Histoire comparée des numérations écrites:
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| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Paris
Flammarion
1975
|
| Schriftenreihe: | Nouvelle bibliothèque scientifique
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 851 S. |
| ISBN: | 2082111040 |
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CHAPITRE PREMIER
PROLÉGOMÈNES
Plan de cette introduction 19
Numérations figurées, parlées, écrites 19
Les traductions permettant de passer d une sorte de numération à
une autre appliquent le principe de correspondance 20
Grandes variétés de numérations figurées 20
Image d un troupeau sous la forme de boulettes d argile.
Utilisation du corps humain qui conserve l ordre dans lequel les
nombres devront être présentés.
Le geste doit accompagner la parole 22
Importance de la main 23
Sur le corps humain le nombre 5 est répété quatre fois.
La forme de la main lui permet de repérer aisément un nombre ordinal.
Pouvant être considérée à la fois comme un tout et comme la juxtapo¬
sition des doigts, l idée de base devient intuitive.
Les numérations écrites historiquement attestées donnent valeur privilégiée
à 10 ou à certains de ses multiples
La base 10 est de moins bonne qualité que la base 12, mais elle est
supérieure à 5 qui eût été trop petit et aussi supérieure à 20 et à 60
trop grands pour la mémoire humaine.
798 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Le système binaire a supplanté la base 10 dans les modernes machines
à calculer
Ayant fait choix d une base il était simple de considérer son carré
comme une nouvelle unité; mais ceci n avait rien d obligatoire, la
numération sumérienne et la numération maya des codices en font
foi 26
Du carré de la base on passe au cube de la base 27
L introduction de symboles originaux pour représenter la base et ses
puissances donne au dénombrement un caractère scientifique.
La numération figurée a été un pont entre la numération parlée et la
numération écrite, ce qui explique le rôle primordial joué par la
table à compter, relayée ultérieurement par le boulier 29
Difficultés de la numération parlée 31
Nommer la base et donner ensuite des noms originaux à ses pre¬
mières puissances.
Du danger des bases auxiliaires : mille, myriade 31
Inventer une grammaire qui permette d énoncer le nombre en toute
sécurité.
Il y a équivalence entre l expression d une numération parlée bien
organisée et l expression d un polynôme dont la variable est la base
de la numération 34
Classification hiérarchisée des numérations écrites 35
Dans l expression de chaque monôme deux informations sont en
général présentes : la puissance de la base et son coefficient.
Type I dit d addition 37
La simple juxtaposition des symboles implique que leurs valeurs numé¬
riques doivent être additionnées.
Type Ia , Symboles limités à l unité, à la base et à ses premières puis¬
sances.
Type Ia , Introduction d un diviseur privilégié de la base et de ses
puissances.
Type Ib Apparition de deux bases alternées.
Type le Symboles originaux pour tous les nombres inférieurs à la base.
Symboles originaux pour tous les nœuds successifs.
Importance de l alphabet ou du syllabaire.
Type IIdit hybride 38
Coefficients et puissances de la base jouent des rôles également impor¬
tants.
Transcription intégrale de la numération parlée.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 799
Type III dit écrit de position 38
Ssuls les coefficients subsistent mais ils doivent être enchaînés dans un
ordre strict.
Si un nœud vient à manquer des difficultés apparaissent.
Zéro médial, zéro opérateur.
Importance des ébauches du zéro opérateur.
Quatre numérations de position seulement sont historiquement attes¬
tées 39
Table a compter. Boulier 41
Sur la table, mention est faite de la position de l unité de la base et de
ses puissances qui doivent former un ensemble totalement ordonné.
Sur le boulier toute mention écrite ou gravée a disparu.
L instrument le plus important est la table à compter; le boulier est
un instrument tardif destiné aux opérations effectuées en numé¬
ration écrite de position.
Tout nombre écrit dans le type hybride devient écrit de position sur la
table à compter 43
Les opérations nobles sont nées sur la table à compter 44
Sur le boulier les nombres sont présentés dans une numération de
Type Mb, mais de caractère primitif puisque les unités sont égre¬
nées alors qu elles ne l étaient pas dans la numération de type clas¬
sique IIIb 46
Présentation du code 46
Le code est simple parce qu une loi d économie a présidé à l écriture
des nombres.
Pour la numération écrite il se limite à sept symboles :
j : symbole original 47
y : symboles juxtaposés valeurs additionnées 48
j, : symboles juxtaposés valeurs multipliées.
/ : symboles ligaturés valeurs additionnées 49
/. : symboles ligaturés valeurs multipliées.
a : signe dépourvu de valeur numérique, mais qui, juxtaposé à
un symbole numérique, multiplie conventionnellement sa
valeur par une puissance déterminée de la base.
S : zéro opérateur uniquement pour les numérations de type III.. 50
Pour la numération parlée l apparition d une base auxiliaire, puis¬
sance de la base doit être notée par un nouveau symbole : s 51
L écriture des nombres se présente généralement linéairement 53
Classification et Code se prêtent mutuellement appui.
Fin du chapitre 54
53
800 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
CHAPITRE H
EGYPTE AZTÈQUES
Egypte
Numération hiéroglyphique (type Ia ) 55
C est un dénombrement dans la base 10 56
On renonce en écrivant au caractère évolué de la numération parlée.
Écriture se limitant aux nombres inférieurs à 107 ; elle n exige que
sept symboles originaux mais leur répétition rend cette numération
lourde à manier.
Étude des sept chiffres 58
Présentation des divers nœuds : une décomposition dyadique apparaît
progressivement.
Disposition matérielle du nombre : les divers nœuds sont disposés linéai¬
rement 63
Le sens de lecture est indiqué à un lecteur averti.
Étude des plus anciens textes numériques 64
Documents trouvés à Hiérakonpolis et à Saqqara.
L irrégularité créatrice 70
Cette numération, de type Ia , très pur, a évolué grâce à une remar¬
quable irrégularité due au fait que le signe pour un million est tombé
en désuétude : une écriture abrégée s est introduite pour un nombre
qui aurait dû grouper cent un têtards.
Cette irrégularité est restée d un usage limité, avec elle l écriture hié¬
roglyphique accède au type hybride partiel 73
Numération hiératique 75
Influence remarquable de l emploi d une cursive qui lie les caractères
identiques au point de rendre méconnaissable le groupement initial.
Passage du type Ia , au type le .
Présentation des divers nœuds.
Techniquedu calcul en Egypte 78
Importance de la conception égyptienne relative à l écriture des frac¬
tions.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 801
Thot, le dieu qui sait compter 78
Mythe destiné à expliquer comment le calendrier lunaire s est adapté
au déplacement apparent du soleil sur la sphère céleste, au cours
d une année.
Apparition de 5 jours supplémentaires, représentant 1/72 de l année
ancienne.
Ces jours ont été extorqués par Thot à la lune afin que la déesse Nout
puisse mettre au monde ses enfants.
Mythe relatant la lutte entre Sethet Horus 81
Seth ayant réussi à s emparer d un des yeux d Horus le réduit en six
morceaux. Thot réussit à reconstituer l œil mutilé.
Chaque partie de l oeil a reçu valeur numérique sous la forme de puis-
- • a -, 1 ! 1 1 ] l
sances négatives de 2 : x 7 g 7g 32 64
Mythe très complexe 82
Le dessin des diverses parties de l œil d Horus sert à présenter les
divisions dyadiques des mesures de capacités lorsqu elles concernent
les céréales ou le minerai.
L œil droit ou l œil gauche peuvent être utilisés suivant le sens de
lecture du texte °3
Le Papyrus de Rhind
Rédigé par le scribe Ahmes.
Édition critique de T. Eric Peet (1923).
Planche extraite du Leather scroll pour initiation à l écriture numé¬
rique hiératique et à l usage des fractions en Egypte 86
87
Les quatre opérations, les fractions
Multiplication de deux nombres entiers obtenus par duplications
successives
Multiplication d un nombre entier par 10, par 100 91
Division de deux nombres entiers lorsque le quotient est entier 91
Division de deux nombres entiers lorsque le quotient est fraction- ^
naire
Usage obligatoire de fractions de numérateur 1 (fractions égyptiennes),
= cependant a reçu un symbole original.
Exemples commentés : 19 : 8 16 : 3 4:15
94
Résolution moderne du 3e exemple
802 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Le scribe introduit de manière partiellement arbitraire une première
fraction égyptienne de dénominateur d, inférieur à 15, et choisie
de telle manière qu elle permette de reconstituer 4/15 en lui ajou¬
tant une autre fraction égyptienne 95
Nouveaux exemples : 6 : 10 7:10 8 : 10 9 : 10 96
Relations fondamentales concernant les fractions égyptiennes .... 98
2 3 ^ 6
1 1 1 ,_ ,. . 1 1 1 1
1 = 2 + 3 + 6 generallsatlon n = Yn + Yn + Tn
2 11 ,,..211
3 = 2 + 6 generahsatlon3fc=ât + 6F
Intérêt de l introduction des fractions égyptiennes en particulier pour
l écriture cursive 99
Note 1
Table 2 : n
n entier impair inférieur ou égal à 101 100
Écarter provisoirement 3 et ses multiples impairs.
