Dynamisches Optionshedging mit impliziten Trinomialmodellen: eine Untersuchung am Beispiel des Derman-Kani-Chriss-Modells
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2001
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INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG 25
1. Vorbemerkung 25
2. Problemstellung 27
3. Zielsetzung und Vorgehensweise 30
KAPITEL 1: Theorie zum Grundproblem der Volatilitätsmessung von Optionen
und deren Bedeutung für das dynamische Hedging 31
1.1. Einleitende Bemerkungen 31
1.2. Bedeutung der Volatilität für die Optionsbewertung und Messverfahren im Über¬
blick 32
1.2.1 Begriffsdefinitionen 32
1.2.2 Bedeutung der Volatilität für die Optionsbewertung 33
1.2.3 Verfahren zur Messung der Volatilität 36
1.2.3.1 Berechnung der Volatilität aus historischen Zeitreihen 36
1.2.3.2 Berechnung der Impliziten Volatilität 37
1.2.3.3 Kritische Beurteilung der Messverfahren 39
1.3. Volatilitätsrisiken und das dynamische Hedging von Optionen 42
1.3.1 Begriffsdefinitionen 42
1.3.2 Hedgingeffizienz 44
1.3.2.1 Ursache von Hedgingfehlern 44
1.3.2.2 Beurteilung aus empirischer Sicht 46
1.3.3 Einfluss von Volatilitätsrisiken beim dynamischen Hedging 48
1.3.3.1 Einfaches Hedging 48
1.3.3.2 Komplexes Hedging 52
1.3.3.3 Beurteilung aus empirischer Sicht 58
1.4. Prozessmodifikationen des Black Scholes Modells zur besseren Steuerung der
Volatilitätsrisiken beim dynamischen Hedging von geschriebenen Optionen 60
1.4.1 Übersicht über unterschiedliche Gruppen von Volatilitätsprozess¬
modifikationen 61
1.4.2 Beurteilung der Volatilitätsmodelle in bezug auf ihre Hedging Performance....63
8
1.4.2.1 Übersicht über Verfahren zur Modellbeurteilung 63
1.4.2.2 Hedging Performance von prozessorientierten Modellen: Diskussion am
Beispiel von GARCH Modellen 65
1.4.2.3 Hedging Performance von marktpreisorientierten Modellen: Diskussion.,
am Beispiel von Implied Volatility Tree Modellen 69
1.5. Zusammenfassung der Hauptergebnisse 74
KAPITEL 2: Herleitung und Diskussion eines Implied Volatility Tree Modells in
Anlehnung an Derman, Kani und Chriss 78
2.1. Einleitende Bemerkungen 78
2.2. Zentrale Modellannahmen des Implied Volatility Tree Modells 79
2.2.1 Beziehung zwischen Optionspreis und Local Volatility 79
2.2.2 Aktuelle Optionspreise als Datengrundlage 83
2.3. Numerischer Implementierungsansatz von Derman Kani und Chriss 84
2.3.1 Bestimmung des Zustandbaumes 84
2.3.2 Berechnung der Ãœbergangswahrscheinlichkeiten 86
2.3.3 Berechnung der Local Volatility 89
2.4. Kritische Beurteilung des Derman Kani Chriss Modells 90
2.4.1 Numerische Aspekte der Implementierung 90
2.4.1.1 Instabilität der berechneten Grossen 90
2.4.1.2 Inter und Extrapolation der Optionspreise 91
2.4.2 Qualitative Aspekte der Implementierung 94
2.4.2.1 Zusammenhang zwischen Local und Implied Volatility 94
2.4.2.2 Auswirkung des Volatilitätssmiles auf den Hedging Parameter 98
2.4.3 Zusammenfassende Beurteilung und Modifikationsvorschlag 105
2.5. Testverfahren für das dynamische Hedging auf Grundlage des modifizierten Derman
Kani Chriss Implementierungsverfahren 107
2.5.1 Daten 107
2.5.1.1 Verwendete Optionspreise 107
2.5.1.2 Verwendeter Zinssatz 111
2.5.1.3 Futurepreise zur dynamischen Absicherung 111
2.5.2 Bewertungsmodell 112
9 2.5.3 Hedging Delta 113
2.5.4 Messung des Hedgingfehlers 115
2.6. Zusammenfassung der Hauptergebnisse 116
KAPITEL 3: Ergebnisse der empirischen Untersuchung des modifizierten Derman
Kani Chriss Ansatzes für das dynamische Hedging 118
3.1. Einleitende Bemerkungen 118
3.2. Darstellung Der Untersuchungsergebnisse 119
3.2.1 Ergebnisse aufgrund täglicher Hedginganpassungen 119
3.2.2 Ergebnisse aufgrund wöchentlicher Hedginganpassungen 123
3.3. Beurteilung der Untersuchungsergebnisse 128
3.3.1 Hauptursachen von Hedgingfehlern 128
3.3.1.1 Modell und Inputrisiken 128
3.3.1.2 Diskrete Hedgingfehler 130
3.3.2 Auswirkung einer Fehlspezifikation des Volatilitätsprozesses auf die
Hedgingeffizienz 131
3.4. Zusammenfassung der Hauptergebnisse 136
4 Zusammenfassung und Schlussfolgerung 138
5 Ausblick 143
6 Anhang 145
^ 10 ABBILDUNGEN
KAPITEL 1
Abbildung 1.1: Prozentuale Preisveränderung einer Option bei einer
Volatilitätserhöhung um 1% in Abhängigkeit von
Ausübungspreis und Restlaufzeit 55
