Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2001
|
| Ausgabe: | 4., durchges. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIII, 419 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528369906 |
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| adam_text | Titel: Mathematik zum Studienbeginn
Autor: Kemnitz, Arnfried
Jahr: 2001
Inhaltsverzeichnis
1 Arithmetik
1.1 Mengen...........
1.2 Aussageformen und logische Zeichen..................... 2
1.2.1 Aussageformen............... 2
1.2.2 Logische Zeichen........................ 2
1.2.3 Vollständige Induktion......................... 3
1.3 Einteilung der Zahlen ............................[ 4
1.4 Grundrechenarten ............................... g
1.5 Grundlegende Rechenregeln.......................... 7
1.5.1 Buchstabenrechnen........................... 7
1.5.2 Kehrwert, Quersumme......................... 7
1.5.3 Teilbarkeitsregeln............................ 7
1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung.................. 8
1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung ................. 8
1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation........... 9
1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung.................. 9
1.5.8 Multiplikation mit Klammern..................... 10
1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen .............. 11
1.5.10 Binomische Formeln.......................... 12
1.5.11 Division mit Klammern........................ 13
1.6 Bruchrechnung................................. 13
1.6.1 Definitionen............................... 13
1.6.2 Erweitern und Kürzen......................... 14
1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche.......... 15
1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche........ 15
1.6.5 Multiplizieren von Brüchen...................... 16
1.6.6 Dividieren von Brüchen........................ 17
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung......................... 17
1.7.1 Definition der Potenz ......................... 17
1.7.2 Regeln der Potenzrechnung...................... 18
1.7.3 Definition der Wurzel .......................... 21
1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung...................... 22
1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen........................ 26