Méthode générale utilisée pour le seul nombre 101 101
Cette méthode n est qu un pis aller.
32 valeurs de n.
Le choix du nombre arbitraire d peut être simplifié si n n est pas
premier (9 valeurs de n ) 104
II EST PREMIER (23 VALEURS DE M ) 104
d appartient à des suites néodyadiques aisées à former 106
Id—ni n
Former -r.— Icomplément de -.)
Qualités que doit remplir 2 d — /; 107
Exemple n = 71 d = 40 108
Exercice d entraînement figurant dans le Papyrus de Rhind •
2 1
Compléter x + r^àl 110
Discussion permettant d orienter le choix de d.
Étude systématique des valeurs de d pour n =23 111
Le problème résolu artisanalement par les scribes égyptiens est lié au
problème suivant : Peut-on former à partir des parties aliquotes de
d une somme égale h d t.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 803
Aucune partie aliquote de d ne peut figurer plus d une fois dans la
somme considérée 115
Définitions des nombres parfaits, déficients, abondants. Exemples :
Tous les multiples de 6 sont abondants 116
Décomposition en fractions égyptiennes de toutes les fractions irré¬
ductibles de dénominateur 15, inférieures à 1 117
De tels exercices ont été présentés à la période byzantine mais il s agit
d une technique dégénérée le choix de d étant mauvais 118
Le choix de d , par les scribes de bonne époque s éclaire par les
considérations précédentes : tous les nombres déficients ont été
systématiquement écartés 119
Les problèmes que posait l utilisation des fractions égyptiennes a
peut-être orienté les Grecs vers l étude des nombres parfaits, défi¬
cients ou abondants, problèmes d une extrême difficulté qui conti¬
nuent de n être que partiellement résolus 120
n n est pas premier mais il est premier à 3
(9 valeurs) 120
Le choix de d est facilité.
Le choix du scribe est remarquable pour n = 35 et pour n = 91,
il est de moins bonne qualité pour // =95 124
Discussion théorique pour ces 9 valeurs de n 125
« EST MULTIPLE DE 3 (16 VALEURS) 129
Le scribe applique une méthode unique inspirée d une formule géné¬
rale qui n est pas la meilleure pour 6 de ces valeurs 130
Résumé complet de la discussion : tableau 10 132
Importance historique des fractions égyptiennes 133
La lourdeur du système égyptien, son caractère artisanal, expliquent
que le système sexagésimal des fractions lui ait été préféré 134
Note 2
Compléments théoriques 135
Résumé concernant l étude des entiers N tels qu à partir de leurs
seuls diviseurs on puisse former tous les entiers inférieurs ou égaux
à N 136
804 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Aztèques
Généralités sur les numérations aztèque et maya 138
Seuls documents originaux : les codices 140
Numération de base 20, type /a 142
Quatre nœuds seulement sont présentés.
Cette numération apparaît sur le Calendrier et sous la forme de
dénombrements.
Calendrier des Précolombiens 144
Année religieuse 145
Durée 260 jours, résultant de la considération simultanée des 20 jours
sacrés placés dans un ordre immuable et des 13 premiers nombres
entiers.
Tezcatlipoca 149
Dieu des vingt jours : chacun d entre eux figure sur son manteau sous
la forme d un hiéroglyphe, (planche 8 + commentaire).
Seuls les 13 premiers nombres entiers sont présentés numériquement
sur le calendrier 152
Le groupement de leurs unités est très varié.
Année solaire 157
Durée 365 jours.
Il y a eu confrontation entre année solaire et année religieuse : le pre¬
mier jour de chaque année solaire est signalé par la présentation du
jour de l année religieuse qui lui est associé (year-bearer). Ce jour,
porteur de l année, suffira à caractériser l année solaire dans les
chronologies.
Calendar Round 160
Cycle de 52 années solaires présentées sous la forme de 52 year-bearers
différents.
Textes provenant du Codex Mendoza 164
Le Codex a été peint en 1549, la première édition critique n est que de
1938.
Première partie 165
Chronologie des Seigneurs de Mexico.
Durée du règne (mythique) de Tenuch : 51 year-bearers (planche 11
+ commentaire).
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 805
Seconde partie 165
Dénombrement concernant les tributs que les villes aztèques étaient
tenues de fournir à Montecuçuma.
Les quatre nœuds apparaissent; malgré de trompeuses apparences
ils sont présentés isolément.
Discussion de cette question controversée 169
Textes provenant du Codex Telleriano Remensis 178
Dans la partie historique du récit, des nombres considérables appa¬
raissent sous la forme de dénombrements de prisonniers. Ces nom¬
bres groupent généralement les deux nœuds supérieurs.
S il a existé un usage dynamique de cette numération, il nous est
inconnu 180
Fin du chapitre 180
chapitre m
GRÈCE I ROME
Grèce I
Généralités sur les numérations écrites grecques 181
La primitive numération, qualifiée autrefois d hérodienne, est de type
Lv et de base 10.
Système acrophonique attique 182
Les signes numériques en usage pour cette écriture sont les plus an¬
ciens sigles de Pépigraphie grecque.
Étude des dix chiffres de cette numération 183
Le caractère privilégié reconnu à 5, diviseur de 10, entraîne l appari¬
tion de signes pour noter : 5, 50, 500, 5000, 50000; lesquels
s ajoutent aux signes pour : 1, 10, 100, 1000, 10000.
Travaux de M. N. Tod 184
Notation des monnaies 186
Irrégularité due à l introduction du talent qui valait 6 000 drachmes.
Autre irrégularité : le talent se divisait dyadiquement.
188
Treize symboles sont utilisés
806 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Abaque de salamine 188
Magnifique document qui était une table à compter pour les monnaies :
elle fait état des treize symboles.
Légère transformation des symboles initiaux lorsque le talent est pris
comme unité 191
Autres systèmes acrophoniques grecs 195
En Béotie, apparition de symboles aberrants destinés à noter 30 et
300.
Rome
GÉNÉRALITÉS 199
Importance dans le temps et dans l espace de cette numération qui
n a dû son succès qu à la longue hégémonie de Rome.
Son usage moderne n est qu une survivance.
Numération sœur de la numération grecque acrophonique 202
Elle est de type 1a , de base 10, avec valeur privilégiée attribuée au
nombre 5
Les sept chiffres du système symbolisent : 1, 5, 10, 50, 100,
500, 1000 203
L origine du dessin de ces chiffres est controversée.
Numération parlée latine pour les puissances de 10 205
Elle permet l accession à l énoncé de grands nombres par l intermé¬
diaire de paliers pour mille et pour cent mille; il n existait pas de
mot pour le million.
Très subtile numération parlée pour les monnaies 207
Les abaques à main 209
Documents rares et aussi précieux que l Abaque de Salamine.
L instrument est un boulier de même type que le boulier chinois, le
nombre cinq malgré sa valeur privilégiée, a été heureusement incor¬
poré dans l ensemble des boules qui valent une unité de même va¬
leur.
Ce boulier servait aux calculs concernant les monnaies.
Étude sur ces bouliers des chiffres anciens unifiant la notation des
puissances de 10 supérieures à 102 211
Notation tenant beaucoup de place, mais originale et bien conçue
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 807
Accession a l écriture de grands nombres 213
Elle fait état de deux symboles marquant la multiplication d un nom¬
bre par mille ou par cent mille.
Efforts tentés pour créer une numération écrite de position à deux bases
auxiliaires 216
Rares exemples, remarquablement choisis par leurs auteurs, car cette
numération abrégée pouvait être ambiguë.
Notation difficile des nœuds isolés 220
Discussion par J. Carcopino, de l un de ces cas litigieux.
Le caractère géométrique des chiffres latins et aussi des signes symbo¬
lisant la multiplication d un nombre par mille ou par cent mille
favorisait les erreurs des copistes.
Essais à basse époque de la simplification de récriture des nombres.. 224
La numération latine s efforce vainement de survivre face à la numé¬
ration qui la supplantera.
Fin du chapitre 227
CHAPITRE IV
LES NUMÉRATIONS ALPHABÉTIQUES
Hébreux, Grèce II et III, Ethiopie, Arabe I
Numérations de type le qui utilisent les lettres de l alphabet comme sym¬
boles numériques 229
L alphabet phénicien, composé de 22 consonnes est à l origine de tous
les autres alphabets 230
Ses lettres se présentaient dans un ordre immuable ce qui le qualifiait
pour être instrument de numération
Alphabet hébraïque 22 consonnes
Alphabet grec 24 consonnes et voyelles
Alphabet arabe 28 consonnes 232
Les trois numérations correspondantes sont de base 10; elles symbo¬
lisent aisément les nœuds des unités et des dizaines; la présentation
des centaines sera délicate, sauf en arabe 232
808 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Hébreux 234
Six nœuds sont représentés.
