Zeichnung - Figur - Zugfigur: mathematische und didaktische Aspekte dynamischer Geometrie-Software ; Ergebnisse eines RiP-Workshops vom 12. bis 16. Dezember 2000 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach
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Hildesheim
Franzbecker
2001
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Titel: Zeichnung - Figur - Zugfigur
Autor: Elschenbroich, Hans-Jürgen
Jahr: 2001
Kommentiertes Inhaltsverzeichnis
3
Kommentiertes Inhaltsverzeichnis
Teilnehmer 8
Sektionen 10
Vorwort 11
H.-J. Elschenbroich, Th. Gawlick, H.-W. Henn, G. Heintz, 13
J. Richter-Gebert
Dynamische Geometrie-Software - Stand der Forschung und Per-
spektiven
In diesem Basisartikel werden die Gedanken bei der Konzeption des Workshops zu-
sammengefasst und im Lichte der Durchftihrung fortgeschrieben.
Astrid Beckmann 21
Probleme beim Beweisenlernen - DGS als Losung?
In Bezug auf das Beweisenlernen in der Sekundarstufe I werden drei Beweisstufen
unterschieden. Aus didaktischer Sicht ist Stufe 2 die bedeutendste; sie ist durch schliis-
sige, verbale Argumentationen gekennzeichnet. Die Auswertung von fast 1000 Schii-
lerbeweisen ergab allerdings, dass kaum ein Beweis Stufe 2 entsprach. Es fragt sich,
ob dynamische Geometriesysteme (DGS) diese Lucke schlieBen und so einen wesent-
lichen Beitrag zum Beweisenlernen leisten konnen. Im Text wird dies auch an Hand
von SchQlerbeweisen diskutiert.
Peter Bender 31
Schul-Geometrie und Computer-Geometrie
Bei alien Talenten, die DGS fur die Kennerin und den Kenner entfaltet, ergeben sich
auch ein hoherer mathematisch-begrifflicher Aufwand fur die Beschreibung der Bewe-
gungen und Verformungen und mehr Abwesenheit von Lebenswelt, Anwendungen
und Raumanschauung. Auch die Hoffnungen auf selbststandiges Lernen mit DGS
scheinen sich nicht automatisch zu erfullen.
Hans-Jurgen Elschenbroich 41
DGS als Werkzeug zum praformalen visuellen Beweisen
DGS bietet durch Zugmodus und Ortslinienmodus neue Ansatze fur den Geometrie-
Unterricht. Zwischen formalen Beweisen und bloB experimentellen Uberprufungen
erwachsen durch DGS erweiterte Moglichkeiten zu praformalem Beweisen (,visuell-
4
Kommentiertes Inhaltsverzeichnis
dynamische Beweise'). Elektronische Arbeitsblatter aus dem Unterricht der Klassen 7
bis 9 zeigen dies in Beispielen. AbschlieBend werden offene Fragen fur die Geometrie-
Didaktik des neuen Jahrzehnts formuliert.
Thomas Gawlick
Zur mathematischen Modellierung des dynamischen Zeichenblatts
Mit einem mathematischen Model! werden die im Zugmodus auftretenden Phanomene
prazise beschreibbar: Es vereint die beim Ziehen aus einer Figur entstehenden gezoge-
nen Figuren zu einem neuen Ganzen - der Zugfigur. Mit diesem hoherdimensionalen
Objekt lassen sich wichtige DGS-Prinzipien wie Stetigkeit und Determinismus exakt
definieren und ihre Unvereinbarkeit nachweisen.
Thomas Gawlick 69
Exploration reell algebraischer Kurven mit DGS und CAS
Durch den Zugmodus und dynamische Ortslinien ist DGS sehr geeignet zur Erkun-
dung von Familien von Kurven. Die Beobachtungen geben Anlass zu Berechnungen,
bei denen CAS mit Vorteil eingesetzt werden. Zu Tage tretende Diskrepanzen zwi-
schen Algebra und Geometric lassen sich mit etwas Theorie uberwinden.
Bernard Geneves 77
Polyeder mit Cabri zur Einfiihrung in Nichteuklidische Geometrien
Mit DGS kann man verschiedene Geometrien modellieren. Das Ziel dieser Arbeit ist,
einige Grundeigenschaften der Nichteuklidischen Geometrien herauszustellen, indem
wir Linien und Geraden auf Polyedern, z.B. einem WUrfel, mit Cabri modellieren. Wir
haben zwei Polyeder so gewahlt, dass der Einfluss der Oberflachenkrummung auf die
Geometrie sichtbar wird. Mit Cabri konnen wir Abstande und Winkel messen, ver-
schiedene Netze eines Polyeders zugleich zeigen und Makros benutzen, um die Kon-
struktionen zu vereinfachen.
Gaby Heintz 33
Didaktische Betrachtungen zum Geometrie-Unterricht beim Einsatz
von Cinderella
Beim Einsatz von DGS sind didaktische Uberlegungen auf der Grundlage der veran-
derten Lernbedingungen anzustellen. Cinderella verfiigt iiber die Moglichkeit, soge-
nannte interaktive Arbeitsblatter mit integrierter Losungskontrolle zu erstellen Im Bei
trag werden Erfahrungen beim Einsatz von Beispielen, die fur den Geometrieunteiricht
der Jahrgangsstufe 7 zum Themenkreis Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
durchgefiihrt wurden, vorgestellt.
Kommentiertes lnhaltsverzeichnis
5
Hans-Wolfgang Henn 93
Dynamische Geometriesoftware: Hilfe fur eine neue Unterrichtskul-
tur?
