Einstieg in die Wirtschaftsmathematik:
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Stuttgart ; Leipzig ; Wiesbaden
Teubner
2001
|
| Edition: | 4., durchges. Aufl. |
| Series: | Teubner-Studienbücher : Mathematik
|
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 416 S. graph. Darst. : 21 cm |
| ISBN: | 3519320983 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort 5
Zeichenerklärung 12
1 Grundlagen 13
1.1 Instrumente der Elementarmathematik............... 13
1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung .............. 13
1.1.2 Rechnen mit Zahlen..................... 15
1.1.3 Bruchrechnung........................ 18
1.1.4 Potenzrechnung........................ 20
1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision............ 22
1.1.6 Wurzelrechnung ....................... 26
1.1.7 Logarithmenrechnung.................... 27
1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen....... 29
1.1.9 Koordinatensysteme..................... 33
1.1.10 Winkelbeziehungen...................... 35
1.1.11 Komplexe Zahlen....................... 36
1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen............ 38
1.2.1 Formen der Darstellung . .................. 40
1.2.2 Operationen mit Funktionen ................ 41
1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen................ 44
1.3 Ergänzende Fragen.......................... 57
1.3.1 Intervalle........................... 57
1.3.2 Auflösung von Ungleichungen................ 58
1.3.3 Absolute Beträge....................... 60
1.4 Analytische Geometrie........................ 62
1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene.............. 62
1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum............... 67
1.4.3 Graphische Darstellung von Ungleichungssystemen .... 69
1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen................... 71
1.5.1 Grundbegriffe......................... 71
1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen.............. 72
1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen.............. 73
8 Inhaltsverzeichnis
2 Logik und Mengenlehre 75
2.1 Aussagenlogik............................. 75
2.1.1 Aussagen........................... 75
2.1.2 Aussagenverbindungen.................... 77
2.1.3
Quantoren
........................... 80
2.1.4 Einfache Schlußweisen.................... 81
2.2 Mengenlehre.............................. 83
2.2.1 Grundbegriffe......................... 83
2.2.2 Mengenrelationen....................... 85
2.2.3 Mengenoperationen ..................... 86
2.2.4 Abbildungen und Funktionen................ 88
3 Finanzmathematik 92
3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung.................... 92
3.1.1 Einfache Verzinsung..................... 93
3.1.2 Zinseszinsrechnung...................... 96
3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung .......... 97
3.1.4 Kapitalwertmethode..................... 99
3.1.5 Gemischte Verzinsung.................... 100
3.1.6 Unterjährige Verzinsung................... 102
3.2 Rentenrechnung............................ 104
3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung............. 104
3.2.2 Vorschüssige Renten..................... 105
3.2.3 Nachschüssige Renten.................... 106
3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung............ 108
3.2.5 Ewige Rente ......................... 109
3.3 Tilgungsrechnung........................... 111
3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung............. 111
3.3.2 Ratentilgung......................... 112
3.3.3 Annuitätentilgung...................... 113
3.3.4 Tilgungspläne......................... 115
3.4 Renditerechnung........................... 116
4 Lineare Algebra 121
4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume.................. 121
4.1.1 Begriff der Matrix...................... 121
4.1.2 Spezielle Matrizen...................... 122
4.1.3 Matrizenrelationen...................... 125
4.1.4 Operationen mit Matrizen.................. 126
4.2 Matrizenmultiplikation........................ 130
4.2.1 Skalarprodukt......................... 130
Inhaltsverzeichnis 9
4.2.2 Produkt von Matrizen....................131
4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.........133
4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation.........134
4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS)..................141
4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems........... 141
4.3.2 Darstellungsformen von LGS................ 142
4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS................ 144
4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix...... 146
4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS............ 148
4.4 Gaußscher Algorithmus ....................... 148
4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen........... 149
4.4.2 Ablaufplan des Gaußschen Algorithmus.......... 152
4.4.3 Lösungsdarstellung...................... 153
4.4.4 Numerische Aspekte..................... 155
4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen.............. 156
4.5 Lineare Unabhängigkeit....................... 158
4.5.1 Linearkombination...................... 159
4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit ............ 161
4.5.3 Basis und Rang........................ 164
4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme..... 167
4.6 Matrizeninversion........................... 169
4.6.1 Definition der
inversen
Matrix ...............169
4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion............172
4.7 Determinanten............................177
4.7.1 Definition der Determinante.................177
4.7.2 Eigenschaften von Determinanten..............180
4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung.........183
4.7.4 Definitheit von Matrizen...................185
4.7.5 Zusammenfassende Bemerkungen..............187
5 Lineare Optimierung 189
5.1 Gegenstand der Linearen Optimierung...............190
5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation.............191
5.1.2 Bestandteile einer
LOA.