1.8.1 Dezimalsystem............................. 26
1.8.2 Dualsystem............................... 27
1.8.3 Runden................................. 28
1.9 Logarithmen.................................. °
1.9.1 Definition des Logarithmus...................... ^°
1.9.2 Spezielle Basen.............................
1 9.3 Regeln der Logarithmenrechnung................... 30
1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen .... 31
1.9.5 Dekadische Logarithmen........................ 32
1.10 Mittelwerte...................................
¦JO
1.10.1 Arithmetisches Mittel......................... ^
1.10.2 Geometrisches Mittel........................• ¦ 32
1.10.3 Harmonisches Mittel.......................... 33
1.10.4 Quadratisches Mittel.......................... 33
1.11 Ungleichungen.................................
1.11.1 Definitionen und Rechenregeln.................... 34
1.11.2 Absolutbetrag ............................. 35
1.11.3 Intervalle................................ 36
1.12 Komplexe Zahlen................................ 37
1.12.1 Algebraische Form........................... 37
1.12.2 Trigonometrische Form ........................ 39
1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen............ 40
1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen................... 41
1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen..................... 42
1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen..................... 43
1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen..................... 44
1.12.8 Eulersche Formel............................ 46
2 Gleichungen 48
2.1 Gleichungsarten................................. 48
2.2 Äquivalente Umformungen........................... 50
2.3 Lineare Gleichungen.............................. 52
2.4 Proportionen.................................. 53
2.5 Quadratische Gleichungen........................... 54
2.5.1 Definitionen............................... 54
2.5.2 Lösungsverfahren............................ 55
2.5.3 Satz von Vieta für quadratische Gleichungen............ 60
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades.................. 60
2.6.1 Kubische Gleichungen......................... 60
2.6.2 Polynomdivision............................ 62
2.6.3 Gleichungen vierten Grades...................... 64
2.6.4 Gleichungen n-ten Grades....................... 67
2.6.5 Satz von Vieta für Gleichungen n-ten Grades............ 68
2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen......... 70
2.7.1 Bruchgleichungen............................ 70
2.7.2 Wurzelgleichungen........................... 71
2.8 Transzendente Gleichungen.......................... 73
2.8.1 Exponentialgleichungen........................ 73
2.8.2 Logarithmische Gleichungen...................... 74
2.8.3 Trigonometrische Gleichungen..................... 75
2.9 Lineare Gleichungssysteme......................... 7g
2.9.1 Definitionen................ 7g
2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen ............ 76
2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen........... 80
2.9.4 Matrizen und Determinanten............... 81
2.10 Lineare Ungleichungen.............
2.10.1 Definitionen.............
2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen .... . . . ...... 93
2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.............. 94
2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen.......... 96
Planimetrie 9g
3.1 Geraden und Strecken............................. 98
3.2 Winkel...................................... gg
3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal.................103
3.4 Projektion....................................106
3.5 Geometrische Örter...............................107
3.6 Dreiecke.....................................107
3.6.1 Allgemeine Dreiecke..........................107
3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke.......................109
3.6.3 Gleichseitige Dreiecke.........................110
3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke.........................111
3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise...............111
3.6.6 Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck ...............115
3.6.7 Kongruenz von Dreiecken.......................118
3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks..................120
3.7 Vierecke.....................................123
3.7.1 Allgemeine Vierecke..........................123
3.7.2 Trapeze.................................125
3.7.3 Parallelogramme............................125
3.7.4 Rhomben................................126
3.7.5 Rechtecke................................127
3.7.6 Quadrate.................................127
3.7.7 Drachen.................................128
3.7.8 Sehnenvierecke.............................129
3.7.9 Tangentenvierecke ...........................130
3.8 Reguläre n-Ecke ................................130
3.9 Polygone.....................................132
3.10 Kreise......................................134
3.10.1 Definitionen...............................134
3.10.2 Kreissektoren..............................135
3.10.3 Kreissegmente .............................136
3.10.4 Kreise und Geraden ..........................137
3.10.5 Winkelsätze am Kreis.........................138
3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen...............139
3.10.7 Tangentenkonstruktionen.......................139
3.10.8 Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten...............141
3.10.9 Bogenmaß ...............................143
3.11 Symmetrie....................................144
3.11.1 Punktsymmetrie............................144
3.11.2 Achsensymmetrie............................144
3.12 Ähnlichkeit...................................144
3.12.1 Zentrische Streckung..........................144
3.12.2 Strahlensätze..............................145
3.12.3 Ähnliche Figuren............................147
3.12.4 Streckenteilungen............................148
Stereometrie 152
4.1 Prismen..................................... 152
4.1.1 Allgemeine Prismen.......................... 152
4.1.2 Parallelepiped und Würfel....................... 153
4.2 Zylinder..................................... 154
4.2.1 Allgemeine Zylinder.......................... 154
4.2.2 Gerade Kreiszylinder.......................... 155
4.2.3 Hohlzylinder............................ 15g
Pyramiden .............................. 2.57
4.3
4.3.1
4.3.2
4.4 Kegel
4.4.1
Allgemeine Pyramiden........................ 157
Gerade quadratische Pyramiden................. 15g
..................................... 15g
Allgemeine Kegel................... -, r q
4.4.2 Gerade Kreiskegel .................. • • • •
4.5 Cavalierisches Prinzip.............
4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe.................... i61
4.6.1 Pyramidenstümpfe ...
4.6.2 Kegelstümpfe...... ..................... J^J
4.7 Platonische Körper ... .................... 162
4.8 Kugeln........ .......................... 163
4.8.1 Definitionen . . . ..... . ....[ [ ...............166
4.8.2 Kugelsegmente .... ..................166
4.8.3 Kugelsektoren..............................167
4.8.4 Kugelschichten .........................168
............................168
Funktionen
5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen . . l°n
5.1.1 Definitionen......... ............. 17°
5.1.2 Funktionsgleichung ...[ . ...................... 170
5-1.3 Graph einer Funktion ........................ 171
5 1.4 Wertetabelle einer Funktion . ..................... 172
5-2 Verhalten von Funktionen...... .................. 173
5.2.1 Monotone Funktionen . . [...................... 173
5-2.2 Symmetrische Funktionen ...................... 173
5-2.3 Beschränkte Funktionen . . .................. 175
