbare Funktionen............................ 184
7.2.5 * Schwarzsehe Integralformel....................... 185
7.3 Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen....... 187
7.3.1 Entwicklungslemma............................... 187
7.3.2 Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor................ 189
7.3.3 Historisches zum Entwicklungssatz ................. 190
7.3.4 Lokal endliche Mengen. Riemannscher Fortsetzungssatz 191
7.3.5 Historisches zum Riemannschen Fortsetzungssatz..... 191
7.4 Diskussion des Entwicklungssatzes........................ 193
7.4.1 Holomorphie und unendlich häufige komplexe Diffe-
renzierbarkeit.................................... 193
7.4.2 Umbildungssatz.................................. 194
7.4.3 Analytische Fortsetzung........................... 194
7.4.4 Produktsatz für Potenzreihen...................... 195
7.4.5 Bestimmung von Konvergenzradien................. 196
7.5 * Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.............. 197
7.5.1 Taylorreihe von z{ez - l) 1. Bernoullische Zahlen___ 198
7.5.2 Taylorreihen von
z
cot z, tan
z
und
^Д^
............. 199
7.5.3 Potenzsummen und Bernoullische Zahlen............ 199
7.5.4 Bernoullische Polynome........................... 201
W! łuhalr-wr/firlini^
8. Fimdamontalsätzt1 über holomorph*·
Fuiiktiouc ii
..........203
s.l
bleut
iiät^-íit/
..........................................
2U3
N.l.l
Иыкгы·!«^
zum
Iden)
itathat/.
.....................
20(¡
>·Λ.2
Lukale
Kmlliľlikeit «br
.»-Stellen....................207
x.lM XulĽtellenuiduimy,
und Vtellaelilieit ................207
?ş.
1.4
Kxisteuz
singular«*!·
Punkte
........................20!)
řš.2
Der Holouiorphiebejtritf
.................................211
8.2.
і
Hoioinorpltie.
lokale
Integrabilità! iìikI
konvergente
ΙΌ-
tf iizrcihcn
.......................................211
4.2.2
Holoiiiorphic
von Integralen .......................212
8.2.3 Holomorphie. Winkel- und Orient
іегш
igst reue (endgülti¬
ge Fassung)......................................213
8.2.4 Cauchyseher. Riemaimscher und Weierst raßscher Stand¬
punkt. Das Glaubensbekenntnis von Weierstraß......213
8.3 Caudiysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorko¬
effizienten .............................................215
8.3.1 Cauchysche Alischätzung..........................215
8.3.2 Gutzmersche Formel. Maximuniprinzip..............216
8.3.3 Ganze Funktionen. Satz von Liouville...............218
8.3.4 Historisches zu den Cauchyschen Ungleichungen und
zum Satz von Liouville............................220
8.3.5 * Beweis der Cauchyschen Ungleichungen nach Weier¬
straß............................................220
8.4 Konvergenzsätze von Weierstraß..........................222
8.4.1 Weierstraßscher Konvergenzsatz....................222
8.4.2 Differentiationssätze für kompakt konvergente Reihen . 222
8.4.3 Historisches zu den Konvergenzsätzen...............224
8.4.4 * Weitere Konvergenzsätze ........................225
8.4.5 * Eine Bemerkung Weierstraß zur Holomorphie......226
8.4.6 * Eine Konstruktion von Weierstraß................227
8.5 Offenheitssatz und Maximumprinzip......................228
8.5.1 Offenheitssatz....................................229
8.5.2 Maximumprinzip.................................230
8.5.3 Historisch«« zum Maximumprinzip..................231
8.5.4 Verschärfung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes . . 232
8.5.5 Satz von Hurwitz.................................232
9.
