Verfügbarkeit: Extremal combinatorics

Extremal combinatorics: with applications in computer science

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Jukna, Stasys (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	English
Veröffentlicht:	Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Hong Kong ; London Springer 2001
Schriftenreihe:	Texts in theoretical computer science
Schlagworte:	Analyse combinatoire Problèmes extrémaux (Mathématiques) Combinatorial analysis Extremal problems (Mathematics) Kombinatorik Extremalproblem Extrembedingung
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	XVII, 375 S.
ISBN:	3540663134

Internformat

MARC


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adam_text	CONTENTS PREFACE ....................................................... VII PROLOG: WHAT THIS BOOK IS ABOUT ............................. 1 NOTATION ...................................................... 5 PART I. THE CLASSICS 1. COUNTING ................................................. 11 1.1 THE BINOMIAL THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 SELECTION WITH REPETITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 PARTITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 DOUBLE COUNTING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 THE AVERAGING PRINCIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. ADVANCED COUNTING ....................................... 23 2.1 BOUNDS ON INTERSECTION SIZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 ZARANKIEWICZS PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 DENSITY OF 0-1 MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. THE PRINCIPLE OF INCLUSION AND EXCLUSION ................. 32 3.1 THE PRINCIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 THE NUMBER OF DERANGEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4. THE PIGEONHOLE PRINCIPLE ................................. 37 4.1 SOME QUICKIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 THE ERD OSSZEKERES THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 MANTELS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 TUR´ ANS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5 DIRICHLETS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6 SWELL-COLORED GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 XII CONTENTS 4.7 THE WEIGHT SHIFTING ARGUMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.8 PIGEONHOLE AND RESOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.8.1 RESOLUTION REFUTATION PROOFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.8.2 HAKENS LOWER BOUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5. SYSTEMS OF DISTINCT REPRESENTATIVES ..................... 55 5.1 THE MARRIAGE THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 TWO APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.1 LATIN RECTANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.2 DECOMPOSITION OF DOUBLY STOCHASTIC MATRICES . . . . . . . . . 58 5.3 MINMAX THEOREMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 MATCHINGS IN BIPARTITE GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6. COLORINGS ................................................. 65 6.1 PROPERTY B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 THE AVERAGING ARGUMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2.1 ALMOST GOOD COLORINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2.2 THE NUMBER OF MIXED TRIANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 COLORING THE CUBE: THE ALGORITHMIC ASPECT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 PART II. EXTREMAL SET THEORY 7. SUNFLOWERS ................................................ 77 7.1 THE SUNFLOWER LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2.1 RELAXED CORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2.2 RELAXED DISJOINTNESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.3 APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.3.1 THE NUMBER OF MINTERMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.3.2 SMALL DEPTH FORMULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8. INTERSECTING FAMILIES ...................................... 87 8.1 THE ERD* OSKORADO THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2 FINITE ULTRAFILTERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3 MAXIMAL INTERSECTING FAMILIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.4 A HELLY-TYPE RESULT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.5 I NTERSECTING SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 CONTENTS XIII 9. CHAINS AND ANTICHAINS .................................... 95 9.1 DECOMPOSITION OF POSETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.1.1 SYMMETRIC CHAINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.1.2 APPLICATION: THE MEMORY ALLOCATION PROBLEM . . . . . . . . . 98 9.2 ANTICHAINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.2.1 SPERNERS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.2.2 BOLLOB´ ASS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.3 STRONG SYSTEMS OF DISTINCT REPRESENTATIVES. . . . . . . . . . . . 103 9.2.4 UNION-FREE FAMILIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10. BLOCKING SETS AND THE DUALITY ............................ 107 10.1 DUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2 THE BLOCKING NUMBER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.3 GENERALIZED HELLY THEOREMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10.4 DECISION TREES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.4.1 DEPTH VERSUS CERTIFICATE COMPLEXITY . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.4.2 BLOCK SENSITIVITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.5 THE SWITCHING LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.6 MONOTONE CIRCUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.6.1 THE LOWER BOUNDS CRITERION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.6.2 EXPLICIT LOWER BOUNDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11. DENSITY AND UNIVERSALITY ................................. 131 11.1 DENSE SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.2 HEREDITARY SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.3 UNIVERSAL SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 11.3.1 ISOLATED NEIGHBOR CONDITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 11.3.2 PALEY GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.4 FULL GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 12. WITNESS SETS AND ISOLATION ................................ 141 12.1 BONDYS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 12.2 AVERAGE WITNESSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 12.3 THE ISOLATION LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.4 ISOLATION IN POLITICS: THE DICTATOR PARADOX . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 13. DESIGNS ................................................... 151 13.1 REGULARITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 13.2 FINITE LINEAR SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.3 DIFFERENCE SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 13.4 PROJECTIVE PLANES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 XIV CONTENTS 13.4.1 THE CONSTRUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 13.4.2 BRUENS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.5 RESOLVABLE DESIGNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.5.1 AFFINE PLANES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.5.2 BLOCKING SETS IN AFFINE PLANES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 PART III. THE LINEAR ALGEBRA METHOD 14. THE BASIC METHOD ........................................ 167 14.1 THE LINEAR ALGEBRA BACKGROUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 14.2 SPACES OF INCIDENCE VECTORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 14.2.1 FISHERS INEQUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 14.2.2 INCLUSION MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 14.2.3 DISJOINTNESS MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 14.3 SPACES OF POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 14.3.1 TWO-DISTANCE SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14.3.2 SETS WITH FEW INTERSECTION SIZES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 14.3.3 CONSTRUCTIVE RAMSEY GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.3.4 BOLLOB´ AS THEOREM ANOTHER PROOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 14.4 COMBINATORICS OF LINEAR SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 14.4.1 UNIVERSAL SETS FROM LINEAR CODES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 14.4.2 SHORT LINEAR COMBINATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 14.5 THE FLIPPING CARDS GAME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 15. ORTHOGONALITY AND RANK ARGUMENTS ...................... 