Ansätze zur Robustifizierung des Kalman-Filters:
Gespeichert in:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Bayreuth
Mathematisches Inst. der Univ.
2001
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| Ausgabe: | 1. print. |
| Schriftenreihe: | Bayreuther mathematische Schriften
64 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Titel: Ansätze zur Robustifizierung des Kalman-Filters
Autor: Ruckdeschel, Peter
Jahr: 2001
Inhaltsverzeichnis
Einftthrung und Inhalt v
Introduction and Contents [Engl.] xiv
Notation xxxiii
I Robuste Zustandsschatzung bei bekannten Hyper-
Parametern 1
1 Klassischer Rahmen 3
1.1 Das Zustandsraummodell........................................3
1.1.1 Definition..................................................3
1.1.2 Verteilungsannahmen ....................................3
1.1.3 Abgrenzung................................................5
1.2 Problemstellung und klassische Losung..........................8
1.2.1 Filter-/Glattungs-/Vorhersage-Problem................8
1.2.2 der klassische Kalman-Filter...............9
1.2.3 Eigenschaften des klassischen Kalman-Filters.....10
1.3 Charakterisierung der Linearitat ................13
1.4 Nichtrobustheit des klassischen Verfahrens...........17
1.4.1 AO-Ausreifier.......................17
1.4.2 IO-Ausrei8er.......................17
1.4.3 andere Ausreifier-Typen.................18
1.4.4 Beispiele fiir AO s und IO s...............18
1.5 Robustifizierungsansatze.....................19
1.5.1 Robustheit in der Kontrolltheorie............19
xxi
inhaltsverzeichnis
1.5.2 Robustheit durch Hard Rejection ..........20
1.5.3 Robustheit ciurch vt, et mit starkeren Flanken als in
(V3) oder (V4)......................21
1.5.4 Robustheit durch Verwenden parallel laufender Filter 23
1.5.5 Robustheit mit robusten Verfahren aus anderen Kon-
texten...........................^
1.5.6 Minimax-Robustheit ...................25
2 Der rLS-Filter 27
2.1 Motivation ............................^
2.2 Robustifizierung .........................28
2.2.1 robustes Optimierungsproblem.............28
2.2.2 der rLS-Filter.......................29
2.2.3 algorithmische Eigenschaften des rLS-Filters.....29
2.2.4 Wahl von 6 und K ...................29
2.3 Bexechnung der Tuningkonstanten b und K .........30
2.3.1 vereinfachte Bestimmung von b.............30
2.3.2 numerische Bestimmung der Tuningkonstanten .... 31
2.3.3 Resultat fur t = 1 ....................31
2.4 Varianten.............................32
2.4.1 Hybridfilter........................32
2.4.2 der Filter von Masreliez/Martin ............32
2.4.3 optimierter MM-Filter..................34
2.5 1st A?rLS wirklich besser als MKK ? ..............34
2.5.1 einige analytische Resultate...............34
2.5.2 Bestimmung der optimalen Matrix MtLS .......36
2.6 Beispiele..............................37
2.7 Bewertung.............................41
2.8 Verfiigbarkeit...........................43
3 Der rIC-Filter 44
3.1 Das Filterproblem als Regressionsproblem...........44
3.1.1 der klassische Kalman-Filter als KQ -Regressions -
Schatzer...........................44
3.1.2 das Zustandsraummodell als Regressionsmodell .... 45
3.1.3 Influenzkurven in diesem Regressionsmodell......46
3.1.4 der Kalman-Filter als One-Step-Schatzer.......47
3.2 Der rIC-Filter........................4g
INHALTSVERZEICHNIS
xxiii
3.2.1 Definition.........................49
3.2.2 Kriterium fur b......................50
3.2.3 eine Variante dieser Robustifizierung..........50
3.3 Aquivarianz beim rIC und andere Normen...........51
3.3.1 Fall p = 1.........................51
3.3.2 informations-standardisierte IC.............52
3.3.3 selbststandardisierte IC.................53
3.4 rICsep mit anderen Normen...................53