L alphabet ne permet de noter que les premières centaines, les der¬
nières ont d abord été caractérisées par des signes composés, puis
par des signes simples habilement tirés de l alphabet.
Un artifice d écriture permet de noter les trois derniers nœuds... 236
La simplicité de cet artifice a même permis à l écriture de certains
nombres de devenir partiellement de position.
L écriture du nombre 15 est irrégulière par suite d un tabou religieux. 237
Grèce II 239
Importance de cette numération dans le temps et dans l espace
Sources : travaux de M. N. Tod pour la numération attique 240
Peu de nombres sur les inscriptions : beaucoup sont écrits en toutes
lettres, les nombres ordinaux sont écrits en acrophonique, pas
d ère d origine, peu de goût pour les dates.
Les 24 lettres de l alphabet ont d abord servi à noter les 24 premiers
nombres entiers 241
Usage limité et éphémère.
Numération classique 242
Quatre nœuds seulement sont représentés.
On commence par noter les nœuds des unités, des dizaines et des cen¬
taines, bien que le système s essouffle pour les dernières centaines
qui sont notées grâce à l introduction de trois lettres archaïques
rejetées par l alphabet classique.
Un trait supplémentaire ajouté aux unités simples permet de noter le
nœud des mille 242
Enfin la myriade reçoit symbole numérique sous la forme d un signe
de caractère acrophonique 245
La valeur numérique d un nombre est indépendante de l ordre des
lettres qui le composent 245
La présentation d un nombre sur la table à compter permet à cette
dernière de faire figure de révélateur en restituant l ordre hiérar¬
chisé des puissances de la base 247
La facile adaptation de la numération grecque à la notation des frac¬
tions sexagésimales lui a assuré une longue survie 249
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 809
Grèce III 250
Notation des grands nombres conçue à partir de la myriade devenue
base auxiliaire 251
Arénaire d Archimède : conception remarquable mais sans usage
pratique 253
Apollonius de Perge crée une numération de type hybride complet
d usage savant 255
Multiplication de deux nombres entiers 258
Lettres de Rhabdas.
Comment calculait Démosthène 262
Les multiplications attestées proviennent d auteurs de basse époque 263
Note 3
Présentation moderne de la multiplication de deux nombres entiers expri¬
més en numération grecque alphabétique
Ethiopie 270
Emprunt tardif à Grèce II.
Remarquable simplification : seuls les nœuds des unités et des dizaines
sont notés, cent devient la base d une numération de type hybride
complet. Les puissances de cent sont notées d une manière assez
naïve 271
Arabe I 273
Six nœuds sont représentés.
L alphabet permet d accéder facilement au nombre mille.
Des signes composés, formés de deux lettres juxtaposées ou ligaturées,
permettent d écrire tous les nœuds suivants jusqu au million.
Première difficulté.
La confrontation de l alphabet arabe avec les valeurs numériques
attribuées aux consonnes montre que les nombres successifs appa- ^
raissent dans le désordre 276
Si l on place les nombres suivant un ensemble totalement ordonne,
on retrouve pour les consonnes associées l ordre de 1 alphabet pne-
nicien 276
810 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
On sait, en effet, qu après avoir adopté l ordre des alphabets conso-
nantiques anciens les grammairiens arabes l ont rejeté pour des
raisons graphiques et phonétiques 279
L ordre initial des nombres ayant été perdu, des mots mnémotech¬
niques ont été inventés pour aider à retenir la succession des nœuds 280
Seconde difficulté.
L usage des points diacritiques est dangereux car il peut favoriser la
confusion pour certains nombres qui ne diffèrent que par eux 281
Troisième difficulté.
L écriture des nombres quelconques est rendue difficile à déchiffrer
parce qu il s agit d une écriture qui doit se plier aux lois inexorables
de la cursive arabe : chaque nombre composé de la juxtaposition
de deux ou de plus de deux lettres doit être considéré comme un
mot.
Or chaque lettre peut recevoir quatre formes distinctes suivant sa
position dans le mot : isolée, initiale, médiale, finale 283
Toutes ces complications confinaient la première écriture arabe des
nombres dans un usage statique. Seule l adoption du système sexa¬
gésimal de position lui a permis de devenir une numération acces¬
sible au calcul puisque pratiquement il suffisait de savoir écrire les
59 premiers nombres entiers 287
Dans ces conditions un répertoire de 59 symboles dont 45 sont com¬
posés de deux lettres juxtaposées suivant les lois de la cursive arabe
permettait d écrire tous les nombres entiers, si grands soient-ils.
Étude d une table sexagésimale qui était encore en usage en Egypte
au début du xixe siècle 288
Justification de l écriture cursive des 60 premiers nombres entiers 289
Usage pratique de cette table 295
Fin du chapitre 296
chapitre v
SUMER ET BABYLONE
Intérêt et importance de la plus ancienne numération écrite de position 297
Résumé de ses qualités essentielles.
Sa longue survie comme numération savante.
Son opposition avec la numération vulgaire accadienne.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 811
Numération figurée par les calculi 299
Étude de l objet ovoïde découvert à Nizu en 1928, il contenait 48 cail¬
loux symbolisant un troupeau comportant 48 têtes de bétail.
La comptabilité des intendants a comporté ultérieurement des calculi
de différentes formes et de différentes tailles.
L image grossière de ces calculi apparaît dans l écriture.
La numération écrite sumérienne réalisée avec le calame circulaire
comportait 6 chiffres pour 1, 10, 60, 600, 3600, 36000... 301
10 figure donc explicitement et devient ensuite opérateur.
6 n est qu opérateur.
La présence de deux bases régulièrement alternées conduit fatalement
à une numération de base 60.
Numération parlée sumérienne (d après Thureau-Dangin) 302
Elle porte témoignage des articulations qui apparaissent dans la nu¬
mération écrite.
Numération écrite {type la).
Sumer 1 306
Disposition dyadique des symboles identiques.
L apparition des premières opérations remonte au 3e millénaire.
Multiplication 308
Étude systématique des 6 produits les plus élémentaires; 2 d entre eux
sont difficiles à effectuer 309
Division 311
Résumé de l étude d une tablette sumérienne remontant à — 2000.
Sumer II 315
Profondes transformations matérielles de l écriture liées à l appari¬
tion d un nouveau calame.
A l origine présentation dyadique des symboles identiques puis pro¬
gressivement primauté donnée au nombre 3 (Textes mathématiques
de Suse) 317
La ressemblance entre les signes pour 60 et pour 1 a dû favoriser
l évolution de cette numération.
De Sumer II à la numération écrite de position 318
Identité d écriture des nombres inférieurs à 60 pour Sumer II et pour
Babylone.
Comparaison de l écriture des nombres compris entre 60 et 602.. 320
Évolution probable du signe pour 600.
812 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Apparition tardive du zéro médial 322
Graphiquement il s agit du signe de séparation.
Le zéro opérateur est absent.
Pourquoi 60? 326
II y a eu croisement des bases 10 et 6; il serait plus légitime de dire
pourquoi 6?.
Historique des théories anciennes (Thureau-Dangin) 326
Documentation récente : textes économiques 327
Monnaie d argent, monnaie d orge; cette dernière est une monnaie
de compte.
Première numération de l orge 330
Articulations successives pour 6, 36, 144.
Seconde numération de l orge 334
Articulations successives pour 10, 60, 300.
Importance donnée à la durée du mois lunaire 337
Nombres caractérisant les grands dieux 338
Deux triades divines 338
Anu (ciel) 60 Enlil (terre) 50 Enki (eaux) 40
Sin (lune) 30 Shamash (soleil) 20 Ishtar (Vénus) 15.
Le nombre attribué à Sin se présente naturellement puisque la durée
moyenne de la lunaison est 30 jours.
On peut en dire autant de l importance attribuée au premier ou au
dernier quartier mais la demi-lunaison peut aussi être artificielle¬
ment divisée en trois parties égales placées sous les signes d Anu,
d Enki et d Enlil.
Découvertes récentes en musique 342
Au temps des Cassites (— 1500) la gamme de sept notes était connue
en Mésopotamie avec apparition de la quinte et de la quarte.
La tablette qui révèle ces faits contient des archaïsmes en langue su¬
mérienne.
Importance de la quinte dans l étude des cordes vibrantes 344
Son introduction exige la division de la corde en trois parties égales,
alors que la division d une corde vibrante en deux parties égales
n apporte harmoniquement rien de nouveau.
Calculs en numération sexagésimale 347
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 813
Tables de multiplication : elles sont nombreuses.
On appelle régulier tout nombre entier ne contenant pas d autres
facteurs premiers que 2, 3, 5 349
Tout nombre régulier est diviseur de 60 ou d une puissance de 60.
Tables des inverses pour un nombre entier n 350
Elles sont particulièrement simples si n est régulier : elles permet¬
tent de diviser un nombre quelconque par n.
Tardivement les Babyloniens ont même utilisé des valeurs sexagési¬
males approchées pour des nombres qui n étaient pas réguliers.
