Taschenbuch der Mathematik:
Gespeichert in:
| Format: | Buch |
|---|---|
| Sprache: | German Russian |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt am Main [u.a.]
Deutsch
2000
|
| Ausgabe: | 5., überarb. und erw. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Parallele CD-ROM-Ausg. unter gleichem Titel |
| Beschreibung: | XXXVII, 1191 S. Ill. |
| ISBN: | 3817120052 381712015X |
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Mathematik
I N Bronstein
K A Semendjajew
G Musiol
H Mühlig
5 , überarbeitete und
erweiterte Auflage
der
Verlag
Harri _
Deutsch
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis X
1 Arithmetik
1 1 Elementare Rechenregeln
111 Zahlen
1111 Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1112 Irrationale und transzendente Zahlen
1113 Reelle Zahlen
112 Beweismethoden
1121 Direkter Beweis
1122 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
1123 Vollständige Induktion
1124 Konstruktiver Beweis
113 Summen und Produkte
1131 Summen
1132 Produkte
114 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
1141 Potenzen
1142 Wurzeln
1143 Logarithmen
1144 Spezielle Logarithmen
115 Algebraische Ausdrücke
1151 Definitionen
1152 Einteilung der algebraischen Ausdrücke
116 Ganzrationale Ausdrücke
1161 Darstellung in Form eines Polynoms
1162 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
1163 Spezielle Formeln
1164 Binomischer Satz
1165 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
117 Gebrochenrationale Ausdrücke
1171 Rückführung auf die einfachste Form
1172 Bestimmung des ganzrationalen Anteils
1173 Partialbruchzerlegung
1174 Umformung von Proportionen
118 Irrationale Ausdrücke
1 2 Endliche Reihen
121 Definition der endlichen Reihe
122 Arithmetische Reihen
123 Geometrische Reihe
124 Spezielle endliche Reihen
125 Mittelwerte
1251 Arithmetisches Mittel
1252 Geometrisches Mittel
1253 Harmonisches Mittel
1254 Quadratisches Mittel
1255 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b
1 3 Finanzmathematik
Taschenbuch
der
Mathematik
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5 , überarbeitete und
erweiterte Auflage
der
ng
m-
bil-
ern
das
ühe
Verlag
Harri _
Deutsch
las
he
Inhaltsverzeichnis III
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis XXXV
1 Arithmetik 1
1 1 Elementare Rechenregeln 1
111 Zahlen 1
1111 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 1
1112 Irrationale und transzendente Zahlen 1
1113 Reelle Zahlen 2
112 Beweismethoden 5
1121 Direkter Beweis 5
1122 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch 5
1123 Vollständige Induktion 5
1124 Konstruktiver Beweis 6
113 Summen und Produkte 6
1131 Summen 6
1132 Produkte 7
114 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 8
1141 Potenzen 8
1142 Wurzeln 8
1143 Logarithmen 9
1144 Spezielle Logarithmen 9
115 Algebraische Ausdrücke 10
1151 Definitionen 10
1152 Einteilung der algebraischen Ausdrücke 11
116 Ganzrationale Ausdrücke 11
1161 Darstellung in Form eines Polynoms 11
1162 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren 11
1163 Spezielle Formeln 12
1164 Binomischer Satz 12
1165 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome 14
117 Gebrochenrationale Ausdrücke 14
1171 Rückführung auf die einfachste Form 14
1172 Bestimmung des ganzrationalen Anteils 15
1173 Partialbruchzerlegung 15
1174 Umformung von Proportionen 17
118 Irrationale Ausdrücke 17
1 2 Endliche Reihen 18
121 Definition der endlichen Reihe 18
122 Arithmetische Reihen 18
123 Geometrische Reihe 19
124 Spezielle endliche Reihen 19
125 Mittelwerte 19
1251 Arithmetisches Mittel 19
1252 Geometrisches Mittel 20
1253 Harmonisches Mittel 20
1254 Quadratisches Mittel 20
1255 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b 20
1 3 Finanzmathematik 21
IV Inhaltsverzeichnis
131 Prozentrechnung 21
132 Zinseszinsrechnung 22
133 Tilgungsrechnung 23
1331 Tilgung 23
1332 Gleiche Tilgungsraten 23
1333 Gleiche Annuitäten 24