3.4.1 informations-standardisierte IC.............54
3.4.2 selbststandardisierte IC.................55
3.5 Beispiele..............................55
3.6 Bewertung.............................57
3.7 Verfiigbarkeit...........................59
4 Der mIC-Glatter und -Filter 60
4.1 Problemstellung..........................60
4.1.1 Innovationsausreifier...................60
4.1.2 ein grofies Regressionsproblem .............60
4.2 Klassische Losung ........................61
4.2.1 die Kleinste-Quadrate-Losung.............61
4.2.2 die (m + l)p-dimensionale Scores-Funktion......62
4.2.3 Influenzkurven in diesem Regressionsmodell......63
4.2.4 verschiedene Konstruktionen im idealen Modell .... 63
4.3 Robustifizierung .........................64
4.3.1 Definition von ^ mlc ...................64
4.3.2 feste und variable Fensterweite.............64
4.3.3 Posterior-Modus fur andere Eichverteilungen als die
Normalverteilung.....................65
4.3.4 separates Stutzen.....................67
4.4 Blockweises Stutzen.......................67
4.4.1 Vorarbeiten........................68
4.4.2 blockweise definierte Scores, IC s und Fisher-Infor-
mation ...........................68
4.4.3 Kalibrierung .......................69
4.4.4 Verwendung numerischer Verfahren fur Blockmatrizen 71
4.5 Varianten: Standardisierung in anderen Normen........74
4.6 Beispiele..............................75
4.7 Bewertung.............................79
xxiv
INHALTSVERZE1CHN1S
4.8 Verfugbarkeit...........................01
5 Mini-Studie 82
5.1 Motivation ............................82
5.2 Notation und Definitionen....................83
5.2.1 Modell...........................83
5.2.2 Verteilungen .......................83
5.3 Schatzer..............................85
5.3.1 der klassische Kalman-Filter in diesem Zusammenhang 85
5.3.2 geeichter Posterior-Modus................85
5.3.3 geeichter bedingter Erwartung$wert ..........88
5.3.4 rLS ............................89
5.4 Berechnungen ...........................yi
5.4.1 numerische Verfahren..................91
5.4.2 geschichtete Monte-Carlo Simulation fur den MSE . . 92
5.5 Ergebnisse.............................
5.5.1 Tabellen..........................93
5.5.2 graphische Darstellung..................93
6 Einige statistische Eigenschaften 99
6.1 Symmetxie und Unverzerrtheit der rob. Verfahren .......99
6.1.1 ein Hilfesatz zu symmetrischen Verteilungen......99
6.1.2 Folgerungen fur rekursive Filter.............1
6.2 Dichten der rekursiven Filter..................^
6.2.1 Dichte von AjSjJf ....................
6.2.2 Dichte von bei normalen, 1-dim. vt, £s - ¦
6.2.3 Dichte von A(3rt....................^
6.3 As. Normalitat der robusten Verfahren.............1^
6.3.1 Resultate als Folgerung von Proposition A.2.4.....1H
6.3.2 Folgerungen aus den Dichte-Darstellungen ......^
7 StabilitSt und StationaritSt der Filter 1^
7.1 Folgerungen aus Sylvesterschem Tragheitssatz fiir den Kalman-
Filter ...............................117
7.2 Begriffe aus der Kontrolltheorie.................U9
7.2.1 Lyapunov-Stabilitat...................119
7.2.2 Zustandsraummodelle in der Kontrolltheorie ..... 121
INHALTSVERZEICHNIS xxv
7.2.3 Kontrolltheorie im zeitinvarianten Fall.........121
7.2.4 aus der Kontrolltheorie im allgemeinen Fall......126
7.3 Markovketten mit bel. Zustandsraum..............127
7.3.1 robuste Verfahren als Realisation einer Markovkette . 128
7.3.2 Harris-Rekurrenz.....................129
7.3.3 Begriffe der stochastischen Kontrolltheorie.......131
7.4 As. Stabilitat und Stationaritat: rLS..............133
7.5 As. Stabilitat und Stationaritat: rIC..............138
7.6 As. Stabilitat und Stationaritat: mIC..............142
8 Optimal-robuste Filter 145
