Optimierung, Operations Research, Spieltheorie: mathematische Grundlagen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
2001
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| ISBN: | 3764365196 |
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Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis. xii
Vorwort. xvii
Lineare Optimierung
Überblick. 1
1 Einführung
1.1 Optimierungsprobleme. 4
1.2 Beispiele für lineare Optimierungsprobleme. 7
1.3 Bezeichnungen, Schreibweisen und Abkürzungen . 12
1.4 Übungsaufgaben. 15
2 Lineare Ungleichungssysteme
2.1 Das Lemma von
2.2 Darstellungsformen und Transformationen. 25
2.3 Übungsaufgaben. 28
3 Grundlagen der Polyedertheorie
3.1 Konvexität . 31
3.2 Der Satz von Caratheodory. 35
3.3 Polyeder und polyedrische Kegel. 37
3.4 Seitenflächen von Polyedern. 41
3.5 Primitive Seitenflächen. 47
3.6 Übungsaufgaben. 49
vi
4 Erzeugung und Darstellung von Polyedern
4.1 Endliche Erzeugermengen. 51
4.2 Der Darstellungssatz von Weyl. 53
4.3 Der Zerlegungssatz für Polyeder. 55
4.4 Spitze Polyeder. 60
4.5 Übungsaufgaben. 62
5 Dualität
5.1 Duale Probleme. 63
5.2 Dualitätssätze. 68
5.3 Sätze vom komplementären Schlupf. 71
5.4 Dualität, Schattenpreise und Sensitivitätsanalyse. 75
5.5 Übungsaufgaben. 81
6 Das Simplexverfahren
6.1 Ein Verbesserungsalgorithmus. 83
6.2 Die
6.3 Bestimmung einer zulässigen Ecke . 94
6.4 Sicherstellung der Endlichkeit des Verfahrens. 105
6.5 Übungsaufgaben. 109
7 Variationen des Simplexverfahrens
7.1 Das variablenorientierte Simplexverfahren. 111
7.2 Restrikt. Algorithmus und
7.3 Äußerer Algorithmus für das
7.4 Ein innerer Algorithmus für das
7.5 Übungsaufgaben. 122
8 Verbesserungen am Simplexverfahren
8.1 Einsparmöglichkeiten beim Simplexverfahren. 123
8.2 Revidiertes Simplexverfahren. 124
8.3 Die Produktform der
8.4 Beispiel. 130
8.5 Postoptimierung. 133
8.6 Parametrische Optimierung. 136
8.7 Übungsaufgaben. 140
Inhaltsverzeichnis
9 Komplexität des Simplexverfahrens
9.1 Die Kodierungslänge und Laufzeit . 143
9.2 Kodierungslängen für
9.3 Die Nichtpolynomialität von Simplexvarianten . 149
9.4 Probabilistische Analyse des Simplexalgorithmus. 154
10 Die Ellipsoidmethode
10.1 Abschätzungen für die Ellipsoidmethode. 161
10.2 Ellipsoidmethode — ein polynomiales Verfahren. 164
11 Innere-Punkte-Verfahren von Karmarkar
11.1 Der Algorithmus von Karmarkar. 171
11.2 Beendigung des Verfahrens . 175
11.3 Problemumformulierung. 177
11.4 Übungsaufgaben. 181
Ausblick. 182
Nichtlineare Optimierung
Überblick. 183
12 Einführung in die konvexe Optimierung
12.1 Beispielhafte Problemstellungen. 185
12.2 Konvexe Mengen. 188
12.3 Konvexität und Differenzierbarkeit. 192
12.4 Optimierungseigenschaften. 204
12.5 Verallgemeinerungen der Resultate. 208
12.6 Übungsaufgaben. 214
13 Optimalitätskriterien
13.1 Probleme ohne Nebenbedingungen. 217
13.2 Probleme mit Ungleichungsrestriktionen. 219
13.3
13.4 Hinzunahme von Gleichheitsbedingungen . 231
13.5 Übungsaufgaben. 233
14 Dualität in der nichtlinearen Optimierung
14.1 Lagrange-Probleme. 235
14.2 Dualitätssätze. 237
14.3 Sattelpunkte . 240
14.4 Übungsaufgaben. 244
viii Inhaltsverzeichnis
15 Algorithmen
15.1 Konzeption und Konvergenz. 245
15.2 Komposition von Punkt-Menge-Abbildungen. 249
15.3 Grundsätzliche Anforderungen an Algorithmen. 254
15.4 Übungsaufgaben. 255
16 Eindimensionale Optimierung (Liniensuche)
16.1 Zusammenhang mit Nullstellenbestimmung. 257
16.2 Direkte Suchmethoden für den Minimalpunkt. 264
16.3 Liniensuche durch Kurvenanpassung. 269
16.4 Abgeschlossenheit und Ungenauigkeit . 276
16.5 Übungsaufgaben.'. 283
17 Mehrdim. Suche ohne Nebenbedingungen
17.1 Allgemeine Verfügbarkeit von Funktionswerten. 285