134 Rentenrechnung 24
1341 Rente 24
1342 Nachschüssig konstante Rente 25
1343 Kontostand nach n Rentenzahlungen 25
135 Abschreibungen 26
1 4 Ungleichungen 28
141 Reine Ungleichungen 28
1 4 1- 1 Definitionen 28
1412 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II 29
142 Spezielle Ungleichungen 30
1421 Dreiecksungleichung 30
1422 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen 30
1423 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel 30
1424 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel 30
1425 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen 30
1426 Bernoullische Ungleichung 31
1427 Binomische Ungleichung 31
1428 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 31
1429 Tschebyscheffsche Ungleichung 31
142 10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung 32
142 11 Höldersche Ungleichung 32
142 12 Minkowskische Ungleichung 33
143 Lösung von Ungleichungen 1 und 2 Grades 33
1431 Allgemeines 33
1432 Ungleichungen 1 Grades 33
1433 Ungleichungen 2 Grades 33
1434 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2 Grades 34
1 5 Komplexe Zahlen 34
151 Imaginäre und komplexe Zahlen 34
1511 Imaginäre Einheit 34
1512 Komplexe Zahlen 34
152 Geometrische Darstellung 35
1521 Vektordarstellung 35
1522 Gleichheit komplexer Zahlen 35
1523 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen 35
1524 Exponentialform einer komplexen Zahl 36
1525 Konjugiert komplexe Zahlen 36
153 Rechnen mit komplexen Zahlen 36
1531 Addition und Subtraktion 36
1532 Multiplikation 37
1533 Division 37
1534 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten 38
1535 Potenzieren einer komplexen Zahl 38
1536 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
1 6 Algebraische und transzendente Gleichungen 38
161 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform 38
Inhaltsverzeichnis V
1611 Definitionen 38
1612 Systeme aus n algebraischen Gleichungen 39
1613 Scheinbare Wurzeln 39
162 Gleichungen 1 bis 4 Grades 39
1621 Gleichungen 1 Grades (lineare Gleichungen) 39
1622 Gleichungen 2 Grades (quadratische Gleichungen) 40
1623 Gleichungen 3 Grades (kubische Gleichungen) 40
1624 Gleichungen 4 Grades 42
1625 Gleichungen 5 und höheren Grades 43
163 Gleichungen n-ten Grades 43
1631 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen 43
1632 Gleichungen mit reellen Koeffizienten 44
164 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen 45
1641 Definition 45
1642 Exponentialgleichungen 46
1643 Logarithmische Gleichungen 46
1644 Trigonometrische Gleichungen 46
1645 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen 47
2 Funktionen und ihre Darstellung 48
2 1 Funktionsbegriff 48
211 Definition der Funktion 48
2111 Funktion 48
2112 Reelle Funktion 48
2113 Funktion von mehreren Veränderlichen 48
2114 Komplexe Funktion 48
2115 Weitere Funktionen 48
2116 Funktionale 48
2117 Funktion und Abbildung 49
212 Methoden zur Definition einer reellen Funktion 49
2121 Angabe einer Funktion 49
2122 Analytische Darstellung reeller Funktionen 49
213 Einige Funktionstypen 50
2131 Monotone Funktionen 50
2132 Beschränkte Funktionen 51
2133 Extremwerte von Funktionen 51
2134 Gerade Funktionen 51
2135 Ungerade Funktionen 51
2136 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen 52
• 2137 Periodische Funktionen 52
2138 Inverse oder Umkehrfunktionen 52
214 Grenzwert von Funktionen 53
2141 Definition des Grenzwertes einer Funktion 53
2142 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge (s S 420) 53
2143 Konvergenzkriterium von Cauchy 53
2144 Unendlicher Grenzwert einer Funktion 54
2145 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion 54
2146 Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich 54
2147 Sätze über Grenzwerte von Funktionen 55
2148 Berechnung von Grenzwerten 55
2149 Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole 57
215 Stetigkeit einer Funktion 58
VI Inhaltsverzeichnis