5-2.4 Injektive Funktionen.......................... 177
5-2.5 Surjektive Funktionen......................... 177
5-2.6 Bijektive Funktionen .......................... 178
5-2.7 Periodische Funktionen !....................... 179
5-2.8 Umkehrfunktionen . ...................... 179
,0 p.2f., Reelleund komplexe Funktionen.................... 179
A Emteüung der elementaren Funktionen .................. 181
a-« Ganze rationale Funktionen..... .................... 182
5-4.1 Konstante Funktionen . . ....................... 185
5.4.2 Lineare Funktionen........................... 185
5-4.3 Quadratische Funktionen........................ 186
0-4.4 Kubische Funktionen . .................... 190
5-4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades............. 198
..............199
XI
5.4.6 Horner-Schema.............................202
5.5 Gebrochene rationale Funktionen.......................2°3
5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten.....................203
5.5.2 Partialbruchzerlegung.........................210
5.6 Irrationale Funktionen.............................213
5.7 Transzendente Funktionen...........................216
5.7.1 Exponentialfunktionen.........................216
5.7.2 Logarithmusfunktionen ........................217
6 Trigonometrie 220
6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen................. 220
6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel............. 223
6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel..................... 225
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen................. 226
6.5 Reduktionsformeln............................... 228
6.6 Additionstheoreme............................... 229
6.7 Sinussatz und Kosinussatz........................... 232
6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung................... 233
6.9 Arkusfunktionen................................ 237
7 Analytische Geometrie 241
7.1 Koordinatensysteme.............................. 241
7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene............. 241
7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene.................. 242
7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten . . . . 243
7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums............. 245
7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums................. 246
7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums................ 247
7.2 Geraden..................................... 248
7.2.1 Geradengleichungen..........................248
7.2.2 Abstände............................... 254
7.3 Kreise......................................255
7.3.1 Kreisgleichungen........................... 255
7.3.2 Berechnung von Kreisen...................... 258
7.3.3 Kreis und Gerade.......................... 259
7.4 Kugeln......................................264
7.5 Kegelschnitte................................. 265
7.5.1 Ellipsen................................ 267
7.5.2 Hyperbeln.............................. 271
7.5.3 Parabeln .............................. 276
7.5.4 Anwendungen............................ 280
7.6 Graphisches Lösen von Gleichungen ................... 2«5
7.7 Vektoren.................................... 290
7.7.1 Definitionen............................ 2QQ
7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......... 290
7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren.......... 2Q1
7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene..... 292
7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum........ 293
7.7.6 Skalarprodukt............................ 295
XII___________________________________
296
7.7.7 Vektorprodukt.............................
7.7.8 Spatprodukt ..............................
8 Differential- und Integralrechnung
8.1 Folgen......................................
8.1.1 Grundbegriffe.............................. ™»
8.1.2 Arithmetische Folgen.......................... 3^
8.1.3 Geometrische Folgen.......................... 302
8.1.4 Grenzwert einer Folge......................... 302
8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte...................... 303
8.1.6 Divergente Folgen ........................... 304
8.2 Reihen...................................... 305
8.2.1 Definitionen............................... 305
8.2.2 Arithmetische Reihen......................... 308
8.2.3 Geometrische Reihen.......................... 308
8.2.4 Harmonische Reihen.......................... 309
8.2.5 Alternierende Reihen.......................... 310
8.3 Grenzwerte von Funktionen.......................... 311
8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle.................. 311
8.3.2 Einseitige Grenzwerte......................... 312
8.3.3 Grenzwert im Unendlichen...................... 313
8.3.4 Rechenregeln für Grenzwerte..................... 314
8.3.5 Unbestimmte Ausdrücke........................ 314
8.3.6 Stetigkeit einer Funktion........................ 315
8.3.7 Unstetigkeitsstellen........................... 316
8.4 Ableitung einer Funktion ........................... 318
8.4.1 Definitionen............................... 318
8.4.2 Differentiationsregeln.......................... 320
8.4.3 Höhere Ableitungen.......................... 323
8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen............ 324
8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen........... 324
8.4.6 Sekanten und Tangenten........................ 328
8.4.7 Extremwerte von Funktionen..................... 329
8.4.8 Krümmungsverhaiten von Funktionen................ 330
8.4.9 Wendepunkte von Funktionen..................... 332
8.4.10 Kurvendiskussion............................ 333
8.4.11 Anwendungsbeispiele.......................... 334
8.4.12 Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung........... 336
8.5 Integralrechnung................................ 33g
8.5.1 Unbestimmtes Integral......................... 338
8.5.2 Integrationsregeln ........................... 33g
8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen...... 343
8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen..... 344
8.5.5 Bestimmtes Integral............ 345
8.5.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung....... . . . U7
8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals ............347
8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung.............. 349
8.6 Funktionenreihen ... ............ ,
........................... 354
Xlll
8.6.1 Definitionen...............................354
8.6.2 Potenzreihen..............................356
8.6.3 Fourier-Reihen.............................359
9 Kombinatorik 366
9.1 Kombinatorische Grundprinzipien.......................366
9.2 Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck.........368
9.3 Binomischer Lehrsatz .............................370
9.4 Permutationen und Variationen........................371
9.5 Kombinationen.................................373
9.6 Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung..............376
9.7 Multinomialsatz ................................377
9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion.....................378
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 381
10.1 Zufällige Ereignisse...............................381
10.2 Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen..............383
10.3 Stichproben...................................384
10.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit...............390
10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.................392
10.6 Zufallsvariable .................................397
A Symbole und Bezeichnungsweisen 400
B Mathematische Konstanten 404
C Das griechische Alphabet 405
Literaturverzeichnis 407
Sachwortverzeichnis 408
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