Numération vulgaire accadienne 352
Type hybride partiel, de base 10.
Les chiffres sont 1, 10, 100, 1000.
Les nœuds des dizaines s écrivent de manière archaïque, par simple
répétition du nombre dix.
Fin du chapitre 354
CHAPITRE VI
MAYAS
Introduction 355
La numération écrite maya, sous sa forme la plus évoluée est de même
conception que la numération babylonienne : type Ma , base 20.
Elle n a été qu un instrument mis au service du calendrier.
Aire géographique du pays maya 357
Les monuments se sont en général effondrés sous l influence de la
jungle, qui les a quand même protégés des déprédations humaines
Documents 359
Les gravures des stèles et des monuments.
Trois codices mayas ont survécu à la domination espagnole, le plus
important est le Codex de Dresde.
Récits d origine maya rédigés en espagnol, après la conquête.
Œuvre de Diego de Landa.
814 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Découverte des ruines en 1840 par Stephens et Catherwood 363
Stephens et Catherwood ont exploré les ruines de Copan, Palenque
et Uxmal.
Les travaux de ces deux pionniers ont prouvé, contrairement aux
idées préconçues des historiens contemporains, qu il s agissait
d une civilisation autochtone d une grande originalité.
Année religieuse 365
Même conception que celle des Aztèques.
20 noms de caractère divin, présentés dans un ordre immuable; étude
de certains d entre eux.
Introduction des 13 premiers nombres entiers.
Système de permutation circulaire à deux facteurs 368
Durée de l année religieuse : 260 jours 369
20 est la base de la numération.
13 origine inconnue; il y a 13 grands dieux du ciel.
Tableau des 260 jours de l année religieuse 372
Chaque jour est caractérisé par un nom et par un nombre.
L usage du tableau précédent met en évidence le lien mathématique
simple qui unit 20 et 13 : 20 x 2 — 13 x 3 = 1.
Année vaque 375
Durée : 365 jours. C est une année solaire.
18 mois de 20 jours + 5 jours (Uayeb).
Succession des mois empruntés au livre de Chilam Balam de Chuma-
yel 376
Étude de quelques mois et de Uayeb.
Tableau des 365 jours de l année vague 379
Calendar Round (C. R.) 380
Considération simultanée d un jour de l année religieuse (aX) et du
jour correspondant de l année vague (jî Y).
Si l on part du jour a X (3 Y, on le retrouve après un cycle de 52 an¬
nées religieuses ou de 73 années vagues.
Pour définir un C. R. le choix d un jour d origine était indispensable :
4 Ahau 8 Cumhu.
Year-bearers (porteurs de l année) 383
La découverte des year-bearers a engendré pour les Mayas celle du
C. R..
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 815
Si l année vague avait compté 360 jours, son premier jour eût été as¬
socié à un seul des vingt jours sacrés de l année religieuse, Caban
pour l origine 4 Ahau 8 Cumhu.
Comme l année vague compte 365 jours et que 5 est un diviseur de 20,
4 jours sacrés seulement de l année religieuse sont associés au pre¬
mier jour de l année vague : ce sont les year-bearers.
Caban, Ik, Manik, Eb 385
Comme 365 est un multiple de 13, augmenté de 1, le nombre associé
à chaque year-bearer augmente d une unité chaque année. On peut
donc aisément présenter la succession des 4x13 jours de l année
religieuse qui définissent le C. R..
Tableau des year-bearers que les Mayas ont pu dresser, par voie em¬
pirique 388
Ce tableau peut être utilisé pour le 1er jour d un mois quelconque de
l année vague, ce qui permet de vérifier l appartenance au C. R.
d un jour donné a X (3 Y.
Présentation moderne du tableau précédent 393
Numérations 393
Toutes les dates utilisées dans le Calendrier sont exprimées en jours
et comptées à partir de l origine; elles sont aussi situées dans le
C. R..
L origine étant située très loin dans le passé ceci implique la possibi¬
lité de savoir écrire de grands nombres.
Numération parlée maya 394
Remarquablement cohérente.
Pour les 19 premiers nombres entiers, 10 est un relais.
Dans l énoncé des nombres de 41 à 60, intervention inattendue de la
troisième vingtaine, il s agit probablement d un archaïsme.
Usage des classeurs numériques 401
Numération écrite 402
L écriture des 19 premiers nombres entiers est de type Ia , 5 jouant
le rôle de diviseur privilégié de la base.
Adaptation de la numération écrite au calendrier 404
Introduction d une irrégularité qui joue le rôle d année de compte :
360 se substitue à 400. Cette irrégularité a été funeste à la logistique.
Présentation de grands nombres sur les stèles 405
Cinq glyphes sont en général utilisés.
54
816 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Cette numération pouvait se passer du zéro, l absence de certains
nœuds est cependant signalée afin de conserver une ordonnance
immuable à la présentation des glyphes.
La numération des stèles est de type hybride complet mais contient une
irrégularité 408
La numération qui apparaît dans le Codex de Dresde est de position et de
type IIW 409
Cette transformation était due sans doute au souci d abréger l écri¬
ture des nombres.
La mention du zéro est toute naturelle.
L irrégularité empêche le zéro terminal d être opérateur.
Apparition de nouveaux symboles pour écrire les nombres inférieurs à la
base 412
II est attesté que l effigie de dieux puisse se substituer à l écriture sté-
nographique des dix-neuf premiers nombres entiers.
Transposition aisée pour les 13 premiers nombres entiers qui sont
associés aux 13 dieux du jour. Pour les nombres suivants, interven¬
tion de Cimi, consacré au dieu 10, et représenté par une tête de
mort.
La seule apparition du squelette du maxillaire inférieur associé aux
dieux 3, 4, 5... 9 suffit à leur permettre de caractériser les nombres
13, 14, 15... 19.
Usage rare, limité aux stèles. Il ne s agit pas d une évolution vers une
numération de type Mb.
La numération écrite de position des Mayas est d une grande qualité ... 415
Le zéro médial et le zéro terminal sont d un usage courant, ce dernier
n est pas un zéro opérateur.
L irrégularité introduite pour le Calendrier a interdit aux Mayas
d inventer une technique pour les opérations nobles.
Les Séries Initiales 416
Les stèles étaient en général érigées aux fins de Katuns ou de demi-
Katuns.
Elles contiennent en particulier le nombre de jours écoulés depuis
l origine des temps, la date dans le C. R. mais le numéro du C. R.
n est jamais précisé. On reçoit donc deux informations distinctes
qui doivent être concordantes (Compte long).
Leyden Plate 419
Elle présente, sous la forme d une Série Initiale, la plus ancienne date
attestée de l épigraphie maya.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 817
Ce document a été authentifié par la figure dessinée sur sa face anté¬
rieure.
Origine des temps : le jour 4 Ahau 8 Cumhu 421
Le choix de ce jour est deux fois maladroit. Il doit être très ancien et
de caractère religieux. Sans doute sommes-nous en présence d une
invocation au Soleil et au Maïs.
Difficultés de la Chronologie maya 422
L usage du Compte long aura été rapidement abandonné au profit
de l information mutilée présentée dans le Compte court. Ce der¬
nier, contemporain de la conquête espagnole, interdisait qu on
puisse établir une concordance entre la chronologie maya et notre
calendrier.
Arithmétique maya 426
Pas de documents d usage profane, aucune preuve d une numération
écrite sans irrégularité.
Les textes arithmétiques se réduisent au bon usage des Séries Initiales
Importance des travaux de J. E. Thompson.
Résolution de deux problèmes fondamentaux qui sont des exercices
de conversion permettant de passer de la numération vigésimale à
la numération du C. R..
Numération vigésimale Numération du C. R 427
(unité le jour) C. R.
0 4 Ahau 8 Cumhu
n aX[3Y
ri a X P Y
Substituer au jour origine une nouvelle origine qui élimine les défauts
de l ancienne et qui soit proche de son époque d utilisation.
J. E. Thompson fait choix de :
9. 10. 10. 0. 0 13 Ahau 18 Kankin
qui se substituent à n et à ocXfiY • 427
1er problème : ri est donné, oc X p Y est inconnu.
2e problème : oc X (3 Y est donné, ri est inconnu à un nombre
entier de C. R. près.
Il est exclu qu on effectue des divisions, les remplacer par des sous¬
tractions portant sur des multiples de nombres soigneusement
choisis.
Introduire 364 comme année de compte : ce nombre est très proche
de l année vague, il est multiple de 13 et même de 52 428
364 x 5 est le p.p.c.m. de 260 et de 364.
818 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Ajouter 364 x 5 jours à aX|3Y , otX est inaltéré, (îY diminue
de 5 jours.
Ajouter 364 x 20 jours à aXpY , aX est inaltéré, (3Y diminue
de 20 jours, donc en général d un mois.
