Logique à trois valeurs, logique à seuil:
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
PREMIÈRE PARTIE.
Logique trivalente. Treillis et fonctions de Post d ordre 3.
I. Logique des propositions bivalentes ; i
1. Algèbre de la logique trivalente i
2. Logique formelle de Lukasiewicz 4
3. Algèbre trivalente de Lukasiewicz 4
4. Applications 5
II. Treillis de Post 6
1. Définition 6
2. Examen préliminaire des axiomes 7
3. Complémentation 7
4. Sous ensemble de 3 ordonné en treillis de Boole 8
5. Résolution de l équation e x = elle 9
6. Unicité de la représentation normale de igî 9
7. Composantes d éléments particuliers. i o
8. Unicité du système d éléments de base de s i o
9. Négation . 11
10. Composantes d un élément de s 11
11. Composantes d une somme i a
12. Composantes d un produit 13
13. Relation d ordre i3
14. Dualité 14
15. E^^ession conjonctive de x 15
16. Treillis dual i5
17. Interprétation logique des axiomes 16
III. Fonctions de Post 17
1. Fonction de Post à une variable. Définition 1 17
2. Liste des fonctions de Post à une variable 17
3. Treillis de Post à un générateur 18
4. Génération des fonctions de Post à une variable. Définition 2 19
5. Identité fondamentale 19
6. Coefficients de l identité fondamentale 19
7. Formes normales disjonctive et conjonctive ao
8. Relation d ordre entre f (x) et ses coefficients 20
9. Fonctions de Post à n variables ai
10. Identité fondamentale 21
X TABLE DES MATIÈRES.
DEUXIÈME PARTIE.
Algèbbb trivalente.
I. Fonctions trivalentes 23
1. Treillis des fonctions trivalentes à variables trivalentes 2 3
2. Fonctions trivalentes à n variables effectives 25
3. Opérations portant sur une variable 25
4. Opérateurs particuliers 27
5. Fonctions trivalentes à deux variables commutatives 27
6. Groupe commutatif défini dans F2 33
7. Treillis définis dans F3 35
II. Représentation numérique des fonctions trivalentes 37
1. Fonctions d une variable 37
2. Opération * entre fonctions d une variable 38
3. Fonctions de plusieurs variables 39
4. Fonctions associées à des suites 4°
5. Fonctionnelles 42
6. Listes de suites associées à une fonction 42
7. Opération fc entre suites 4 3
8. Théorèmes de couverture 44
9. Fonctionnelles premières 4G
10. Algorithme de minimisation 47
III. Représentation géométrique des fonctions trivalentes 5o
1. Cube de Post 5o
2. Hyperparallélépipède 5o
3. Élément fondamental. Enveloppe 52
4. Simplification d une expression de Post 5a
IV. Équations de Post 54
1. Équations à une inconnue 54
2. Équations à deux inconnues 60
3. Équations à n inconnues 6a
4. Système de m équations à n inconnues ^ 63
5. Élimination de p inconnues dans une équation à n^p inconnues... 63
6. Paramétrisation minimale de Post 64
7. Paramétrisation minimale de Boole 65
8. Équations fonctionnelles 66
V. Séparabilitê fonctionnelle 68
1. Fonction de deux variables 68
2. Fonction de trois variables 7°
3. Fonction de n variables 72
VI. Expression algébrique des expressions postiennes 73
1. Somme et produit 73
2. Projection 74
3. Expression de Post à une variable 75
: TABLE DES MATIÈRES. XI
4. Résolution algébrique d une équation de Post à une inconnue.... 76
5. Résolution algébrique d une équation de Post à plusieurs inconnues. 77
1 V 11. Simplification des expressions postiennes 78
Introduction 78
s. 1. Produit fondamental 78
2. Forme normale 78
3. Implication 79
4. Implicant premier 80
5. Forme normale première 80
6. Implicant premier central 80
7. Redondance 81
8. Consensus 81
9. Suite de consensus associée à une suite de produits fondamentaux... 82
10. Théorème relatif aux implicants premiers 82
11. Théorème relatif aux implicants premiers centraux 84
12. Disposition pratique 84
13. Exemple 86
TROISIÈME PARTIE.
Logique a seuil et Algèbre bivalente.
i. Fondions à seuil 88
1. Définition 88
2. Propriétés 88
3. Opérateur majorité 88
4. Élément à seuil 91
5. Sommes S£ 92
II. Représentation d une fonction de Boole 93
1. Fonction linéairement séparable 9 3
2. Fonction de Boole quelconque g 3
3. Minimisation de la représentation d une fonction de Boole à l aide
d éléments à seuil et de négation 94
4. Fonction de Boole symétrique 97
5. Généralisation 102
III. Composition de fonctions linéairement séparables io3
1. Addition d une fonction à seuil à n variables et d une nouvelle
variable io3
2. Addition de fonctions à seuil portant sur des variables différentes... 104
3. Multiplication d une fonction à seuil à n variables par une nouvelle
variable io5
4. Multiplication de fonctions à seuil portant sur des variables diffé¬
rentes 107
IV. Éléments à seuil à trois entrées 108
1. Fonction de Boole quelconque 108
2. Fonction de Boole monotone par rapport à une variable 108
XII TABLE DES MATIÈRES.
QUATRIÈME PARTIE.
Logique a seuil et Algèbre trivalente.
I. Fonction de Post à seuil m
1. Définition m
2. Spécification d une variable m
3. Propriété 112
4. Réalisation d une fonction à seuils 112
5. Additionneur ternaire 113
II. Représentations d une fonction de Post à seuil 114
1. Forme canonique à seuils 1 j 4
2. Forme simplifiée 116
3. Systèmes semi fonctionnels 117
III. fonctions de Post à seuil à trois arguments 119
1. Opérateur majorité ternaire 119
2. Système semi fonctionnel 121
3. Table des (onctions d une variable 121
4. Règles de calcul 122
5. Séparation d une variable 122
6. Addition modulo 3 124
IV. Fonction caractéristique postienne 125
1. Intervalles dans R 125
2. Fonction caractéristique postienne d un intervalle 126
3. Composantes de la fonction caractéristique postienne 127
4. Somme et produit de deux fonctions caractéristiques 127
V. Application économique 128
1. Alternatives 128
2. Fonction de choix 129
3. Décision majoritaire 129
4. Qualités de la décision majoritaire 131
CINQUIÈME PARTIE.
Notions suh les circuits logiques ternaires.
1. Représentation d une variable trivalente 133
2. Liaisons entre deux prises; circuit i33
3. Représentation d une opération portant sur une variable 134
4. Représentation d une opération portant sur deux variables i34
5. Représentation d une fonction de n variables 135
6. Réalisation électrique d une prise 13 6
Exercices sur les cinq parties du cours 137
Formulaire d algèbre de Post 14 *
Bibliographie i47
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