2151 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle 58
2152 Definition der Stetigkeit 59
2153 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten 59
2154 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen 60
2155 Eigenschaften stetiger Funktionen 61
2 2 Elementare Funktionen 62
221 Algebraische Funktionen 62
2211 Ganzrationale Funktionen (Polynome) 62
2212 Gebrochenrationale Funktionen 62
2213 Irrationale Funktionen 63
222 Transzendente Funktionen 63
2221 Exponentialfunktionen 63
2222 Logarithmische Funktionen 63
^ 2 223 Trigonometrische Funktionen 63
2224 Inverse trigonometrische Funktionen 63
2225 Hyperbelfunktionen 63
2226 Inverse Hyperbelfunktionen 63
223 Zusammengesetzte Funktionen • ■ • • 63
2 3 Polynome 64
231 Lineare Funktion 64
232 Quadratisches Polynom 64
233 Polynom 3 Grades 64
234 Polynom n-ten Grades 65
235 Parabel n-ter Ordnung 66
2 4 Gebrochenrationale Funktionen 66
241 Umgekehrte Proportionalität 66
242 Kurve 3 Ordnung, Typ I 67
243 Kurve 3 Ordnung, Typ II 67
244 Kurve 3 Ordnung, Typ III 69
245 Reziproke Potenz 70
2 5 Irrationale Funktionen 71
251 Quadratwurzel aus einem linearen Binom 71
252 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 71
253 Potenzfunktion 71
/v 2;6- Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 72
261 Exponentialfunktion 72
262 Logarithmische Funktionen 73
263 Gaußsche Glockenkurve 73
264 Exponentialsumme 73
265 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve 74
, i, 266 Produkt aus Potenz-und Exponentialfunktion 75
2 7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 76
271 Grundlagen 76
2711 Definition und Darstellung 76
2712 Wertebereiche und Funktionsverläufe 78
272 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen 80
2721 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 80
2722 Trigonometrische Funktionen-der Summe und der Differenz zweier
• - Winkel (Additionstheoreme) 80
v- K 2723 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache 81
,2724 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels 82
*• 2725 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen 82
Inhaltsverzeichnis VII
2726 Produkte trigonometrischer Funktionen 82
2727 Potenzen trigonometrischer Funktionen 83
273 Beschreibung von Schwingungen 83
2731 Problemstellung 83
2732 Superposition oder Überlagerung von Schwingungen 83
2733 Vektordiagramm für Schwingungen 84
2734 Dämpfung von Schwingungen 84
2 8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 85
281 Definition der zyklometrischen Funktionen 85
282 Zurückführung auf die Hauptwerte 85
283 Beziehungen zwischen den Hauptwerten 86
284 Formeln für negative Argumente 87
285 Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y 87
286 Summe und Differenz von arccos x und arccos y 87
287 Summe und Differenz von arctan x und arctan y 87
288 Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x 88
2 9 Hyperbelfunktionen 88
291 Definition der Hyperbelfunktionen 88
292 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen 89
2921 Hyperbelsmus 89
2922 Hyperbelkosinus 89
2923 Hyperbeltangens 90
2924 Hyperbelkotangens 90
293 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen 90
2931 Hyperbelfunktionen einer Variablen 90
2932 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Ar
gumentes 90
2933 Formeln für negative Argumente 90
2934 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme) 91
2935 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments 91
_v,f2936 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen 91
^L2937 Hyperbelfunktionen des halben Arguments 91
2938 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen 91
2939 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente 92
2 10 Areafunktionen 92
2 10 1 Definitionen 92
2 10 1 1 Areasinus 92
2 10 1 2 Areakosinus 92
2 10 1 3 Areatangens 93
2 10 1 4 Areakotangens 93
2 10 2 Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus 93