Tableau 33, inventé par les Mayas, permettant d ajouter aisément 364
et ses premiers multiples à un jour aX de l année religieuse,
a est toujours inaltéré; X ne l est que pour 364 X 5 et ses multi¬
ples. Le tableau introduit même 91, diviseur privilégié de 364 432
Problème I : former « — n (tableau 36).
Retrancher de ce nombre le plus grand multiple de 364 x 20.
Retrancher du reste le plus grand multiple de 364 en utilisant le ta¬
bleau 33.
Du nouveau reste retrancher le plus grand multiple de 91.
Le problème I est résolu à l aide de trois soustractions qui sont trois
divisions déguisées 436
Problème II (tableau 38).
Priorité continue d être donnée à l année religieuse.
On doit passer de 13 Ahau 18 Kankin à a X p Y .
En deux étapes on passe de 13 Ahau à a X en modifiant correctement
18 Kankin. Ensuite on ne pourra plus ajouter que des multiples de
364 x 5; en particulier, vis-à-vis de l année vague, 364 x 20 et ses
multiples ont valeur privilégiée.
Solution moderne de ces deux problèmes 438
Priorité est donnée à l année vague.
On introduit le jour O pour deux mois de l année vague choisis sim¬
plement à partir des données, ce qui permet d utiliser le tableau
perfectionné concernant les year-bearers (voir les tableaux 37 et 39).
Note 4
Résolution en nombres entiers de l équation a x — b y = c 445
Données: a , b , c entiers, premiers entre eux dans leur ensemble.
Inconnues : x et y obligatoirement entiers.
Condition de possibilité : a et b doivent être premiers en eux.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 819
S il en est ainsi il existe une infinité de solutions qui se déduisent
toutes de l une d entre elles, souvent apparente dans les cas simples 446
1er ex : 20 x — l y = 1.
Sol. : x = 2, y = 3 puisque 20x2— 13x3 = 1
(utilisée par les Mayas).
2e ex : 73 x — 52 y = 1.
Sol. : x = 5, y = 7 puisque 73 X 5 — 52 x 7 = 1
365 — 364 = 1
(utilisée par les Mayas).
Méthode générale pour trouver une solution de l équation proposée... 447
a
Résoudre l équation auxiliaire : ax — by = 1 en présentant -r sous
forme de fraction continue.
Note 5
La rév ution synodique de Vénus dans le Codex de Dresde 449
Anal) v,: de la page 24 du Codex de Dresde 449
20 nombres sont consignés ainsi que 2 Séries Initiales.
12 nombres sont en progression arithmétique.
1er terme et raison : 2920.
4 nombres sont en progression arithmétique.
1er terme et raison : 2920 x 13.
4 nombres, multiples de 260, sont groupés mais sans lien apparent
entre eux. 2920 = 8 X 365 = 5 x 584 450
584 est la durée moyenne entière de la révolution synodique de Vénus
(V. R.).
Les 20 nombres figurant p. 24 sont tous multiples de 20, ils sont tous
associés à Ahau
On constate que si le jour 0 apparaissait il serait associé à 1 Ahau.
Dans le passé le jour 1 Ahau a été sans doute associé au premier
lever héliaque de Vénus consigné dans les tables
2920 X 13 = 65 V. R 455
C est le grand cycle de Vénus 65 V. R. = 2 C. R 455
La durée exacte de la révolution synodique de Vénus est 583, 920; il lui
manque 8 jours pour 100 révolutions synodiques 456
On sait que la correction des Mayas équivaut à 24 jourspour 301 révolutions
synodiques; elle a été choisie afin que le début de chaque grand cycle ^
conserve le jour 1 Ahau 457
820 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
La correction est établie à partir de 65 V. R. qui est le plus petit mul¬
tiple de V. R. qui soit divisible par 260 457
Circonstance favorable 585 = 1 V. R. + 1 est divisible par 65
On diminuera le compte de jours de 65 V. R. d un petit nombre de
jours {k) en même temps qu on diminuera d un petit nombre d en¬
tiers (p) le compte des V. R., ceci afin que le total soit divisible par
260 : (65 — p ) V. R. — k , ce qui exige que ( p V. R. + k )
soit divisible par 260.
Il est facile de voir que k doit être divisible par 4 et que dans les
conditions de l énoncé p doit être égal à k 458
Corrections retenues par les Mayas :
k = 4 p = 4 61 V. R. — 4
k: = 8 p = 8 57 V. R. — 8 459
4 corrections de la première forme sont associées à 1 correction d,; la
seconde forme 460
Autre difficulté : les prêtres mayas savaient que le jour initial de la révo¬
lution synodique ne coïncidait pas avec le lever héliaque de Vénus il
le précédait de quelques jours. On ajoutera donc 16 jours mais aussi
le même nombre de grands cycles toujours afin de conserver 1 Ahau 460
Analyse des nombres de la 4e rangée 461
Le premier doit être rectifié (J. E. Thompson)
16 V. R. + 16
57 V. R. — 8
118 V. R. — 12
317 V. R. — 8
La succession des diverses corrections apparaît dans d autres pages
du Codex 462
Sur la page 24 figurent aussi deux Séries Initiales : 464
9.9.9.16.0 1 Ahau 18 Kayab
9.9.16.0.0 4 Ahau 8 Cumhu
Ce dernier nombre équivaut à 72 C. R.
La différence entre les deux nombres précédents figure aussi sur cette
page, elle montre que le premier nombre est très peu inférieur à
72 C. R., remarquable multiple commun à des nombres importants
pour le calendrier.
Un troisième jour du C. R. figure aussi p. 24.
I Ahau 18 Uo 465
Les corrections ont débuté le jour 1 Ahau 18 Kayab et 1 Ahau 18 Uo
est sans doute contemporain de la rédaction du Codex de Dresde
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 821
La méthode qui a permis d atteindre une bonne approximation de la durée
de la révolution synodique de Vénus est de même conception que celle
qui a permis de résoudre les deux problèmes fondamentaux de l arith¬
métique maya 466
Deux circonstances favorables, fortuites et de même nature, ont
considérablement simplifié les calculs : 365 est un multiple de 13
augmenté de 1; 584 est un multiple de 13 diminué de 1.
Fin du chapitre 466
chapitre vn
CHINE
Généralités 467
Beaucoup d ouvrages occidentaux concernant la Chine sont démodés;
les ouvrages d auteurs chinois ne sont pas souvent traduits dans
nos langues.
Importance de l ouvrage que J. Needham consacre à la science chi¬
noise.
Le jugement que J. Needham porte sur la plus ancienne numération
chinoise nous paraît sujet à caution.
Chine I (oracle-bones)
Textes divinatoires gravés sur os ce qui leur a permis une longue survie.
Ces textes contiennent des nombres épars, il ne s agit pas de vrais
textes mathématiques 468
Les nœuds des unités, dizaines, centaines, mille sont présentés avec
quelques lacunes, la myriade figure rarement.
Numération de type le à première vue 474
Un thème général apparaît pour l écriture des centaines et des mille
qui semblent écrits dans le type hybride, mais avec des ligatures.
Exemples présentés par J. Needham 475
Ces exemples devraient être écrits verticalement.
Suggestion : numération traduisant à l origine la numération parlée,
de type hybride complet, mais qui, dans l écriture, a dégénéré en
une numération de type le , non seulement pour les unités et les
dizaines, mais aussi pour les centaines et les mille, bien que leur
écriture se souvienne du type hybride 478
822 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Cette écriture dans laquelle l ordre des signes n est pas toujours ri¬
goureux peut prêter à confusion.
Exemple : comparer l écriture de 80 à celle de 18 482
Note 6
Discussion du jugement porté par J. Needham sur l importance théorique
de la numération des oracle-bones 484
Définition des place-value components.
J. Needham leur refuse la qualité de nombres : ils ne sont destinés qu à
conduire les neuf chiffres à leur place convenable sur la table à
compter.
En réalité si la place-value component n a pas valeur numérique cette
numération est de type le .
S il a valeur numérique elle est de typa le et de type hybride partiel
En tous cas elle n est pas écrite de position 485
J. Needham considère le système des oracle-bones comme le plus
ancien système capable d exprimer n importe quel nombre, si
grand soit-il, avec neuf chiffres, or les place-value components sont
incorporés à l écriture des nombres, on ne peut les passer sous si¬
lence.
La plus ancienne numération écrite de position c est la babylonienne,
excellent instrument de calcul malgré sa trop grande base (Textes
mathématiques de Suse) 487
On ne peut comparer la numération des oracle-bones à la numération
indienne de position 487
J. Needham signale, avec raison, le caractère primitif de la numération
des grottes aux Indes. C est la seule qu on puisse comparer avec
fruit à la numération des oracle-bones 489
Si le nombre grandit, on doit inventer de nouveaux place-value com¬
ponents : l écriture du nombre se trouve donc encombrée de sym¬
boles dont le nombre grandira et les neuf signes pour les neuf pre¬
miers nombres entiers seront insuffisants pour caractériser l écri¬
ture du nombre 490
Chine II
C est une numération en tous mots; ces mots d une syllabe sont tra¬
duits dans l écriture par des dessins simples, qui deviennent d excel¬
lents symboles numériques 491
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 823
Numération de type hybride complet de base 10 493
Les chiffres sont : 1, 2, 3 9, 10, 102, 103, 104.