189 15.1 ORTHOGONALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.1.1 ORTHOGONAL CODING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.1.2 A BRIBERY PARTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.1.3 HADAMARD MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 15.2 RANK ARGUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.2.1 BALANCED FAMILIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.2.2 LOWER BOUNDS FOR BOOLEAN FORMULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 16. SPAN PROGRAMS ........................................... 203 16.1 THE MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 16.2 SPAN PROGRAMS AND SWITCHING NETWORKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 16.3 MONOTONE SPAN PROGRAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 16.3.1 THRESHOLD FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 16.3.2 NON-BIPARTITE GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 16.3.3 ODD FACTORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 16.3.4 A LOWER BOUND FOR THRESHOLD FUNCTIONS. . . . . . . . . . . . . . . 209 CONTENTS XV 16.4 A GENERAL LOWER BOUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 16.5 EXPLICIT SELF-AVOIDING FAMILIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 PART IV. THE PROBABILISTIC METHOD 17. BASIC TOOLS ............................................... 219 17.1 PROBABILISTIC PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 17.2 ELEMENTARY TOOLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 17.3 ADVANCED TOOLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 18. COUNTING SIEVE ........................................... 227 18.1 RAMSEY NUMBERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 18.2 VAN DER WAERDENS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 18.3 TOURNAMENTS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 18.4 PROPERTY B REVISED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 18.5 THE EXISTENCE OF SMALL UNIVERSAL SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 18.6 CROSS-INTERSECTING FAMILIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 19. THE LOV´ ASZ SIEVE ......................................... 235 19.1 THE LOCAL LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 19.2 COUNTING SIEVE FOR ALMOST INDEPENDENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 19.3 APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 19.3.1 COLORINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 19.3.2 HASHING FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 20. LINEARITY OF EXPECTATION .................................. 243 20.1 HAMILTON PATHS IN TOURNAMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 20.2 SUM-FREE SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 20.3 DOMINATING SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 20.4 THE INDEPENDENCE NUMBER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 20.5 LOW DEGREE POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 20.6 MAXIMUM SATISFIABILITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 20.7 HASHING FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 20.8 SUBMODULAR COMPLEXITY MEASURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20.9 DISCREPANCY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 20.9.1 EXAMPLE: MATRIX MULTIPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 XVI CONTENTS 21. THE DELETION METHOD ..................................... 261 21.1 RAMSEY NUMBERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 21.2 INDEPENDENT SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 21.3 COLORING LARGE-GIRTH GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 21.4 POINT SETS WITHOUT OBTUSE TRIANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 21.5 COVERING DESIGNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 21.6 AFFINE CUBES OF INTEGERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 22. THE SECOND MOMENT METHOD ............................. 271 22.1 THE METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 22.2 SEPARATORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 22.3 THRESHOLD FOR CLIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 23. THE ENTROPY FUNCTION .................................... 277 23.1 BASIC PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 23.2 SUBADDITIVITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 23.3 COMBINATORIAL APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 24. RANDOM WALKS ........................................... 284 24.1 SATISFYING ASSIGNMENTS FOR 2-CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 24.2 THE BEST BET FOR SIMPLETONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 24.3 SMALL FORMULAS FOR COMPLICATED FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 24.4 RANDOM WALKS AND SEARCH PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 24.4.1 LONG WORDS OVER A SMALL ALPHABET . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 24.4.2 SHORT WORDS OVER A LARGE ALPHABET . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 25. RANDOMIZED ALGORITHMS .................................. 297 25.1 ZEROES OF MULTIVARIATE POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 25.2 VERIFYING THE EQUALITY OF LONG STRINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 25.3 THE EQUIVALENCE OF BRANCHING PROGRAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 25.4 A MIN-CUT ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 26. DERANDOMIZATION ......................................... 305 26.1 THE METHOD OF CONDITIONAL PROBABILITIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 26.1.1 A GENERAL FRAME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 26.1.2 SPLITTING GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 26.1.3 MAXIMUM SATISFIABILITY: THE ALGORITHMIC ASPECT . . . . . . . 308 26.2 THE METHOD OF SMALL SAMPLE SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 26.3 SUM-FREE SETS: THE ALGORITHMIC ASPECT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 CONTENTS XVII PART V. FRAGMENTS OF RAMSEY THEORY 27. RAMSEYS THEOREM ....................................... 319 27.1 COLORINGS AND RAMSEY NUMBERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 27.2 RAMSEYS THEOREM FOR GRAPHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 27.3 RAMSEYS THEOREM FOR SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 27.4 SCHURS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 27.5 GEOMETRIC APPLICATION: CONVEX POLYGONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 28. RAMSEYAN THEOREMS FOR NUMBERS ........................ 327 28.1 SUM-FREE SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 28.2 ZERO-SUM SETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 28.3 SZEMER´ EDIS CUBE LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 29. THE HALESJEWETT THEOREM ............................... 335 29.1 THE THEOREM AND ITS CONSEQUENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 29.1.1 VAN DER WAERDENS THEOREM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 29.1.2 GALLAIWITTS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 29.2 SHELAH*S PROOF OF HJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 29.3 APPLICATION: MULTI-PARTY GAMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 29.3.1 FEW PLAYERS: THE HYPERPLANE PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . 342 29.3.2 MANY PLAYERS: THE MATRIX PRODUCT PROBLEM . . . . . . . . . . 346 EXERCISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 EPILOG: WHAT NEXT ........................................... 349 REFERENCES .................................................... 351 NAME INDEX .................................................. 365 SUBJECT INDEX ................................................ 369
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