2 10 3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen 94
2 10 4 Summen und Differenzen von Areafunktionen 94
2 10 5 Formeln für negative Argumente 94
2 11 Kurven dritter Ordnung 95
2 11 1 Semikubische Parabel 95
2 11 2 Versiera der Agnesi 95
2 11 3 Kartesisches Blatt 96
2 11 4 Zissoide 96
2 11 5 Strophoide 96
VIII Inhaltsverzeichnis
2 12 Kurven vierter Ordnung 97
2 12 1 Konchoide des Nikomedes 97
2 12 2 Allgemeine Konchoide 98
2 12 3 Pascalsche Schnecke 98
2 12 4 Kardioide 99
2 12 5 Cassinische Kurven 100
2 12 6 Lemniskate 101
/ 2 13 Zykloiden 101
2 13 1 Gewöhnliche Zykloide 101
2 13 2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden 102
2 13 3 Epizykloide 103
2 13 4 Hypozykloide und Astroide 104
2 13 5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide 105
2 14 Spiralen 105
2 14 1 Archimedische Spirale 105
2 14 2 Hyperbolische Spirale 106
2 14 3 Logarithmische Spirale 106
2 14 4 Evolvente des Kreises 107
2 14 5 Klotoide 107
2 15 Verschiedene andere Kurven 108
2 15 1 Kettenlinie oder Katenoide 108
2 15 2 Schleppkurve oder Traktrix 108
2 16 Aufstellung empirischer Kurven 109
2 16 1 Verfahrensweise 109
2 16 1 1 Kurvenbildervergleiche 109
2 16 1 2 Rektifizierung 109
2 16 1 3 Parameterbestimmung 109
2 16 2 Gebräuchlichste empirische Formeln 110
2 16 2 1 Potenzfunktionen 110
2 16 2 2 Exponentialfunktionen 110
2 16 2 3 Quadratisches Polynom 111
2 16 2 4 Gebrochenlineare Funktion 112
2 16 2 5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 112
2 16 2 6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve 112
2 16 2 7 Kurve 3 Ordnung, Typ II 113
2 16 2 8 Kurve 3 Ordnung, Typ III 113
2 16 2 9 Kurve 3 Ordnung, Typ I 113
2 16 2 10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion 114
2 16 2 11 Exponentialsumme 114
2 16 2 12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel 114
2 17 Skalen und Funktionspapiere 116
2 17 1 Skalen 116
2 17 2 Funktionspapiere 117
2 17 2 1 Einfach-logarithmisches Funktionspapier 118
2 17 2 2 Doppelt-logarithmisches Funktionspapier 118
2 17 2 3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala 118
2 17 2 4 Hinweis 119
2 18 Funktionen von mehreren Veränderlichen 120
2 18 1 Definition und Darstellung 120
2 18 1 1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2 18 1 2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2 18 2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche 121
Inhaltsverzeichnis IX
2 18 2 1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion 121
2 18 2 2 Zweidimensionale Gebiete 121
2 18 2 3 Drei- und mehrdimensionale Gebiete 121
2 18 2 4 Methoden zur Definition einer Funktion 121
2 18 2 5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion 123
2 18 2 6 Abhängigkeit von Funktionen 124
2 18 3 Grenzwerte 125
2 18 3 1 Definition 125
2 18 3 2 Exakte Formulierung 125
2 18 3 3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche 125
2 18 3 4 Iterierte Grenzwerte 126
2 18 4 Stetigkeit 126
2 18 5 Eigenschaften stetiger Funktionen 126
2 18 5 1 Nullstellensatz von Bolzano 126
2 18 5 2 Zwischenwertsatz 126
2 18 5 3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion 126
2 18 5 4 Satz von Weierstrass über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes 127
2 19 Nomographie 127
2 19 1 Nomogramme 127
2 19 2 Netztafeln 127
2 19 3 Fluchtlinientafeln 128
2 19 3 1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt 128
2 19 3 2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten ge
radlinigen Skala 129
2 19 3 3 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala 130
2 19 4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche 131
3 Geometrie 132
3 1 Planimetrie 132
311 Grundbegriffe 132
3111 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke 132
3112 Winkel 132
3113 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden 133
3114 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen 133
