Konstruktion kryptographisch geeigneter Kurven mit komplexer Multiplikation:
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| adam_text | Titel: Konstruktion kryptographisch geeigneter Kurven mit komplexer Multiplikation
Autor: Weng, Annegret
Jahr: 2001
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung V1
1 Einfiihrung *
1.1 Definitionen und Grundlagen ..................................................1
1.1.1 Prinzipal polarisierte Abelsche Varietaten ............................1
1.1.2 Komplexe Multiplikation................................................4
1.1.3 Endomorphismenringe iiber endlichen Korpern........................7
1.1.4 Grundlagen aus der Klassenkorpertheorie....... ...............8
1.1.5 Der Modulkorper........................................................10
1.1.6 Charakterisierung hyperelliptischer Periodenmatrizen................10
1.1.7 Invarianten hyperelliptischer Kurven..................................14
1.2 Die Grundidee der CM-Methode................................................17
1.3 Verallgemeinerungen............................................................20
2 Die CM-Methode fur Geschlecht zwei 22
2.1 Berechnung der Periodenmatrix................................................22
2.2 Berechnung der Thetanullwerte................................................24
2.2.1 Der Algorithmus............................24
2.2.2 Berechnung der Schranke C fur die Thetanullwerte..................26
2.3 Igusas und Mestres Invarianten................................................28
2.4 Mestres Algorithmus iiber endlichen Korpern..................................31
2.5 Relative Normgleichungen..................................................33
2.6 Der vollstandige Algorithmus ..................................................36
2.7 Komplexitat des Algorithmus..................................................39
2.7.1 Analyse..................................................................39
2.7.2 Liste berechneter CM-Korper..........................................40
2.7.3 Bemerkung zur Implementierung......................................42
2.8 Kryptographisch interessante Beispiele........................................43
2.9 Mersenne-Zahlen................................................................45
3 Erweiterungen fur Geschlecht zwei 47
3.1 Primitive CM-Korper vom Grad vier........................47
3.1.1 Reflexivkorper und die Einheitengruppe ..............................47
INHALTSVERZEICHNIS V
3.1.2 Dichte von Primzahlen...............................................49
3.1.3 Der Fall N(e0) = 1...........................54
3.1.4 Zerfallungsverhalten der Klassenpolynome..............56
3.2 Erweiterungskorper...............................60
4 Die CM-Methode fur Geschlecht drei 63
4.1 Vom CM-Korper zur Periodenmatrix..........................................63
4.1.1 CM-Typen................................63
4.1.2 Reprasentantensystem fiir U+/Ui........................................64
4.1.3 Bestimmung eines geeigneten CM-Typs................66
4.1.4 Prinzipale Polarisierungen auf A(2lT)..................................68
4.1.5 Das Reprasentantensystem.................¦......70
4.1.6 Berechnung der Periodenmatrix........................................74
4.2 Von der Periodenmatrix zum Rosenhain-Modell..............................78
4.2.1 Hyperelliptische Charakterisierung fiir Geschlecht drei........78
4.2.2 Das Rosenhain-Modell..................................................79
4.3 Probleme fiir Geschlecht drei..........................85
4.4 Automorphismen von hyperelliptischen Kurven ..............................86
4.4.1 CM-Korper und Automorphismen......................................86
4.4.2 Invariantentheorie fiir Geschlecht drei..................................87
4.4.3 Kurven mit Automorphismen iiber C.................89
4.4.4 Klassenpolynome fiir ausgewahlte CM-Korper........................90
4.4.5 Berechnung der Kurvengleichung iiber Fp...............93
4.4.6 Der Algorithmus fiir Q(i) C K.....................96
4.4.7 Kurven iiber Q mit einer CM-Jacobischen..............97
4.4.8 Kryptographisch relevante Beispiele..................97
5 Statistiken 99
5.1 Elliptische CM-Kurven.............................99
5.1.1 Uber die Gruppenstruktur . ............,..........99
5.1.2 Heuristiken iiber Primordnungen...................103
5.2 CM-Kurven vom Geschlecht zwei.......................108
5.2.1 Wahrscheinlichkeit fur eine fast prime Gruppenordnung.......108
5.2.2 Heuristiken iiber Primordnungen...................Ill
A Elliptische Kurven mit komplexer Multiplikation 123
B Schlechte Reduktion 127
C Verwendete Programme 129
Literaturverzeichnis 133
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