Lösungsbegriff..........192
5.2 Modellierung und graphische Lösung von
LOA
..........194
5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen.........195
5.2.2 Graphische Lösung von
LOA
................201
5.3 Theorie der Linearen Optimierung.................211
5.3.1 Überführung in die Gleichungsform.............211
5.3.2 Basislösungen und Eckpunkte................216
10 Inhaltsverzeichnis
5.3.3 Eigenschaften von
LOA
...................219
5.4 Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform . . 220
5.4.1 Grundidee...........................220
5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen.......223
5.4.3 Auswahl der auszuschließenden
B asis
variablen ......225
5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus.............227
5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen.................230
5.4.6 Sonderfälle..........................234
5.5 Zwei-Phasen-Methode........................237
5.5.1 Grundidee........................... 238
5.5.2 Mögliche Fälle........................ 239
5.5.3 Beispiele............................ 241
5.6 Dualität in der Linearen Optimierung............... 243
5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe..............244
5.6.2 Dualitätsbeziehungen ....................246
5.6.3 Ökonomische Interpretation der Dualvariablen......249
6 Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen 255
6.1 Grenzwert und Stetigkeit ......................255
6.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen................256
6.1.2 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen.........259
6.1.3 Stetigkeit...........................261
6.1.4 Eigenschaften stetiger Funktionen .............263
6.2 Differenzen- und Differentialquotient................264
6.2.1 Der Begriff des Differentialquotienten ...........266
6.2.2 Differential..........................269
6.2.3 Differentiationsregeln. Höhere Ableitungen ........270
6.3 Charakterisierung von Funktionen mittels Ableitungen......274
6.3.1 Monotonie und Beschränktheit...............274
6.3.2 Extremwerte.........................277
6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten............281
6.3.4 Kurvendiskussion.......................285
6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion...............287
6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse...........291
6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung.........297
6.4.1 Intervallhalbierung......................298
6.4.2 Sekantenverfahren. Regula
falsi
...............300
6.4.3 Newtonverfahren.......................301
Inhaltsverzeichnis
И
7 Funktionen mehrerer Veränderlicher 303
7.1 Begriff und Beispiele.........................303
7.1.1 Funktionsbegriff.......................303
7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher.....305
7.2 Grenzwert und Stetigkeit ......................308
7.3 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher.....314
7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit................314
7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten ..........315
7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen . 319
7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.
Hessian
.....323
7.3.5 Vollständiges Differential ..................324
7.3.6 Implizite Funktionen.....................326
8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher 331
8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen...............331
8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen . . 332
8.1.2 Beispiele............................336
8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen...............338
8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung.............339
8.2.2 Die Eliminationsmethode..................340
8.2.3 Lagrange-Methode......................346
8.2.4 Interpretation der Lagrangeschen Multiplikatoren.....354
8.3 Methode der kleinsten Quadrate ..................355
8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression............355
8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen...............362
9 Integralrechnung 365
9.1 Das unbestimmte Integral......................366
9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen.....366
9.1.2 Integrationsregeln ......................367
9.2 Das bestimmte Integral .......................369
9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen.......369
9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale . . . 371
9.2.3 Numerische Integration ...................373
9.2.4 Uneigentliche Integrale....................376
9.2.5 Doppelintegral........................378
9.3 Anwendungen der Integralrechnung.................380
A
Lösungen zu den Aufgaben 384
В
Klausurbeispiel 403
Literaturverzeichnis 409
Sachverzeichnis 410
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