Cette numération ne pouvait noter que les nombres inférieurs ou
égaux à 105. Pour de tels nombres elle ne comporte aucune irrégu¬
larité donc aucune ambiguïté.
Les textes trouvés par Aurel Stein dans le Turkestan chinois et qui
remontent aux Han, montrent l ancienneté de cette écriture. On
peut même suivre l évolution des caractères mais la conception
intellectuelle de la numération reste immuable 493
La myriade étant un palier, comme chez les Grecs, le problème de
l écriture des grands nombres s est posé 497
Anciennement trois systèmes différents ont été utilisés 498
Exemples de l écriture de nombres supérieurs à 105 500
Numération parlée pour : 105 , 106 , 107 , 10 .
Noms composés à partir de wan (104); par exemple 108 se dit wan wan 502
Exemples contemporains de grands nombres destinés à l usage cou¬
rant 503
Étude systématique de tous les exemples étudiés : 506
104 ^ N 105 Type hybride normal
105 ^ N 106 Une irrégularité simplificatrice
wan n est écrit qu une fois
108 N 108 Généralisation de cette
irrégularité
108 N
Exemple présenté par A. Vissière : wan figure seul s il s agit d un
nombre exclusivement formé de chiffres significatifs; il marque la
frontière entre tranches successives de 4 chiffres 508
Cas particulier où l une des tranches est formée de zéros 511
Comparaison avec Grèce III 51
Influence moderne de la numération occidentale 512
Chine III
Numération a l aide des rod-numerals 513
II s agit de fiches en bambou ou en os, toutes de même dimension et
ne présentant aucun signe distinctif.
Article de A. Vissière : mémoire de Mei Wên Ting.
Lorsque ces fiches étaient groupées elles pouvaient symboliser les 9
premiers nombres entiers 516
824 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
A l origine il s agit d une véritable numération figurée de position;
base 10.
Age du vieillard de Kiang-hien 517
Ultérieurement apparaît l alternance des fiches qui sont debout ou
couchées 518
Dans les textes anciens la myriade semble un palier mais cette numé¬
ration s est étendue facilement à des nombres quelconques.
Présentation des 18 symboles permettant de figurer non seulement
les nœuds des unités mais les nœuds des dizaines 520
Les 99 premiers nombres entiers sont écrits dans le type le . Cette
numération n est qu artificiellement de base 100, dans la pratique
elle est de base 10.
Planche 38 : Triangle de Pascal (1303).
Apparition de l échiquier qui facilitera les calculs 521
Cette numération figurée pouvait se passer du zéro.
Elle devra lui consacrer un symbole quand elle deviendra écrite de
position.
Apparition des monogrammes 524
Cette numération a survécu dans les travaux scientifiques jusqu à la
fin du xixe siècle.
Technique de la multiplication pratiquée sur l échiquier chinois 528
La disposition matérielle de l opération présente une remarquable
analogie avec la multiplicatrice de Leibniz 528
Cette dernière déplaçait d un bloc le multiplicande vers la gauche
quand le multiplicateur était formé d un chiffre significatif suivi de
zéros.
Cas particulier fondamental 530
Le multiplicande est quelconque, le multiplicateur n a qu un chiffre
II s agit d une addition dans laquelle tous les nombres à additionner
sont égaux au multiplicande.
Les Chinois commençaient l opération par la gauche.
L usage de l échiquier, et pour d autres civilisations de la table à
compter, permettait de modifier successivement les nombres cal¬
culés alors que la transcription sur le papier matérialisa la succes¬
sion des chiffres écrits puis barrés, ce qui faisait perdre au produit
sa présentation linéaire (traduction infidèle) 531
En Chine apparaît pour ce cas particulier une présentation très con¬
densée qui préfigure celle du boulier, laquelle sera plus abstraite.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 825
Cas général 534
Pose de l opération qui est effectuée sur une seule ligne placée entre
le multiplicateur et le multiplicande. Ce dernier est déplacé autant
de fois que le multiplicateur a de chiffres 536
Exemples attestés de multiplications chinoises effectuées sur l échi¬
quier 536
Technique opératoire de grande qualité ne surchargeant pas trop la
mémoire puisque la base de la numération est assez petite pour que
la table de multiplication soiî sue par cœur 538
Note 7
Table d addition pour les rod-numerals 540
Exemple d une multiplication entièrement développée sur l échiquier 542
Présentation de multiplications effectuées sur le boulier.
Fin du chapitre 543
CHAPITRE VIII
INDE
Introduction 547
Notre numération est-elle d origine indienne? Il convient de se méfier
des faux, on ne doit donc retenir que les inscriptions lapidaires
Numération parlée 550
Travaux de F. Woepcke.
Goût indien pour les grands nombres (Lalitavistara) 551
Deux progressions géométriques célèbres de raisons 102 et 7 .... 553
Ressemblance troublante avec l Arénaire d Archimède 555
Chaque puissance de la base 10 reçoit un nom 556
Énoncé d un nombre de 18 de nos chiffres présenté par F. Woepcke
dans quatre numérations parlées distinctes 557
II s agit des numérations arabe, grecque, occidentale moderne (échelle
longue), indienne.
Importance de l œuvre de Nicolas Chuquet pour les grands nombres
en Occident 557
826 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Les nombres mots 559
C est une numération parlée de position 559
Toute mention de la base et de ses puissances disparaît : le zéro reçoit
un nom.
Numération inventée pour incorporer, dans la poésie, des nombres
jugés importants.
Glossaire de ces mots liés à la mythologie, à l astronomie, aux appa¬
rences des êtres vivants 560
Équivalents du zéro 561
Intéressantes irrégularités du système 562
Les nombres sont énoncés en commençant par les unités simples ce
qui permet de les placer immédiatement sur la table à compter 564
Note 8
Les grands nombres en numération parlée (État actuel de la question) 566
Million est un mot d origine italienne, en usage en France à partir du
xme siècle
Terminologie de Nicolas Chuquet (1484) 567
Échelle longue basée sur le million : 106X = (N) illion 569
Échelle courte basée sur mille : 103 = («—1) illion 570
Elle emploie inconsidérément la terminologie de l échelle longue.
Répartition géographique actuelle des deux échelles 572
Leur coexistence étant devenue intolérable, la neuvième Confé¬
rence Générale des Poids et Mesures (1948) a conseillé l emploi
de l échelle longue pour les pays européens 572
Numération d Âryabhata(+ vie siècle) 575
Numération destinée à être incorporée à la poésie.
Elle est de type le et utilise une partie du syllabaire ind e1.. :
les chiffres sont des syllabes constituées par l association d une
consonne ou d une semi-voyelle avec une voyelle ou une diphtongue
33 consonnes et semi-voyelles
9 voyelles (brèves ou longues) et diphtongues
Consonnes et semi-voyelles sont présentées dans u.; ordre strict; il
en est de même des voyelles et des diphtongues.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 827
Signification numérique des 33 consonnes et semi-voyelles associées
à la voyelle a 1,2,3 24,25,30,40,50,60,70,80,90,100 577
La vocalisation des syllabes permet de s élever dans la suite des
nombres : pour une consonne déterminée associée à une certaine
voyelle, le fait de remplacer cette dernière par la suivante multiplie
la valeur de la syllabe par 100, ce qui permet d écrire tous les nom¬
bres entiers jusqu à 1018 580
Exemples
1° Dix nombres écrits dans la numération d Âryabhata et provenant
du Surya Siddhanta 584
Des irrégularités sont fréquentes : l ordre d apparition des syllabes
peut être transgressé sans que la valeur du nombre soit altérée :
cette numération n est pas écrite de position 584
2° Suite de 24 nombres décroissants, le premier est 225 586
Grand intérêt théorique de ces nombres qui permettent de présenter
une liste de valeurs proportionnelles aux sinus d une suite d arcs en
progression arithmétique (voir la note 9).
Cette numération, très lourde au départ, devient ensuite très élégante
étant marquée tour à tour, par le caractère maléfique ou bénéfique
du syllabaire indien 588
Comparaison avec une numération artificiellement conçue à partir de
l écriture bràhmï : numération de base 10, initialement de type le,
devenant aisément écrite de position 589
Note 9
Table de Sinus 591
Expression de la valeur de n utilisée par Âryabhata.
Elle provient d une circonférence de cercle de diamètre deux myriades.
tu = 3,1416, d où l expression du radian en minutes d arc : 3 4J8, ^
ce sera la mesure du rayon R 591
Choix de 3° 45 = 225 comme arc initial a.