8.1 Problemstellung..........................145
8.1.1 verfolgte Ansatze.....................145
8.1.2 Problemstellung im vereinfachten Zustandsraummodell 146
8.1.3 SO- und AO-AusreiBer.................147
8.1.4 Abgrenzung zu anderen Ansatzen............149
8.2 Lemma 5 -Ansatz bei SO s ..................151
8.2.1 Losung im reduzierten Modell..............151
8.2.2 der L5-Filter.......................152
8.2.3 Wahl von b........................153
8.2.4 Beispiele zum L5-Filter.................153
8.2.5 Bewertung — L5-Filter vs. rLS-Filter.........153
8.2.6 Verfiigbarkeit.......................155
8.3 Minimaxproblem fur SO.....................155
8.3.1 Problemstellung .....................155
8.3.2 Losung ..........................156
8.4 Losung im urspriinglichen Modell.....................164
8.4.1 das ursprungliche Problem im reduzierten Modell. . . 164
8.4.2 sequentielles vs. rekursives Spiel ............165
8.4.3 Optimalitat des rLS-Filters auch fiir t 1 ......167
8.4.4 numerische Auswertung.................170
8.5 Paxametrisierung des Grades der Robustheit..........175
8.6 Lemma 5 -Ansatz fur AO s im reduzierten Modell.....177
8.6.1 Problemstellung .....................177
8.6.2 Losung ..........................177
8.6.3 Existenz und Eindeutigkeit einer Losung........178
8.6.4 Losungsansatz mit Lagiangetechniken.........179
8.6.5 Formulierung mit Dichten................179
xxvi
INHALTSVERZEICHNIS
8.6.6 Eigenschaften der Losung................i/y
8.6.7 numerische Losung....................180
8.6.8 ein Beispiel........................*88
8.7 Minimax-Resultat fur AO s im reduzierten Model]......189
8.7.1 Problemstellung .....................*8^
8.7.2 Zusammenhang zur Bayes-Schatzung .........191
8.7.3 Zusammenhang zum Lemma 5 -Ansatz . ......195
8.7.4 numerische Berechnungen................196
8.8 Optimalitat des rIC .......................197
8.8.1 eine Cramer-Rao-Schranke fur stochastische Parameterl97
8.8.2 fast -Optimalitat des rIC ...............201
II Robuste Schatzung der Hyper—Parameter 205
9 Der EM-Algorithmus aus Sicht der as. Stat. 208
9.1 Motivation ............................208
9.2 Glattheit von parametrischen Modellen ............209
9.2.1 Wurzeldichtenkalkiil...................209
9.2.2 £2-Differenzierbarkeit in glatten Modellen......210
9.3 Glattheit von Modellen fur grdbere r-Algebren........210
9.3.1 Wurzeldichtenkalkiil fur grobere cr-Algebren.....210
9.3.2 £2-Differenzierbarkeit fur grdbere a-Algebren .... 211
9.3.3 Z/2 -Differenzierbarkeit fur Dreiecksschemata.....212
9.4 Folgerungen fur unvollstandige Beobachtungen........214
9.4.1 Li -Differenzierbarkeit im m-Stichprobenproblem . .214
9.4.2 Situation mit Missings als m-Stichprobenproblem . . 216
9.4.3 Umsetzung der allgemeinen asymptotischen Theorie . 217
9.5 EM-Algorithmus........................220
9.5.1 klassischer EM-Algorithmus.............221
9.5.2 statistische Eigenschaften des klassischen EM-Algo-
rithmus ..................................223
9.5.3 One-Step EM-Algorithmus..............224
9.5.4 klassischer vs. One-Step EM-Algorithmus . . . . 228
9.5.5 robuster EM-Algorithmus............. 229
9.6 Beispiel; bivariates, normales Skalenmodell ^ i 231
9.6.1 Modell..................
INHALTSVERZEICHNIS
xxvii
9.6.2 klassischer EM-Algorithmus fur Beispiele 9.6.3 und
9.6.4............................234
9.6.3 statistische Eigenschaften.................235
9.6.4 One-Step-EM-Algorithmus...............242
10 Glattheit des Zustandsraummodells 244
10.1 Motivation ............................244
10.2 Lokal-asympt. Theorie fur rekursive Modelle.........245
10.2.1 Wurzeldichtenkalkiil fur Martingaldifferenzen.....245
10.2.2 Log-Likelihood-Entwicklung bei Martingaldifferenzen 247
