Analytische Geometrie: eine Einführung für Studienanfänger
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| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2001
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| adam_text | Titel: Analytische Geometrie
Autor: Fischer, Gerd
Jahr: 2001
Inhaltsverzeichnis hi 1. Affine Geometrie 1.0. Allgemeine affine Räume 1.0. 1. Parallelverschiebungen ........................... 1 1.0. 2. Affine Unterräume von Vektorräumen................. 1 1.0. 3. Gruppenhomomorphismen und Untergruppen............ 2 1.0. 4. Operationen von Gruppen ......................... 3 1.0. 5. Affine Räume ................................. 4 1.0. 6. Vektorräume und affine Räume ..................... 5 1.0. 7. Parallelogramme, freie Vektoren, Ortsvektoren ........... 5 1.0. 8. Synthetische Einführung affiner Räume ................ 6 1.1. Affine Abbildungen und Unterräume 1.1.0. Affine Abbildungen von Vektorräumen ................ 7 1.1.1. Affine Abbildungen affiner Räume ................... 8 1.1.2. Einfache Eigenschaften affiner Abbildungen ............. 9 1.1.3. Charakterisierung von Translationen .................. 11 1.1.4. Affine Unterräume.............................. 11 1.1.5. Jeder affine Unterraum ist ein affiner Raum ............. 12 1.1.6. Durchschnitt und Verbindung affiner Räume ............ 12 1.1.7. Geometrische Charakterisierung affiner Unterräume........ 13 1.1.8. Der Translationsraum des Verbindungsraumes............ 15 1.1.9. Geometrische Charakterisierung des Verbindungsraumes..... 16 1.1.10. Dimensionsformel .............................. 17 1.1.11. Projektionen in Vektorräumen...................... 18 1.1.12. Parallele Unterräume, Parallelprojektionen .............. 19 1.2. Affine Koordinaten 1.2.1. Affin unabhängige Punkte, affine Basen ................ 21 1.2.2. Affine Basen und affine Abbildungen ............ 22 1.2.3. Affine Koordinatensysteme ........................ 23 1.2.4. Das Teilverhältnis .............................. 23 1.2.5. Drei Sätze der Elementargeometrie ................... 25 1.2.6. Parameterdarstellungen, Affinkombinationen ............ 26 1.2.7. Parameteidarstellung des Durchschnitts ................ 28 1.2.8. Beschreibung
affiner Abbildungen durch Matrizen ......... 29 1.2.9. Fixpunkte ................................... 30 1.2.10. Dilatationen .................................. 31
IV Inhaltsverzeichnis 1.3. Koll ineationen 1.3.1. Affinitäten und Kollineationen...................... 31 1.3.2. Körperautomorphismen .......................... 32 1.3.3. Senüaffinitäten ................................ 33 1.3.4. Der Hauptsatz der affinen Geometrie.................. 35 1.4. Quadriken 1.4.0. Ellipse, Hyperbel und Parabel....................... 36 1.4.1. Definition von Quadriken ......................... 53 1.4.2. Beispiel einer Hauptachsentransformation .............. 56 1.4.3. Satz Uber die Hauptachsentransformation............... 57 1.4.4. Rechenverfahren fiir die Hauptachsentransformation ....... 61 1.4.5. Geometrische Äquivalenz und projektiver Abschluß........ 64 1.4.6. Topologischer Abschluß .......................... 65 1.4.7. Geometrischer Klassifikationssatz .................... 70 1.4.8. Normalformen ................................ 72 1.5. Euklidische affine Räume 1.5.1. Definitionen und Beispiele......................... 74 1.5.2. Isometrien ................................... 75 1.5.3. Kongruenzen ................................. 76 1.5.4. Eulersche Winkel ............................... 77 1.5.5. Ähnlichkeiten ................................. 79 1.5.6. Geometrische Charakterisierung von Ähnlichkeiten ........ 80 1.5.7. Hauptachsentransformation von Affinitäten ............. 81 1.5.8. Geometrische Hauptachsenkonstruktion ............... 82 1.5.9. Metrische Hauptachsentransformation von Quadriken....... 85 1.5.10. Beispiele zur Hauptachsentransformation.............. 89 2. Konvexe Mengen und lineare Optimierung 2.0. Problemstellung 2.0. 1. Ein Beispiel .................................. 92 2.0. 2. Formulierung der allgemeinen Aufgabe ................ 94 2.1. Konvexe Mengen und ihre Extremalpunkte 2.1.1. Strecken, konvexe Mengen, Halbräume ................ 95 2.1.2. Konvexe Hüllen und Konvexkombinationen ............. 96 2.1.3. Simplizes und
Polyeder........................... 97 2.1.4. Extremalpunkte und Ecken ........................ 98 2.1.5. Existenz optimaler Extremalpunkte .................. 99 2.1.6. Berechnung der Extremalpunkte.....................100 2.1.7. Vorläufige Lösung der Optimierungsaufgabe .............102