Die Baden-Wurttembergische Variante „Weiterentwicklung der Unterrichtskultur im
Fach Mathematik" des aufgrund der TIMSS-Ergebnisse etablierten BLK-
Modellversuchs lauft seit iiber zwei Jahren. Es wird iiber Ziele und Erfahrungen insbe-
sondere im Gebiet Geometrie berichtet. DGS-Einsatz (mit besonderer Berucksichti-
gung subjektiver Lernprozesse) erweist sich als sehr hilfreich, um das Interesse an Ma-
thematik, Freude am Problemlosen und am kreativen Denken zu fdrdern.
Gerhard Holland 103
Wissensbasierte Experten in einem dynamischen Geometriesystem
Wie die TIMS-Studie gezeigt hat, ist die Fahigkeit zum Losen geometrischer Interpo-
lationsprobleme besonders bei deutschen Schiilerlnnen unterentwickelt. Am Beispiel
des Geometriesystems GEOLOG wird gezeigt, wie das Losen geometrischer Berech-
nungs-, Beweis- und Konstruktionsaufgaben durch wissensbasierte Tutorsysteme un-
terstutzt werden kann. Dabei wird insbesondere auf die Wirkungsweise der Experten
eingegangen.
Hermann Kautschitsch 113
DGS-unterstiitztes Vermuten und Beweisen
Es wird gezeigt, wie DGS funktionales und modulares Denken durch die Techniken
des Ziehens und des Umordnens bei gleichzeitiger Verwendung von Messungen und
Rechnungen unterstiitzen kann. Damit wird das Finden von Vermutungen und an-
schaulichen Begriindungen in der Geometrie erleichtert.
Ulrich Kortenkamp und Jiirgen Richter-Gebert 123
Grundlagen dynamischer Geometrie
In diesem Artikel geben wir fundamentale Definitionen, die fiir ein mathematisches
Modell der Dynamischer Geometrie benutzt werden konnen. Ausgehend von „natiirli-
chen" Erwartungen an ein solches Modell formalisieren wir die Begriffe (dynamische)
Konstruktion, Instanz einer Konstruktion und Dynamisches Geometrie-System (DGS).
Das Verhalten eines DGS wird durch die Begriffe konservativ und kontinuierlich cha-
rakterisiert. Eines der Hauptresultate ist, dass wir ein kontinuierliches DGS fur jede
Konstruktion Z angeben konnen, sofern Z nur aus algebraischen Grundoperationen
aufgebaut ist.
6
Kommentiertes Inhaltsxerzeichms
Colette Laborde
Zwischen Zeichnung und Theorie - Geometrielernen mit DGS
Beim Problemlosen im Bereich der Geometrie findet eine Interaktion zwischen der
Visualisierung der Zeichnung und den theoretischen Kenntnissen statt. Eine solche
Interaktion ist aber nicht spontan fiir die Schiiler, die die geometrischen Eigenschaften
einer Zeichnung nicht leicht identifizieren konnen. In dem Artikel wird gezeigt, wie
spezifische Lernsituationen in einer dynamischen Geometrieumgebung konzipiert
werden konnen, welche das Erlernen einer solchen Interaktion fordern.
Jean-Marie Laborde 161
Zur Begriindung der dynamischen Geometrie
Nach einigen einfiihrenden Bemerkungen iiber Geometrie (inklusive einer semioti-
schen Perspektive auf sie) werden die verschiedenen Zugmodi von DGS analysiert.
Heinz Schumann 173
Die Behandlung von Funktionen einer reellen Variablen mit Metho-
den der dynamischen Geometrie
Die Methoden der dynamischen Geometrie eroffnen neue Moglichkeiten der Behand-
lung von Funktionen einer reellen Variablen (dynamische Behandlung elementarer
Funktionen, dynamische Untersuchung funktionaler Beziehungen an geometrischen
Figuren einschlieBlich ihrer Extremaleigenschaften), die durch die direkte Manipulati-
on grafischer Objekte gekennzeichnet sind. Diese Moglichkeiten helfen die Schwachen
traditioneller Medien wie zum Beispiel die der Funktionsplot-Programme zu uberwin-
den und das funktionale Denken zu untersttitzen.
Rudolf Strafier 183
Chancen und Probleme des Zugmodus
Nach Bemerkungen zur Geometrie (u.a. in semiotischer Perspektive) werden die ver-
schiedenen Zugmodi Dynamischer Geometrie Software (DGS) untersucht. Beispiele
und eine Klassifikation zum Gebrauch des Zugmodus fUhren zu Uberlegungen, ob die
Stabilitat gegenuber „Ziehen" als Kriterium der Korrektheit einer Konstruktion geeig-
net ist. Es folgen Bespiele zur Bedeutung des Zugmodus fur die Rolle der Geometrie
bei der Planung, Visualisierung und Kontrolle gesellschaftlicher Produktion und Dist-
ribution.
Kommentiertes Inhaltsverzeichrtis
Hans-Georg Weigand
Zur Bedeutung didaktischer Prinzipien im Entschleunigungsprozess
beim Lernen mit neuen Technologien
Es ist immer wieder zu beobachten, dass Lernende im computerunterstutzten Unter-
richt nicht die Ruhe und MuBe aufbringen, Bildschirmdarstellungen sorgfaltig und
griindlich zu lesen, sondem bei geringsten Schwierigkeiten in einen Handlungsakti-
vismus verfallen. Es wird die These vertreten, dass durch das bewusste Aufgreifen
didaktischer Prinzipien der Unterrichtsprozess entschleunigt und damit fruchtbarer
gestaltet werden kann. |
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