Miscellanea
...............................................235
!λ
1 Finidainentalsatz der Algebra............................235
9.1.1 FiindameritalHatz der Algebra......................235
9.1.2 Vier Beweise des Fundament alsatzes................237
9.1.3 Satz von Gauß über die Lage der Nullst.ellen von Ab¬
leitungen ........................................237
9.2 Schwarzsehcs Lemma und die Gruppen AutE, Aul
Η
........239
9.2.1 Sehwarzsehes Lemma.............................239
Inhaltsverzeichnis XVII
9.2.2 Mittelpunktstreue Automorphismen von
E. Die
Grup¬
pen
Aut E
und
Aut H
.............................239
9.2.3
Fixpunkte
von Automorphismeii ...................241
9.2.4 Historisches zum Schwarzsehen Lemma..............241
9.2.5 Lemma von Schwarz-Pick .........................242
9.2.Ö Satz von
Study
...................................243
9.2.7 Schwarzsches Lemma und Abschätzung der ersten Ab¬
leitung ..........................................244
9.3 Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.........245
9.3.1 Logarithmische Ableitung. Existenzlemma...........246
9.3.2 Homologisch einfach zusammenhängende Bereiche. Exi¬
stenz holomorpher Logarithmusfunktionen...........247
9.3.3 Holomorphe Wurzelfunktionen.....................247
9.3.4 Die Gleichung ƒ
(г)
= ƒ
(с)
exp
¡η η^γάζ
.............248
9.3.5 Die Kraft der Quadratwurzel ......................249
9.4 Biholomorphe Abbildungen. Lokale
Normalform
............250
9.4.1 Biholomorphiekriterium...........................250
9.4.2 Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbil¬
dungen ..........................................251
9.4.3 Lokale Normalform...............................253
9.4.4 Geometrische Interpretation der lokalen Normalform . . 253
9.4.5 Faktorisierung holomorpher Funktionen.............254
9.5 Allgemeine Cauchy-Theorie..............................255
9.5.1 Die Indexfunktion md7(r).........................256
9.5.2 Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.......257
9.5.3 Beweis von iii)=Mi) nach Dixon.....................258
9.5.4 Nullhomologie. Charakterisierung homologisch einfach
zusammenhängender Bereiche......................260
9.6 * Asymptotische Poteiizreihenentwickliingen...............261
9.6.1 Definition und elementare Eigenschaften ............262
9.6.2 Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asym¬
ptotischer Entwicklungen..........................263
9.6.3 Asymptotische Entwicklungen und Differentiation .... 264
9.6.4 Satz von Ritt....................................265
9.6.5 Satz von
Borei
...................................268
10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.........271
10.1 Isolierte Singularitäten..................................271
10.1.1 Hebbare Singularitäten. Pole.......................272
10.1.2 Entwicklung von Funktionen um Polstellen..........273
10.1.3 Wesentliche Singularitäten. Satz von Casorati-Weier-
straß............................................274
10.1.4 Historisches zur Charakterisierung isolierter Singula¬
ritäten ..........................................276
XVIII Inhaltsverzeichnis
10.2 *
Automorphismén
punktierter Bereiche...................277
10.2.1 Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen......277
10.2.2 Die Gruppen
Aut C
und AutfC*)...................278
10.2.3 Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche .. 279
10.2.4 Starre Gebiete...................................280
10.3 Meromorphe Funktionen ................................281
10.3.1 Definition der Meromorphie........................282
10.3.2 Die C-Algebra M{D) der in
D
meromorphen Funk¬
tionen ..........................................283
10.3.3 Division von meromorphen Funktionen..............284
10.3.4 Die Ordnungsfunktion oc..........................286
11. Konvergente Reihen meromorpher Punktionen............287
11.1 Allgemeine Konvergenztheorie............................287
11.1.1 Kompakte und normale Konvergenz ................288
11.1.2 Rechenregeln ....................................289
11.1.3 Beispiele........................................290
11.2 Die Partialbruchentwicklung von
тг
cot
πζ
..................291
11.2.1
Cotangens
und Verdopplungsformel. Die Identität
тг
cot
πζ
=
εχ(ζ)
..................................291
11.2.2 Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis . 293
11.2.3 Partialbruchreihen für
^j^
und -^ .............294
11.2.4 * Charakterisierung des
Cotangens
durch sein Additi¬
onstheorem bzw. seine Differentialgleichung..........295
11.3 Die Eulerschen Formeln für
Σν>1 -^
.....................296
11.3.1 Entwicklung von
ε [ζ)
um 0 und Eulersche Formeln
für C(2n)........................................296
11.3.2 Historisches zu den Eulerschen C(2n)-Formeln........297
11.3.3 Differentialgleichung für
ει
und eine Identität für Ber-
noullische Zahlen.................................298
11.3.4 Die Eisensteinreihen ek{z) :=
Σ°?χ
^¿^...........299
11.4 * Eisenstein-Theorie trigonometrischer Funktionen..........300
11.4.1 Additionstheorem................................301
11.4.2 Eisenstein« Grundformeln.........................301
11.4.3 Weitere Eisensteinsche Formeln und die Identität
ει (ζ) = π
cot
πζ
..................................303
ΓΙ.