3115 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß 134
312 Geometrische Definition der Kreis-und Hyperbel-Funktionen 134
3121 Definition der Kreis-oder trigonometrischen Funktionen 134
3122 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen 135
313 Ebene Dreiecke 136
3131 Aussagen zu ebenen Dreiecken 136
3132 Symmetrie 137
314 Ebene Vierecke 139
3141 Parallelogramm 139
3142 Rechteck und Quadrat 139
3143 Rhombus oder Raute 139
3144 Trapez 139
3145 Allgemeines Viereck 140
3146 Sehnenviereck 140
3147 Tangentenviereck 141
315 Ebene Vielecke oder Polygone 141
X Inhaltsverzeichnis
3151 Allgemeines Vieleck 141
3152 Regelmäßige konvexe Vielecke 141
3153 Einige regelmäßige konvexe Vielecke 142
316 Ebene Kreisfiguren 143
3161 Kreis 143
3162 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) 145
3163 Kreisring 145
3 2 Ebene Trigonometrie 146
321 Dreiecksberechnungen 146
3211 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken 146
3212 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 146
322 Geodätische Anwendungen 149
3221 Geodätische Koordinaten 149
3222 Winkel in der Geodäsie 150
3223 Vermessungstechnische Anwendungen 152
3 3 Stereometrie 155
331 Geraden und Ebenen im Raum 155
332 Kanten, Ecken, Raumwinkel 156
333 Polyeder 157
334 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind 160
3 4 Sphärische Trigonometrie 164
341 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel 164
3411 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel 164
3412 Spezielle Koordinatensysteme 166
3413 Sphärisches Zweieck 167
3414 Sphärisches Dreieck 167
3415 Polardreieck 168
3416 Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke 169
3417 Dreikant 169
342 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke 169
3421 Allgemeine Aussagen 169
3422 Grundformeln und Anwendungen 170
3423 Weitere Formeln 173
343 Berechnung sphärischer Dreiecke 174
3431 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen 174
3432 Rechtwinklig sphärisches Dreieck 174
3433 Schiefwinklig sphärisches Dreieck 176
3434 Sphärische Kurven 180
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 186
351 Vektoralgebra 186
3511 Definition des Vektors, Rechenregeln 186
3512 Skalarprodukt und Vektorprodukt 189
3513 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen 191
3514 Vektorielle Gleichungen 194
3515 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors 194
3516 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra 195
—3 5 2 Analytische Geometrie der Ebene 195
3521 Ebene Koordinatensysteme und deren Transformationen 195
3522 Spezielle Punkte in der Ebene 198
3523 Gerade 201
3524 Kreis 204
3525 Ellipse 205
Inhaltsverzeichnis XI
3526 Hyperbel 207
3527 Parabel 210
3528 Kurven 2 Ordnung (Kegelschnitte) 212
353 Analytische Geometrie des Raumes 214
3531 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme 214
3532 Gerade und Ebene im Raum 221
3533 Flächen 2 Ordnung, Gleichungen in Normalform 227
3534 Flächen 2 Ordnung, allgemeine Theorie 231
3 6 Differentialgeometrie 233
361 Ebene Kurven 233
3611 Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren 233
3612 Lokale Elemente einer Kurve 234
3613 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten 239
3614 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung 244
3615 Evoluten und Evolventen 245
3616 Einhüllende von Kurvenscharen 246
362 Raumkurven 247
3621 Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren 247
3622 Begleitendes Dreibein 247
3623 Krümmung und Windung 250
363 Flächen 252
3631 Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren 252
3632 Tangentialebene und Flächennormale 253
3633 Linienelement auf einer Fläche 254
3634 Krümmung einer Fläche 256
3635 Regelflächen und abwickelbare Flächen 259
3636 Geodätische Linien auf einer Fläche 259
4 ^Lineare Algebra 261
4 1 Matrizen 261
411 Begriff der Matrix 261
412 Quadratische Matrizen 262
413 Vektoren 263
414 Rechenoperationen mit Matrizen 264