Choix justifié par une construction géométrique 592
Utilisation d une formule différentielle, inconnue pour l e«* ente
raison qu elle n est vraie que pour une seule valeur de 1 arc init.al, ^
R étant donné 593
Pour R = 3 438, a devrait être égal à 229 594
828 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Âryabhata était contraint de choisir pour a un diviseur de 30 x 60
= 1 800; il a retenu 225 qui peut être obtenu dyadiquement à partir
de 1 800. Ce nombre, voisin de 229, convenait donc géométrique¬
ment et arithmétiquement 595
Les résultats présentés par Âryabhata sont très bons 600
Dégradation rapide de la formule pour d autres valeurs de a 601
J. Itard ne pense pas qu on puisse créditer Âryabhata de l invention de
la formule différencielle. Il pense qu elle provient des Donnc2s
d Euclide 602
Numérations écrites 602
Toutes ces numérations sont de base 10.
Numération liée à l écriture kharostri : type Ia 603
Inspiration araméenne; seule numération indienne s écrivant de
droite à gauche.
Peu de chiffres connus; il existe des chiffres pour 4 et 20.
Numération liée à l écriture brâhmï : type Ia 605
Documents rares, peu de chiffres connus.
Numération des grottes (Nânâ Ghât) (— 2° s.) : type le 606
Les nœuds des centaines et des mille conservent mention des nœuds des
unités; ultérieurement mille a dû jouer le rôle de base auxiliaire.
Numération des grottes {Nasik)( + 2° s.) : type le 608
Déchiffrement assuré par la mention simultanée des nombres et de
leur écriture en toutes lettres.
Elle ressemble beaucoup à la précédente numération.
On peut la comparer à la numération des oracle-bones 610
Elle est à mi-chemin entre le type Ic et le type hybride 611
Si l on présente les nombres attestés sur la table à compter, seules les
dizaines ne peuvent être décomposées; il y aurait aussi des diffi¬
cultés pour les trois premiers nœuds des centaines et des mille.
Numération en écriture tamoule 614
Type hybride complet. Elle est toujours en usage.
Évolution remarquable, peut-être ancienne, vers une numération de
position, ce qui entraîne une présentation originale du nombre si l un
des nœuds vient à manquer.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 829
Numération en écriture singhalaise 615
Toujours en usage.
Idéalement située entre la numération des grottes et la numération
tamoule.
Le syllabaire complet (544 signes distincts) a été intégralement utilisé
pour paginer les manuscrits.
Inscription de Gwalior(+ 876) 618
Numération écrite de position.
Texte fondamental bien que tardif, comportant seulement quatre
nombres.
Les chiffres 4 et 6 sont absents, le zéro opérateur figure deux fois, les
chiffres destinés aux trois premiers nombres entiers ont perdu
tout caractère figuratif 619
Texte gravé sur un petit temple monolithique.
Texte écrit en prose. La date, écrite en chiffres et en toutes lettres est
exprimée en ère samvat, elle est facile à restituer en ère çaka, puis
dans notre ère 620
Les trois autres nombres de l inscription sont aussi écrits en chiffres et
en toutes lettres, ils sont relatifs à des donations faites au temple :
pièce de terre dont les dimensions sont précisées, contribution jour¬
nalière au temple de 50 guirlandes de fleurs.
Note 10
Division de la roupie 622
La série de signes exprimant les fractions de la roupie est utilisée
parfois pour paginer les préfaces.
Écriture de tous les nombres de 1 à 32 624
Chiffres pour 1,4,16, 32.
Numération de base 4 et de type Ia , 32 est une irrégularité, mais il est
diviseur de 64 qui n a pas reçu symbole original.
Comparer les chiffres, qui sont de caractère linéaire, avec les chiffres ^
en usage, pour Chine III 627
628
TÉMOIGNAGES EXTÉRIEURS A L INDE 628
628
Texte de Sévère Sébokt(+ 662) 628
L auteur, qui était astronome en Syrie, mentionne les neuf chiffres de
la numération indienne, aucune allusion au zéro.
830 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Texte de Chhuthan Hsi-Ta(+ 720) 630
L auteur écrit en chinois, mais il est d origine indienne et porte un nom
sinisé.
Il signale que la numération indienne s écrit avec 9 chiffres écrits cursi-
vement d un seul trait ; il mentionne l usage du zéro qui est un point.
Documents extérieurs a l Inde 632
Article de G. Coedès « A propos de l origine des chiffres arabes. »
Textes recueillis au Cambodge et à Sumatra et antérieurs de deux
siècles à l inscription de Gwalior.
Inscriptions du Cambodge 633
Travaux de E. Aymonier.
Les inscriptions concernent des donations à des temples, les nombres
sont exprimés en numération vernaculaire, mais la date qui figure en
tête des documents est exprimée en ère çaka dans une numération
de position 636
La numération vernaculaire est de type Io assez primitif, avec inci¬
dences de la base 20, le nombre 400 est un palier difficile à franchir.. 640
Cette écriture des nombres ressemble à la numération des grottes :
tableau 66 643
La numération destinée à noter les dates est écrite de position dans un
style parfait ; les chiffres sont les chiffres de la numération vernacu¬
laire sauf pour les trois premiers entiers dont l expression a perdu
tout caractère figuratif : tableau 67 643
Discussion des points de vue de G. Coedès et de J. Needham 644
Inscriptions découvertes à Sumatra 645
Elles sont en relation avec les foyers culturels bouddhiques existant
à Sumatra.
Déchiffrement de H. Kern, complété par G. Coedès 646
Inscription de Kedukan Bukit 646
Découverte à Palembang 605 çaka.
Inscription de Talang Tuwo 647
Découverte à Palembang 606 çaka.
Inscription de Karang Brahi.
Découverte dans la province de Jambi.
Non datée; elle n est qu une partie de la quatrième inscription.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 831
Inscription de Kota Kapur.
Découverte dans l île de Bangka 608 çaka.
Étude des trois inscriptions datées 649
Le second texte est d inspiration bouddhique.
Le bouddhisme était implanté en Indonésie avant l arrivée des pèlerins
chinois qui sont justement venus l y chercher 652
Les trois inscriptions mettent en évidence les débuts foudroyants du
royaume de Çrivijaya, ce qui explique que les trois dates notées en
numération de position 605, 606, 608 çaka soient si proches.
Fin du chapitre 652
CHAPITRE IX
DU ZÉRO ET DE SES PRÉCURSEURS
Définition d un signe 653
C est un symbole qui ne possède aucune valeur numérique intrinsèque;
mais qui, juxtaposé ou ligaturé avec un signe original s , multi¬
plie automatiquement sa valeur par une puissance déterminée de la
base.
Il s agit donc d un opérateur.
Chine I (oracle-bones) 655
On ne peut affirmer que les signes pour 100 et pour 1 000 soient des
signes cr .
Grèce IL —Hébreux 655
Un signe a très net pour chacune de ces numérations.
Aryabnafa 656
Plusieurs signes
Rome 565
Deux signes a qui peuvent être associés à la présentation graphique
d un nombre quelconque.
DÉFINITION DU ZÉRO OPÉRATEUR 657
1° Symbole n ayant aucune valeur numérique intrinsèque, mais qui
acquiert la qualité d opérateur dès qu il est juxtapose a un nombre
entier N, écrit dans une numération de base quelconque.
55
832 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
On doit supposer que N ne présente dans sa constitution aucune
irrégularité.
2° Le signe S multiplie la valeur numérique de N par la base de
la numération.
3° La position géométrique de S par rapport à N est stricte¬
ment définie le nombre s écrivant linéairement; cette position per¬
mettra la répétition de S .
Les deux signes g de la numération latine sont de vraies ébauches
du zéro opérateur 657
De la multiplication par 10 d un nombre écrit dans la base 10 pour les trois
types de numération 658
Cas de la numération latine : l introduction des signes a complique
dangereusement la multiplication par 10 d un nombre N 659
Nécessité d envisager plusieurs paliers pour N .
SCOLIE DE NEOPHYTOS (+ XIVe S.) 661
Apparition de signes a présentant les deux premières propriétés
d un signe S 663
Invention remarquable, tardive et artificielle.
Comparaison avec les chiffres gobar 665
L invention de ces chiffres doit être postérieure à l adoption par les
Arabes du système indien de position; ce n était sans doute qu une
facilité d écriture destinée à familiariser les utilisateurs avec cette
numération nouvelle qui bouleversait leurs habitudes.
Comparaison du zéro opérateur et du zéro médial 667
Le zéro opérateur se présente théoriquement plus simplement que le
zéro médial ; mais ce dernier peut facilement être signalé par un vide,
ce qui serait dangereux pour le zéro opérateur.
Le zéro dans les quatre numérations écrites de position 668
Babylone 668
Apparition tardive du zéro médial.
Le zéro opérateur n est signalé que par un léger agrandissement du
chiffre pour 60.
L utilisation de deux bases régulièrement alternées a favorisé l intro¬
duction d une nouvelle base et a facilité les opérations effectuées sur
la table à compter. Le zéro opérateur n a pas besoin d être noté pour
jouer son rôle.
Mayas 671
Le zéro médial apparaît rarement sur les stèles.
