Problèmes de petits diviseurs dans les équations aux dérivées partielles:
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
1. Introduction 1
1.1. Systèmes dynamiques hamiltoniens 3
1.2. Oscillateurs harmoniques 5
2. Équations aux dérivées partielles
et systèmes dynamiques hamiltoniens 9
2.1. Les exemples principaux 9
2.2. Les équations linéarisées 13
2.3. D autres exemples 18
3. Solutions périodiques : le théorème du centre de Lyapunov
et la théorie de A. Weinstein et J. Moser 23
3.1. Les résonances linéaires 23
3.2. Le théorème de Lyapunov 24
3.3. La décomposition de Lyapunov Schmidt 25
3.4. Quelques exemples en dimension infinie 29
3.5. L équation de bifurcation 29
3.6. La théorie de A. Weinstein et J. Moser 31
4. La théorie KAM en dimension infinie : énoncé des résultats 39
4.1. L équation de Schrôdinger non linéaire 39
4.2. La forme générale du problème 41
4.3. L équation des ondes non linéaire 42
4.4. Enoncé des résultats 13
5. La méthode de Nash Moser 19
5.1. Les méthodes de Newton et de Nash Moser 19
5.2. Tores invariants pour les équations aux dérivées partielles 54
5.3. Les cas particuliers 56
5.4. Le noyau et la décomposition de Lyapunov Schmidt 57
5.5. Échelles d espaces de Hilbert 58
5.6. Application de la méthode de Nash Moser 59
viii TABLE DES MATIÈRES
6. Analyse du problème linéarisé 67
6.1. La forme de l opérateur linéarisé 67
6.2. Développement des résolvantes par la sommation sur l espace
des chemins 70
6.3. Méthodes de J. Frôhlich et T. Spencer 72
7. Approche directe de la théorie KAM 83
7.1. Solutions périodiques en temps de l équation de Schrôdinger, en dimension 1
d espace 84
7.2. Solutions périodiques pour l équation des ondes non linéaire 86
7.3. Équation des ondes non linéaires avec dérivées d ordre plus élevé 89
7.4. Analyse des excisions des ensembles de paramètres A/o 92
8. La théorie KAM en dimension infinie : autres résultats récents .... 97
8.1. Tores isotropes invariants de la théorie KAM 97
8.2. Esquisse des résultats récents 107
8.3. Perspectives 114
Bibliographie 117
PANORAMAS k: SYNTHÈSES 9
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