415 Rechenregeln für Matrizen 267
416 Vektor- und Matrizennorm 268
4161 Vektornormen 268
4162 Matrizennormen 269
4 2 Determinanten 269
421 Definitionen 269
4211 Determinanten 269
4212 Unterdeterminanten 269
422 Rechenregeln für Determinanten 270
423 Berechnung von Determinanten 271
4 3 Tensoren 272
431 Transformation des Koordinatensystems 272
432 Tensoren in kartesischen Koordinaten 272
433 Tensoren mit speziellen Eigenschaften 274
4331 Tensoren 2 Stufe 274
4332 Invariante Tensoren 275
434 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen 276
4341 Kovariante und kontravariante Basisvektoren 276
XII Inhaltsverzeichnis
4342 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1 Stufe 276
4343 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2 Stufe 277
4344 Rechenregeln 278
435 Pseudotensoren 279
4351 Punktspiegelung am Koordinatenursprung 279
4352 Einführung des Begriffs Pseudotensor 280
4 4 Lineare Gleichungssysteme 281
441 Lineare Systeme, Austauschverfahren 281
4411 Lineare Systeme 281
4412 Austauschverfahren 281
4413 Lineare Abhängigkeiten 282
4414 Invertierung einer Matrix 282
442 Lösung linearer Gleichungssysteme 282
4421 Definition und Lösbarkeit 282
4422 Anwendung des Austauschverfahrens 284
4423 Cramersche Regel 285
4424 Gaußscher Algorithmus 286
443 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 287
4431 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme 287
4432 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 288
4 5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 288
451 Allgemeines Eigenwertproblem 288
452 Spezielles Eigenwertproblem 288
4521 Charakteristisches Polynom 288
4522 Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen 290
4523 Hauptachsentransformation quadratischer Formen 291
4524 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten 293
453 Singulärwertzerlegung 295
5 Algebra und Diskrete Mathematik 297
5 1 Logik 297
511 Aussagenlogik 297
512 Ausdrücke der Prädikatenlogik 300
• 5 2 Mengenlehre 302
521 Mengenbegriff, spezielle Mengen 302
522 Operationen mit Mengen 303
523 Relationen und Abbildungen 306
524 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen 308
525 Mächtigkeit von Mengen 309
5 3 Klassische algebraische Strukturen 310
531 Operationen 310
532 Halbgruppen 310
533 Gruppen 311
5331 Definition und grundlegende Eigenschaften 311
5332 Untergruppen und direkte Produkte 312
5333 Abbildungen zwischen Gruppen 314
534 Darstellung von Gruppen 315
5341 Definitionen 315
5342 Spezielle Darstellungen 315
5343 Direkte Summe von Darstellungen 316
Inhaltsverzeichnis XIII
5344 Direktes Produkt von Darstellungen 317
5345 Reduzible und irreduzible Darstellungen 317
5346 Erstes Schursches Lemma 318
5347 Clebsch-Gordan-Reihe 318
5348 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe Sm 318
535 Anwendungen von Gruppen 319
5351 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente 319
5352 Symmetriegruppen 319
5353 Symmetrieoperationen bei Molekülen 320
5354 Symmetriegruppen in der Kristallographie 322
5355 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik 324
5356 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik 324
536 Ringe und Körper 325
5361 Definitionen 325
5362 Unterringe, Ideale 326
5363 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz 326
537 Vektorräume 326
5371 Definition 326
5372 Lineare Abhängigkeit 327
5373 Lineare Abbildungen 327
5374 Unterräume, Dimensionsformel 327
5375 Euklidische Vektorräume Euklidische Norm 328
5376 Lineare Operatoren in Vektorräumen 329
5 4 Elementare Zahlentheorie 330
541 Teilbarkeit 330
5411 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln 330
5412 Primzahlen 330
5413 Teilbarkeitskriterien 332
5414 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5415 Fibonacci-Zahlen 334
542 Lineare Diophantische Gleichungen 335
543 Kongruenzen und Restklassen 337
544 Sätze von Fermat, Euler und Wilson 341