Inhaltsverzeichnis V 2.2. Das Sünplexverfahren 2.2.1. Ein Trennungslenuna ............................103 2.2.2. Polyeder und Lösungen von Ungleichungssystemen ........104 2.2.3. Ein Satz von Minkowski ..........................105 2.2.4. Kanten von Polyedern ...........................106 2.2.5. Das Austauschlenuna ............................107 2.2.6. Das Eckentableau ..............................109 2.2.7. Charakterisierung optimaler Ecken ...................110 2.2.8. Einfache und mehrfache Ecken .....................111 2.2.9. Übergang zu einer benachbarten Ecke ................ 112 2.2.10. Pivotsuche mit Hilfe charakteristischer Quotienten........ 114 2.2.11. Rechenverfahren für den Übergang .................. 115 2.2.12. Lösung der Optimierungsaufgabe ................... 117 2.2.13. Ein Beispiel ................................. 119 2.3. Ausnahmefälle 2.3.1. Nicht kompakte Lösungsmenge .................... 121 2.3.2. Mehrere optimale Ecken ......................... 122 2.3.3. Mehrfache Ecken.............................. 122 2.3.4. Pivotsuche bei mehrfachen Ecken................... 123 2.3.5. Stationärer Austausch........................... 124 2.3.6. Konvexe Optimierung........................... 125 3. Projektive Geometrie 3.0. Vorbemerkungen 3.1. Projektive Räume und Unterräume 3.1.1. Projektive Räume ............................. 134 3.1.2. Homogene Koordinaten ......................... 134 3.1.3. Projektive Unterräume .......................... 135 3.1.4. Unendlich ferne Hyperebene ...................... 135 3.1.5. Durchschnitt und Verbindung ..................... 137 3.2. Projektive Abbildungen und Koordinaten 3.2.1. Projektive Abbildungen...................... 138 3.2.2. Projektive Räume und affine Räume ................. 140 3.2.3. Abschluß affiner Räume ......................... 144 3.2.4. Projektiv unabhängige Punkte »projektive Basen.......... 144 3.2.5. Prqjektivitäten mit
vorgeschriebenen Werten............ 146 3.2.6. Projektive Koordinaten.......................... 147 3.2.7. Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen......... 147 3.2.8. Beschreibung von projektiven Unterräumen durch Gleichungen 149 3.2.9. Zentralprojektionen und Perspektivitäten.............. ISO
VI Inhaltsverzeichnis 3.3. Invarianten von Projektivitäten 3.3.1. Doppelverhältnis .............................. 152 3.3.2. Berechnung des Doppelverhältnisses ................. 154 3.3.3. Doppelverhältnis bei Permutation der Punkte ........... 156 3.3.4. Doppelverhältnis und Teilverhältnis.................. 157 3.3.5. Harmonische Punktepaare ........................ 157 3.3.6. Vollständige Vierseite........................... 158 3.3.7. Die Sätze von Desargues und Pappos ................. 159 3.3.8. Kollineationen und Semiprojektivitäten............... 163 3.3.9. Der Hauptsatz der projektiven Geometrie.............. 163 3.3.10. Beweis des Hauptsatzes der affinen Geometrie........... 168 3.4. Dualität 3.4.1. Pol und Polare beim Kreis ........................ 169 3.4.2. Korrelationen ................................ 171 3.4.3. Dualer projektiver Raum......................... 172 3.4.4. Der Hauptsatz über Korrelationen................... 173 3.4.5. Korrelationen und Sesquilinearformen................ 173 3.4.6. Hyperebenenkoordinaten ........................ 174 3.4.7. Das Dualitätsprinzip............................ 175 3.4.8. Hyperebenenbüschel............................ 177 3.5. Quadriken 3.5.1. Homogene Polynome, Kegel, Quadriken............... 179 3.5.2. Die Schnitte eines Kreiskegels ..................... 181 3.5.3. Quadriken und Bilinearformen..................... 183 3.5.4. Projektive Bilder von Quadriken.................... 184 3.5.5. Projektive Hauptachsentransfoimation................ 186 3.5.6. Rechenverfahren für die Hauptachsentransformation ...... 188 3.5.7. Bestimmung der Hauptachsenform .................. 191 3.5.8. Verschiedene Gleichungen für eine Quadrik ............ 193 3.5.9. Geometrische Klassifikation....................... 195 3.5.10. Normalformen ............................... 198 3.5.11. Tangenten und Tagentialhyperebenen ................ 201 3.5.12. Der Satz von Pascal
............................ 202 Anhang. Das Erlanger Programm von Felix Klein................... 208 Literaturhinweise........................................ 210 Sachregister ........................................... 212 Namensregister ......................................... 214 Symbolverzeichnis....................................... 215
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