17.2 Mehrdimensionale Suche mit Ableitungen. 290
17.3 Methoden mit konjugierten Richtungen . 298
17.4 Quasi-Newton-Verfahren (Variable Metrik) . 305
17.5 Übungsaufgaben. 309
18 Verfahren für restringierte Probleme
18.1 Straffunktionsverfahren (Penalty-Verfahren). 312
18.2 Barriere-Funktionen. 318
18.3 Methode von Zoutendijk. 323
18.4 Die Gradienten-Projektionsmethode von Rosen. 328
18.5 Übungsaufgaben. 334
19 Karmarkars Algorithmus aus nichtlinearer Sicht
19.1 Der skalierte steilste Abstieg (SSD). 337
19.2 Problemformulierung und Erfolgsmessung. 339
19.3 Der Algorithmus von Karmarkar. 341
19.4 Die Komplexität des Karmarkar-Algorithmus. 344
20 Pfadverfolgungs-Methoden
20.1 Der zentrale Pfad eines LP . 347
20.2 Distanzmessung zum zentralen Pfad. 350
20.3 Ein Newton-Verfahren auf Kern
20.4 Einige vorbereitende Lemmas. 353
20.5 Pfadfolgende Algorithmen und ihre Analyse. 356
20.6 Auffinden eines Startpunktes und prob. Analyse. 364
Ausblick. 369
Inhaltsverzeichnis ix
Ganzzahlige/Kombinatorische Optimierung
Überblick. 371
21 Ganzzahlige lineare Optimierung
21.1 Problemstellung. 373
21.2 Theorie der Ganzzahligen Optimierung. 374
21.3 Abschätzungen. 379
21.4 Allgemeines
21.5 Ganzzahlige Optimierung mit
21.6 Schnittebenenverfahren . 392
21.7 Schnittebenengenerierung bei Standardproblemen. 403
21.8 Übungsaufgaben. 404
22 Grundbegriffe der Graphentheorie
22.1 Graphen. 409
22.2 Grundlegende Zusammenhänge. 412
22.3 Übungsaufgaben. 414
23 Komplexität von Problemen/ Algorithmen
23.1 Kodierungslänge, Probleme und Algorithmen (Wiederholung) . . . 415
23.2 Die Klassen
23.3 NP-vollständige Probleme. 419
23.4 NP-schwere und NP-harte Probleme . 422
23.5 Übungsaufgaben. 425
24 Aufspannende Untergraphen und Wege
24.1 Allg. kombinatorische Optimierungsprobleme. 427
24.2 Bäume und Wälder. 429
24.3 Kürzeste Wege in Graphen . 438
24.4 Übungsaufgaben. 449
25 Flüsse in Netzwerken
25.1 Maximalflüsse. 451
25.2 Das Maximalflussproblem als LP. 458
25.3 Flüsse mit minimalen Kosten. 461
25.4 Übungsaufgaben. 472
26 Heuristiken
26.1 Das Rucksackproblem. 475
26.2 Das Traveling-Salesman-Problem. 488
26.3 Übungsaufgaben. 504
Ausblick. 505
x
Spieltheorie
Überblick. 509
27 Einleitung und Begriffsbildung
27.1 Zweck der Spieltheorie. 511
27.2 Klassifikationen. 512
27.3 Übungsaufgaben. 515
28 Mathematische Modelle für Spiele
28.1 Der Informationsbegriff. 517
28.2 Spiele in extensiver Form . 519
28.3 Spiele in Normalform. 522
28.4 Gemischte Strategien. 524
28.5 Spiele in expliziter Form. 525
28.6 Übungsaufgaben. 527
29 Gleichgewichtspunkte
29.1 Die Konzeption. 529
29.2 Existenz von Gleichgewichtspunkten
29.3 Existenz von Gleichgewichtspunkten
29.4 Existenz von Gleichgewichtspunkten
29.5 Zweckdienlichkeit gemischter Strategien. 539
29.6 Diskussion des Lösungskonzepts. 543
29.7 Übungsaufgaben. 544
30 Zweipersonen-Nullsummenspiele
30.1 Gleichgewichtsüberlegungen. 545
30.2 Reduktion von 2-PNSS. 546
30.3 Bayes-Strategien. 549
30.4 Minimax-Strategien . 551
30.5
30.6 Übungsaufgaben. 557
31 Zweipersonen-Nullsummenspiele
31.1 Minimax-Strategien . 559
31.2 Gemischte Strategien bei 2-PNSS in Matrixform . 560
31.3
31.4 Elementare Lösungsmethoden bei Matrixspielen. 565
31.5 Übungsaufgaben. 568
Inhaltsverzeichnis xi
32
32.1 Nichtkoop. 2-PNKSS. 569
32.2 Kooperative Spiele ohne Drohungen . 578
32.3 Kooperative Spiele mit Drohungen. 587
32.4 Übungsaufgaben. 592
33 n-Personenspiele
33.1 Kooperative n-Personenspiele. 593
33.2 Koalitionsinterne Auszahlungsaufteilungen. 596
33.3 Stabile Mengen. 601
33.4 Der Shapley-Wert. 604
33.5 Übungsaufgaben. 606
Ausblick. 607
Literaturverzeichnis. 609
Index. 613 |
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