545 Codes 341
5 5 Kryptologie 344
551 Aufgabe der Kryptologie 344
552 Kryptosysteme 344
553 Mathematische Präzisierung 344
554 Sicherheit von Kryptosystemen 345
5541 Methoden der klassischen Kryptologie 345
5542 Tauschchiffren 346
5543 Vigenere-Chiffre 346
5544 Matrixsubstitutionen 346
555 Methoden der klassischen Kryptoanalysis 347
5551 Statistische Analyse 347
5552 Kasiski-Friedman-Test 347
556 One-Time-Tape 348
557 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel 348
5571 Konzept von Diffie und Heilman 348
5572 Einwegfunktionen 349
5573 RSA-Verfahren 349
558 DES-Algorithmus (Data Encryption Standard) 350
XIV Inhaltsverzeichnis
559 IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) 350
5 6 Universelle Algebra 351
561 Definition 351
562 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren 351
563 Homomorphismen 351
564 Homomorphiesatz 352
565 Varietäten 352
566 Termalgebren, freie Algebren 352
5 7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 353
571 Definition 353
572 Dualitätsprinzip 353
573 Endliche Boolesche Algebren 354
574 Boolesche Algebren als Ordnungen 354
575 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke 354
576 Normalformen 356
577 Schaltalgebra 356
5 8 Algorithmen der Graphentheorie 359
581 Grundbegriffe und Bezeichnungen 359
582 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen 362
5821 Kantenfolgen 362
5822 Eulersche Linien 363
5823 Hamilton-Kreise 364
583 Bäume und Gerüste 365
5831 Bäume 365
5832 Gerüste 366
584 Matchings 367
585 Planare Graphen 368
586 Bahnen in gerichteten Graphen 369
587 Transportnetze 370
5 9 Fuzzy-Logik 372
591 Grundlagen der Fuzzy-Logik 372
5911 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) 372
5912 Zugehörigkeitsfunktionen 373
5913 Fuzzy-Mengen 375
592 Verknüpfungen unscharfer Mengen 376
5921 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen 376
5922 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen 377
5923 Kompensatorische Operatoren 380
5924 Erweiterungsprinzip 380
5925 Unscharfe Komplementfunktion 380
593 Fuzzy-wertige Relationen 381
5931 Fuzzy-Relationen 381
5932 Fuzzy-Relationenprodukt Ro S 383
594 Fuzzy-Inferenz 384
595 Defuzzifizierungsmethoden 386
596 Wissensbasierte Fuzzy-Systeme 387
5961 Methode Mamdani 387
5962 Methode Sugeno 387
5963 Kognitive Systeme 388
5964 Wissensbasiertes Interpolationssystem 390
Inhaltsverzeichnis XV
6T)ifferentialrechnung
6 1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
611 Differentialquotient
612 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher
6121 Ableitungen elementarer Funktionen
6122 Grundregeln für das Differenzieren
J613 Ableitungen höherer Ordnung
I6131 Definition der Ableitungen höherer Ordnung
I6132 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
i6133 Leibnizsche Regel
, ;l 6134 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
p6135 Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
iJ614 Hauptsätze der Differentialrechnung
j;6141 Monotoniebedingungen
6142 Satz von Fermat
6143 Satz von Rolle
|6144 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
!i6145 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen
i6146 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
; j615 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
u6151 Maxima und Minima
6152 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
6153 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funk-
II tion y = f(x)
!j 6154 Bestimmung der globalen Extremwerte
jl 6155 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
|62 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen
|621 Partielle Ableitungen
|6211 Partielle Ableitung einer Funktion
|6212 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen
I6213 Begriff des Differentials
!j 6214 Haupteigenschaften des Differentials
6215 Partielles Differential
1622 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