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 833
Le zéro terminal est très fréquent, mais l irrégularité de la numération
empêche qu il soit opérateur.
Autre aspect du zéro maya 675
Les Américanistes pensent que, pour les Mayas zéro n était pas un
nombre, ce qui ne peut surprendre.
Tables de nombres apparaissant dans le Codex de Dresde 677
Elles montrent que les Mayas utilisaient avec une grande maîtrise zéro
médial et zéro terminal et que ce symbole avait pour eux la même
importance graphique qu un chiffre significatif 682
Les deux numérations babylonienne et maya ont eu vis-à-vis du
zéro deux attitudes très différentes, aucune d entre elles n est
entièrement satisfaisante 684
Chine 684
Né sur la table à compter, le zéro chinois, qui se présente sous la forme
d un petit cercle, ne s incorpore pas facilement à l écriture des
nombres mais il était réduit à un usage statique puisque les opé¬
rations s effectuaient sur l échiquier et ultérieurement sur le boulier.
Inde 686
A Gwalior, en Indonésie, le zéro opérateur et le zéro médial appa¬
raissent sous leur forme parfaite.
L usage des nombres mots a dû familiariser les calculateurs avec l un
et l autre zéro puisqu ils étaient nommés, et l introduction de
nombres dans des textes écrits en prose a joué aussi un rôle impor¬
tant. En se libérant de la table à compter le nombre s est écrit de
gauche à droite en commençant par les unités simples 687
C est sur la table à compter que conscience a dû être prise du fait que
le zéro terminal est opérateur 687
C est aussi sur elle que la technique des opérations nobles est née mais
cette technique aurait dû être révisée lorsque la table a disparu, ce
qui aurait évité à l Occident l apparition d opérations monstrueuses. 688
La grande invention des deux zéros, qui avait quelque chose de boule¬
versant pour l esprit, a trouvé de beaux échos dans les textes litté¬
raires 689
Note 11
Technique de la multiplication pour les numérations de types IHa , Ir, Ia . ¦ 691
Écriture symbolique pour les numérations :
— de type IIIa , (Babylone, Mayas) 691
834 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
— de type Ib (Sumer) 694
— de type Ia , (Grèce I et Rome) 695
Technique opératoire de la multiplication de deux nombres entiers supposés
écrits symboliquement 696
n base de la numération
k base auxiliaire
Babylone n =60 k = 10 699
Mayas n =20 k = 5 701
Rome n =10 k = 5 703
Fin du chapitre 706
chapitre x
RETOUR A LA CLASSIFICATION
ÉTAGE MATHÉMATIQUE 707
Nombre considéré comme la valeur numérique d un polynôme
a une variable (écarter sumer). _
Nombre = 2aw» n est la base 708
Étude des cinq cas possibles.
Graphe (fig. 44) : Tous les cas possibles sont attestés 709 i
Discussion des cas attestés qui ne figurent pas sur le graphe : Ib et Ia . 710
La classification est une classification naturelle 712 !
Comparaison entre l écriture d un nœud et celle d une syllabe
formée par la juxtaposition d une consonne et d une voyelle ... 712
Graphe (fig. 45) : Tous les cas possibles ne sont pas attestés.
Exemple d apparition de la syllabe dans une écriture qui ne connaît
pas l alphabet (cunéiformes babyloniens) 713
Comparaison des deux graphes précédents 715
Écriture vieux perse 717
Analyse du cas litigieux en terme de numération. !
i
Comparaison du nombre et du mot 720
Nombre : chaque puissance de la base n apparaît qu une fois.
i
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 835
Mot : l association exclusive consonne voyelle mutile la langue.
Les solutions sont prélevées dans les arrangements de N syllabes
prises php avec ou sans répétition 721
La comparaison entre nœuds et syllabes a été inspirée par la numéra¬
tion d Âryabhata et par celle des grottes 722
Importance de l ordre d apparition des puissances de la base 722
Les trois types de numération sont caractérisés par le fait que dans
l écriture d un nombre les chiffres sont libres, partiellement libres ou
enchaînés.
Dans toutes les numérations de types I et II l unité, la base et ses
puissances forment un ensemble totalement ordonné, alors que cet
ordre n est pas indispensable 723
Cet ordre conditionne l apparition des numérations écrites de position ;
il a donc existé avant d être fonctionnel.
Sans doute le dénombrement est-il à l origine de cet ordre 723
Eventail des bases attestées 724
Toujours 10 ou un multiple de 10, avec incidences de bases auxiliaires,
puissances de 10 ou diviseurs privilégiés de 10.
Le choix de 10 est lié à un accident de notre nature.
Comparaison avec les systèmes pondéraux 725
Pour eux la base 2 est une base naturelle.
On n a renoncé au système binaire que pour mettre le système pondé¬
ral en harmonie avec la base de la numération.
Deux exemples célèbres : le système pondéral babylonien et le système
pondéral métrique.
726
ETAGE HISTORIQUE 726
Avec l apparition du temps surgit pour une numération la possibilité
d évoluer et d essaimer.
Nous nous limitons volontairement à l étude de l évolution interne de
chaque numération.
Les évolutions attestées sont toujours faites dans le sens du progrès...727
Cette hypothèse sera donc exclusivement retenue pour tous les cas
examinés.
.. 728
28 combinaisons doivent être étudiées
L une de ces combinaisons est une identité 728
Les 27 autres combinaisons se répartissent ainsi : évolution attestée, ^
possible mais non attestée, impossible 729
836 HISTOIRE COMPARÉE DES NUMÉRATIONS ÉCRITES
Tableau récapitulatif 735
Nouveau tableau : présentation synthétique du précédent 736
Étude directe des 24 numérations figurant dans la classification, relative¬
ment à leurs possibilités évolutives 737
12 d entre elles témoignent d une évolution.
12 autres n ont pas évolué; elles se réduisent du reste à 11 puisque l une
d entre elles est une numération écrite de position (Chine III) 738
Note 12
Numération déposition et boulier 745
N valeur numérique de :
aaxm + ^.y 1-1 + • • • + apx -P + • • • + am.
x base de la numération.
aPxm~p est défini par deux informations.
En numération de position N s écrit : aoau ap am.
Supposer provisoirement que tous les aP sont différents de zéro.
xm~P a disparu et sera remplacé par ( m —p ) qui est son loga-
rithms dans la base x et plus simplement le rang de ap dans
l éciiture du nombre 746
Présentation analytique de N 746
Abscisse : valeur numérique de aP.
Ordonnée : rang de av.
Égrener les unités contenues dans av : apparition de la présen¬
tation de N sur le boulier 747
Identité de la numération de position et du boulier.
Caractère universel du boulier pour une base donnée 748
Sur la présentation analytique apparaissent un nombre cardinal et un
nombre ordinal 748
Si l un des aP est nul il faut introduire zéro médial ou zéro opé¬
rateur, ce dernier se présenti moins aisément que le zéro médial et
sur le nombre et sur le boulier 749
Importance de l écriture linéaire du nombre : c est une présentation ana¬
lytique limitée à la seule ordonnée 749
Généralisation relative à l introduction des puissances négatives de la
base 749
Le boulier et les numérations de type le et 1a ,, 750
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES 837
Le boulier peut être considéré comme le terme ultime de l évolution
d une numération de type Ia, qui passe intermédiairement par le
typehybride 750
ÉTAGE GÉOGRAPHIQUE 751
La classification fait état de onze pays appartenant à l hémisphère
boréal, leur latitude est inférieure à 45° 751
Neuf pays de longitude Est, inférieure à 120° 752
Deux pays de longitude Ouest comprise entre 85° et 100°.
Tableau 73 754
Bassin méditerranéen : 5 pays, 9 numérations 755
Types I et II exclusivement.
Asie : 4 pays, 12 numérations 756
Le type IA est absent, II est bien attesté, III apparaît trois fois.
Diffusion de la numération indienne par les Arabes et par les Persans. 759
La technique des opérations nobles est identique en Chine est en Perse. 759
L organisation de la logistique en Europe a été longue et douloureuse. 760
Amérique centrale : 2 pays, 3 numérations 760
Ia , pour les Aztèques; IIb et IIIa , pour les Mayas.
Identité de conception des numérations écrites de position babylo¬
nienne et maya 761
Conditions intellectuelles qui ont permis la naissance des numé¬
rations ÉCRITES DE POSITION 763
L exemple des numérations babylonienne et maya montre que la situa¬
tion géographique d un pays n est qu un élément de la question.
La nécessité de savoir écrire de grands nombres a dû être le levain qui
a permis à la numération écrite d achever son évolution; il s agit
d une aventure spirituelle et pas seulement de satisfaire aux besoins
du commerce ou à l administration des États 763
Les numérations écrites de position ont dû naître dans les collèges de
prêtres qui s intéressaient à l astronomie ou seulement à l astro¬
logie 766
La numération indienne de position est la seule qui ait réussi à défier
le temps ; sa diffusion a pris de nos jours un caractère universel 767
Fin du chapitre 768
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