Abbildung 1.2: Prozentuale Deltaveränderung einer Option bei einer
Volatilitätserhöhung um 1% in Abhängigkeit von Ausübungs¬
preis und Restlaufzeit 56
Abbildung 1.3: Absoluter Gamma Wert einer Option in Abhängigkeit von
Ausübungspreis und Restlaufzeit 57
Abbildung 1.4: Black Scholes Grundmodell und unterschiedliche Prozess¬
spezifikationen 62
Abbildung 1.5: Verfahren zur Modellbeurteilung 63
KAPITEL 2
Abbildung 2.1: Knotenstruktur des Trinomialbaumes von t auf t+1 85
Abbildung 2.2: Knotenstruktur des Trinomialbaumes von t+1 auf t+2 85
Abbildung 2.3: Inputfaktoren zur Berechnung der Übergangswahrschein¬
lichkeiten 87
Abbildung 2.4: Gewählte Inputstruktur der impliziten Volatilitäten für die
Berechnung der Local Volatilities 92
Abbildung 2.5: Struktur der Local Volatilities in Abhängigkeit des Aktienpreises
und der Restlaufzeit, wenn die Call Optionen mit dem Black
Scholes Modell bewertet werden 93
Abbildung 2.6: Mögliche Indexpfade, die bei Optionsverfall über dem
Ausübungspreis X enden 95
Abbildung 2.7: Zusammenhang zwischen der impliziten Volatilität und der
Local Volatility für eine gewählte Smile Struktur 97
u Abbildung 2.8: Prozentuale Differenz des Delta Wertes des Black Scholes und
des Derman Kani Chriss Modells 100
Abbildung 2.9: Wert des Hedgingportfolios bei einer Auf und Abwärts¬
bewegung der Aktie 102
Abbildung 2.10: Prozentuale Veränderung des Hedgingportfolios bei steigendem
und fallendendem Aktienkurs in Abhängigkeit des Delta Wertes 103
Abbildung 2.11: Prozentuale Veränderung des Hedgingportfolios bei steigendem
und fallendem Aktienkurs in Abhängigkeit des Delta Wertes 105
Abbildung 2.12: Anzahl gehandelter DAX Call Optionen im Januar 1999 mit
Verfallmonat März 109
Abbildung 2.13: Statistik der Impliziten Volatilitäten für die untersuchten
Optionspreise (Zeitperiode vom 04.01.99 bis 30.09.99), sortiert
nach Verfallsmonat 110
KAPITEL 3
Abbildung 3.1: Ergebnisse der täglichen Hedgingstrategie für DAX Call
Optionen mit den Verfallsmonaten März, Juni und September in
Abhängigkeit der Moneyness (X/F) für die Hedgingperiode von
4.01.99 bis 30.09.99 120
Abbildung 3.2: Ergebnisse der wöchentlichen Hedgingstrategie für DAX Call
Optionen mit den Verfallsmonaten März, Juni und September in
Abhängigkeit der Moneyness (X/F) für die Hedgingperiode von
4.01.99 bis 30.09.99 124
Abbildung 3.3: Prozentuale Differenz der Hedgingfehler (Standardabweichung
der Veränderungen des Hedgingportfolios) zwischen dem
Realisierten und Wahren Delta Wert für die Verfallsmonate
März, Juni und September 1999 127
Abbildung 3.4: Vergleich der unterschiedlichen Modelleigenschaften 129
Abbildung 3.5: Verhältnis zwischen dem wöchentlichen und täglichen
Hedgingfehler (Standardabweichung der Veränderungen des
Hedgingportfolios) für die verschiedenen Delta Werte in
Abhängigkeit der Moneyness und der Verfallsmonate der Call
Optionen 130
12
Abbildung 3.6: Tägliche absolute Veränderungen des Hedgingportfolios für den
Wahren und optimiertem Delta Wert für die Call Option mit
X=5250 und Verfall Juni 1999 132
Abbildung 3.7: Differenz der täglichen Hedgingfehler zwischen Wahrem und
optimiertem Delta Wert für die Call Option mit X=5250 und
Verfall Juni 1999 132
Abbildung 3.8: Statistik des Hedgingfehlers (absolute Veränderung des
Hedgingportfolios) für den wahren und optimierten Delta Wert
für die Call Option mit X=5250 und Verfall Juni 1999 133
Abbildung 3.9a: Statistik des Hedgingfehlers (absolute Veränderung des
Hedgingportfolios) für den wahren und optimierten Delta Wert
für die Call Option mit X=5250 und Verfall Juni 1999 134
Abbildung 3.9b: Darstellung des Hedgingfehlers (absolute Veränderung des
Hedgingportfolios) der verschiedenen Delta Werte in
Abhängigkeit der durchschnittlichen Input Volatilität für die
Call Option mit X = 5250 und Verfall Juni 1999 135
ANHANG
Abbildung 6.1: Darstellung des Volatilitätssmiles für DAX Call Optionen mit
Verfall März 1999 in Abhängigkeit der Restlaufzeit 147
Abbildung 6.2: Datenformat der verwendeten Optionspreise am Beispiel der
Call Option mit Verfall April 1999 148
Abbildung 6.3: DAX Verlauf für die untersuchte Periode vom 4.1.1999
30.9.1999. Die Abbildung zeigt den Schlusskurs sowie den 21
und 50 Tage Durschnitt 149
Abbildung 6.4: Parameter des GARCH Modells 150
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