6221 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
6222 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
6223 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen
623 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen
6231 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
6232 Differentiation impliziter Funktionen
624 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und Koordinatentrans
formationen
6241 Funktion von einer Veränderlichen
6242 Funktion zweier Veränderlicher
625 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
6251 Definition
6252 Geometrische Bedeutung
6253 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen
6254 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
6255 Lösung von Approximationsaufgaben
XVI Inhaltsverzeichnis
6256 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 418
7 Unendliche Reihen 419
7 1 Zahlenfolgen 419
711 Eigenschaften von Zahlenfolgen 419
7111 Definition der Zahlenfolge 419
7112 Monotone Zahlenfolgen 419
7113 Beschränkte Folgen 419
712 Grenzwerte von Zahlenfolgen 420
7 2 Reihen mit konstanten Gliedern 421
721 Allgemeine Konvergenzsätze 421
7211 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen 421
7212 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen 421
722 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern 422
7221 Vergleichskriterium 422
7222 Quotientenkriterium von d’Alembert 422
7223 Wurzelkriterium von Cauchy 423
7224 Integralkriterium von Cauchy 424
723 Absolute und bedingte Konvergenz 424
7231 Definition 424
7232 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen 424
7233 Alternierende Reihen 425
724 Einige spezielle Reihen 425
7241 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern 425
7242 Bernoullische und Eulersche Zahlen 427
725 Abschätzung des Reihenrestes 428
7251 Abschätzung mittels Majorante 428
7252 Alternierende konvergente Reihen 429
7253 Spezielle Reihen 429
7 3 Funktionenreihen 429
731 Definitionen 429
732 Gleichmäßige Konvergenz 429
7321 Definition, Satz von Weierstrass 429
7322 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen 430
733 Potenzreihen 431
7331 Definition, Konvergenz 431
7332 Rechnen mit Potenzreihen 431
7333 Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe 433
734 Näherungsformeln 434
735 Asymptotische Potenzreihen 434
7351 Asymptotische Gleichheit 434
7352 Asymptotische Potenzreihen 434
7 4 Fourier-Reihen 436
741 Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe 436
7411 Grundbegriffe 436
7412 Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen 437
742 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen 438
7421 Symmetrien verschiedener Art 438
7422 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe 439
743 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden 440
744 Fourier-Reihe und Fourier-Integral 440
745 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen 441
Inhaltsverzeichnis XVII
8 Integralrechnung 443
8 1 Unbestimmtes Integral 443
811 Stammfunktion oder Integral 443
8111 Unbestimmte Integrale 444
8112 Integrale elementarer Funktionen 444
812 Integrationsregeln 444
813 Integration rationaler Funktionen 447
8131 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) 447
8132 Integrale gebrochenrationaler Funktionen 448
8133 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung 448
814 Integration irrationaler Funktionen 450
8141 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen 450
8142 Integration binomischer Integranden 451
8143 Elliptische Integrale 452
815 Integration trigonometrischer Funktionen 453
8151 Substitution 453
8152 Vereinfachte Methoden 454
816 Integration weiterer transzendenter Funktionen 455
8161 Integrale mit Exponentialfunktionen 455
8162 Integrale mit Hyperbelfunktionen 455
8163 Anwendung der partiellen Integration 455
8164 Integrale transzendenter Funktionen 456
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