10.2.3 Z/2-Diff barkeit bei Abhangigkeit............249
10.2.4 Umsetzung der allgemeinen asymptotischen Theorie . 257
10.3 LAN-Eigenschaft fur Zustandsraummodelle..........260
10.3.1 Skizze der Vorgehensweise................260
10.3.2 Modell...........................260
10.3.3 Glattungs-Filtrierungen.................261
10.3.4 die LAN-Eigenschaft...................263
10.4 Exkurs: Lokale Identifizierbarkeit................267
10.4.1 Skizze des Vorgehens...................270
10.4.2 hinreichende Bedingungen fur Regularitat von X . . . 272
10.4.3 asymptotische Kovarianz der empirischen ACF 7^ . 272
10.4.4 Rangbetrachtung von T.................275
10.4.5 Berechnung der Hyper-Parameter aus 7^......278
10.4.6 Differenzierbarkeit von G und Ableitung.......279
10.4.7 Beweis von Theorem 10.4.6 ...............280
10.5 Beispiel: normales Zustandsraummodell............281
10.5.1 L2 -Differenzierbarkeit des normalen Modells.....281
10.5.2 L2-Ableitung.......................281
10.5.3 Fisher-Information....................286
10.5.4 bedingter ML-Schatzer.................288
10.5.5 Algorithmus von Shumway und Stoffer.........289
10.5.6 Identifizierbarkeit und ein Startschatzer........290
10.5.7 One-Step-EM-Algorithmus...............290
10.5.8 robuster EM-Algorithmus................291
10.5.9 Adaptivitat........................294
Schlufi
295
xxviii
INHALTSVERZEICHNIS
Conclusion [Engl.]
319
Anhang
;: Q
A W-Theorie und as. Statistik
A.l Schwache Konvergenz von MaBen................319
A.2 Eigenschaften der Normalverteilung ..............321
A.2.1 bedingte Verteilungen bei GauBschen Vektoren . . . . 321
A.2.2 elliptische Symmetrie ..................321
A.2.3 ein asymptotisches Cramer-Levy-Theorem ......322
A.3 Stationaxitat und Ergodizitat..................323
A.4 Gleichgradige Integrierbarkeit..................325
A.5 Abrifi der as. Optimalitatstheorie der Statistik ........327
B Multivariate Statistik 33*
B.l Multivariate Statistik / Multilinear Algebra.........331
B.2 Multiv. Lok.-/Skalen-Fishex-Infoxmation...........332
B.3 Glattheit des multiv. Lokations-/SkaIen-Modells.......342
B.4 Generalisierte Fisher-Information................345
B.5 Kovarianzen von Kovarianzen..................3^6
C Weitere verwendete Resultate 350
C.l Der Sylvestersche Tragheitssatz und Folgerungen.......350
C.2 Optimierung ...........................354
C.2.1 ein globaier Optimierungsalgorithmus.........354
C.2.2 ein Hilfssatz aus der konvexen Analysis ........355
C.3 Funktionalanalysis........................356
C.3.1 einige Tatsachen.....................356
C.3.2 schwache Unterhalbstetigkeit von || • ||oo in £2 .... 356
D Opt.-rob. IC s bei normalvert. Scores ¦ i 358
D.l Problemstellung..........................358
D.l.l allgemeiner Fall......................358
D.l.2 Relevanz fur das Filter-Problem............359
D.2 Berechnung von A..................................359
D.2.1 multiplikative Struktur im Regressionsmodeli.....359
D.2.2 polare Darstellung der normalen Scores........360
D.2.3 technische Hilfsresultate.................361
D.2.4 Berechnung der Integrale................363
INHALTSVERZEICHNIS xxix
D.2.5 Konvergenz der Algorithmen D.2.2 und D.2,3 .... 365
D.3 Berechnung von b........................365
D.4 bm^ in Abhangigkeit der Dimension..............366
D.5 Verfiigbarkeit...........................368
E Numerik ftir Blockmatrizen 369
E.l Cholesky-Zerlegung von Blockmatrizen ............369
E.l.l Cholesky-Zerlegung fiir allgemeine Block-Matrizen . . 369
E.1.2 Cholesky-Zerlegung fiir Block-tridiagonale Matrizen . 371
E.2 LDM-Zerlegung fiir Block-indizierte Matrizen.........372
Literaturverzeichnis 373
Personenregister 390
Index 394
|
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