4.4 Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach Eisenstein 304
12. Laurentreihen und Fourierreihen .........................307
12.1 Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen . . . . 507
12.1.1 Cauchytheorie für Kreisringe.......................308
12.1.2 Laurentdarstellung in Kreisringen ..................310
12.1.3 Laurententwicklungen.............................311
12.1.4 Beispiele........................................313
12.1.5 Historisches zum Satz von Laurent .................314
Inhaltsverzeichnis XIX
12.1.6 * Herleitung des Satzes von Laurent aus dem Satz von
Cauchy-Taylor...................................315
12.2 Eigenschaften von Laurentreihen.........................319
12.2.1 Konvergenzsatz und Identitätssatz..................319
12.2.2 Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen .. 321
12.2.3 Charakterisierung isolierter Singularitäten...........321
12.3 Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen......323
12.3.1 Streifengebiete und Kreisringe .....................323
12.3.2 Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten 324
12.3.3 Fourierentwickhmg in Streifengebieten ..............325
12.3.4 Beispiele........................................326
12.3.5 Historisches zu Fourierreihen.......................327
12.4 Die Thetafunktion......................................327
12.4.1 Konvergenzsatz..................................328
12.4.2 Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.......329
12.4.3 Die Fourierreihe von
e~ 2ltTŮ{ÍTz,
τ)................
330
12.4.4 Transformationsformel der Thetafunktion ...........332
12.4.5 Historisches zur Thetafunktion.....................333
12.4.6 Über das Fehlerintegral ...........................334
13. Residuenkalkül...........................................339
13.1 Residuensatz...........................................339
13.1.1 Einfach geschlossene Wege.........................339
13.1.2 Das Residuum...................................342
13.1.3 Beispiele........................................344
13.1.4 Residuensatz.....................................346
13.1.5 Historisches zum Residuensatz.....................347
13.2 Folgerungen aus dem Residuensatz .......................348
13.2.1 Das Integral
¿¡
ƒ,
F(ţ)-$fedC...................
348
13.2.2 Anzahlformel für Null- und Polstelleu...............349
13.2.3 Satz von
Ronché
.................................350
14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül .................355
14.1 Berechnung von Integralen...............................355
14.1.1 Uneigentliche Integrale............................355
14.1.2 Trigonometrische Integrale J~
і?
(cos
φ,
sin
ç)dç
......357
14.1.3 Uneigent
liche
Integrale
/^.
f{,r)dx.................358
14.1.4 Das Integral ¡¿~ j^rd.r für m.
η
Є
Ν.
0 <
m
<
η
.... 359
14.2 Weitere Integralauswertungen............................361
14.2.1 Uneigentliche Integrale
(Д,
//(,г)е; <1.г
..............361
14.2.2 Uneigentliche Integrale [^ tj(.v).r ~ h-..............363
14.2.3 Die Integrale ¡^ ^^d.r..........................366
14.3 Gaußsche Summen .....................................368
14.3.1 Abschätzung von
—^-
für 0 <
и
< 1................369
XX
Inhaltsverzeichnis
14.3.2 Berechnung der Gaußschen Summen Gn := Y^=o e~^v
ι
η
> 1...........................................370
14.3.3 Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel
f
°° e-*2di = yß.................................372
14.3.4 Fourierreihen der Bernoullischen Polynome..........373
Kurzbiographien von Abel, Cauchy, Eisenstein, Euler, Riemann
und Weierstraß...........................................375
Literatur .....................................................381
Namensverzeichnis ...........................................391
Symbolverzeichnis............................................395
Sachverzeichnis...............................................397
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