Das Extremalprinzip als Element mathematischer Denk- und Problemlöseprozesse: Untersuchungen zur deskriptiven, konstruktiven und systematischen Heuristik
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Hildesheim u.a.
Franzbecker
2000
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| Schriftenreihe: | Texte zur mathematischen Forschung und Lehre
9 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 1999 |
| Beschreibung: | III, 221 S. graph. Darst. |
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Inhalt
0 Einleitung 1
1 Problemlosen und Mathematikunterricht 3
1.1 Bedeutung von Problemlösekompetenzen 3
1.2 Zur Psychologie des Problemlösens 4
1.2.1 Was ist ein Problem? 6
1.2.2 Routineaufgabe vs. Problemaufgabe am Beispiel f(x) = 7
cosx
1.2.3 Wissensstrukturen 11
1.2.4 Modellierung von Problemlöseprozessen 14
1.3 Heuristik in der mathematikdidaktischen Forschung 16
1.3.1 Zur Analyse heuristischer Strategien 16
1.3.2 Die Kreisaufgabe 18
1.4 Kompetentes Problemlösen als zentrales Bildungsziel des MU 23
1.4.1 Geschichtliche Entwicklung 23
1.4.2 Heuristik und das „Bild von Mathematik 24
1.4.3 Derzeitige Realität und Defizite 26
1.5 Zusammenfassung und Ziele 29
2 „Das Extremale als Lebens- und Denkprinzip 31
2.1 „Extremalität als charakteristische Eigenschaft von Objekten und
Beziehungen 31
2.1.1 „Extremalität - ein Grundmotiv menschlichen Lebens 31
2.1.1.1 Funktion von Extremwerten im Alltag 31
2.1.1.2 Alltagsobjekte als Endprodukte des Optimierungs-
strebens 35
2.1.2 Extrema in der Natur 35
2.2 „Extrema in der Mathematik 39
2.2.1 Ein Blick in die Geschichte - klassische Optimierungsprobleme 39
2.2.2 Mathematische Verfahren 40
2.2.3 Neuere Optimierungstheorie 41
n
2.2.4 Mathematik als „extreme Wissenschaft - Ideale Eigenschaften
mathematischer Objekte und Modelle 42
2.2.5 Optimieren in der mathematischen und mathematikdidaktischen
Literatur 43
2.3 Zusammenfassung - Optimieren als fundamentale Idee 43
3 Das Extremalprinzip (EP) als heuristische Strategie 46
3.1 Einführung 46
3.1.1 Erste Formulierung 46
3.1.2 Erste Beispiele 47
3.1.3 Das Extremalprinzip in der mathematikdidaktischen Literatur 51
3.1.4 Untersuchungsfeld 54
3.2 Variationen des Extremalprinzips - Versuch einer Klassifizierung 55
3.2.1 Das Korrespondenzprinzip - Extrema als Objekte mit besonderen
Eigenschaften 56
3.2.1.1 Extrema als potentielle Kandidaten bei Existenz¬
problemen - Identifikationsfunktion 57
3.2.1.2 Extrema als potentielle Gegenbeispiele bei Allvernei¬
nenden Aussagen - Monsterfunktion 74
3.2.1.3 Extrema als determinierende Objekte: Reduktion der
Komplexität- Determinationsfünktion 78
3.2.1.4 Zusammenfassung 84
3.2.2 Das EP bei Ungleichungen und Abschätzungen 84
3.2.3 Vom Kleinsten zum Größten - Das Induzieren einer Ordnung 88
3.2.3.1 Abzählprobleme 88
3.2.3.2 Konstruktionsprobleme 92
3.2.3.3 Greedy-Strategien 97
3.2.4 Grenzen, die keine sind - Das EP in der Zahlentheorie 97
3.2.4.1 Das EP bei „Allbejahenden Aussagen 98
3.2.4.2 Das EP bei „Unendlichkeits-Problemen 101
3.2.4.3 Das EP bei „Allverneinenden Aussagen 104
3.2.5 Descente Infinie (DI) 107
in
3.2.5.1 Irrationalität und „unendlicher Abstieg 117
3.2.6 Das EP und verwandte Strategien 125
3.2.6.1 Monovarianten, Invarianten und Potentiale 125
3.2.6.2 Das Symmetrieprinzip 130
3.2.6.3 Das Schubfachprinzip 138
3.2.7 Einbettung des EP in die allgemeine Heuristik - Spezial-, Rand-
und Extremfälle 139
3.3 Das Extremalprinzip zur Generierung neuen Wissens 156
3.4 Zusammenfassung 161
3.4.1 Rückblick - Kritische Anmerkungen 161
3.4.2 Das EP in der psychologischen Literatur 163
3.4.3 Das Extremale als fundamentale Idee 164
4 Empirische Studien 166
4.1 Rahmenbedingungen 166
4.2 Empirisches zu einzelnen Problemen aus Kapitel 3 168
4.2.1 Beispiele zum Korrespondenzprinzip 168
4.2.2 Beispiele zum EP bei Abzählproblemen 174
4.2.3 Descente Infinie 177
4.2.4 Spezial-, Rand- und Extremfälle 179
4.3 Ein Fragebogen 181
4.4 Zusammenfassung und Einordnung 183
5 Didaktische Konsequenzen - Das EP im MU 189
5.1 Zum Lehren von Heuristik 189
5.2 Das EP im MU 192
5.2.1 Anknüpfungspunkte an den „Kern des Curriculums 194
5.2.2 Weitere Funktionen des EP im MU 201
Gefahren und Schwierigkeiten beim EP 204
5.3 Zusammenfassung und Ausblick 207
Literaturverzeichnis 210
Verzeichnis der Abkürzungen 221
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