Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II: 1 Fachdidaktische Grundfragen - Didaktik der Analysis
Gespeichert in:
| Format: | Buch |
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2000
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| Ausgabe: | 2., durchges. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Didaktik der Mathematik
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XIV, 348 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783528167660 3528167661 |
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IX_
Inhaltsverzeichnis1
TEIL
I
FACHDIDAKTISCHE GRUNDFRAGEN DES MATHEMATIKUNTERRICHTS
IN DER SEKUNDARSTUFE
II
Verfasser: U.-P. Tietze (Kap. 1, 2, 3, 5), F. Förster (Kap. 4)
1 AUSWAHL UND BEGRÜNDUNG VON ZIELEN, INHALTEN UND METHODEN.........1
1.1 Grundfragen und Entwicklungen in der Curriculumdiskussion...............................................2
1.1.1 Der Reformaufbruch in den sechziger Jahren und die Konsequenzen als
einführendes Beispiel einer Curriculumdiskussion..................................................................2
1.1.2 Historische Entwicklungen und didaktische Strömungen des Mathematikunterrichts.............4
1.1.3 Elemente der didaktischen Curriculumdiskussion..................................................................10
Exkurs: Globale Cumculumrevision? *.................................................................................11
Exkurs:
Taxonomie
und Operationalisierung mathematischer Lernziele *............................ 12
Allgemeinbildung und Unterrichtskultur................................................................................ 12
Wissenschaftsorientierung und Wissenschaftspropädeutik.................................................... 15
Exemplarisches Lehren und Lernen....................................................................................... 16
Vorstellungen von Lehrern zum
Curriculum
.......................................................................... 17
1.1.4 Merkmale von Grund- und Leisrungskursen..........................................................................17
Grund- und Leistungskurse aus der Sicht des Lehrers...........................................................18
1.2 Zur Begründung von Zielen für den MU in der
S
II
...............................................................20
1.2.1 Allgemeine und spezielle inhaltsbezogene Ziele....................................................................22
Die Vermittlung eines angemessenen Bildes von Mathematik als allgemeines
inhaltsbezogenes Ziel..............................................................................................................23
Spezielle inhaltsbezogene Qualifikationen.............................................................................25
1.2.2 Allgemeine verhaltensbezogene Ziele....................................................................................27
Ein Katalog allgemeiner verhaltensbezogener Lernziele für den MU der
S
II
.......................29
Vertiefung: Ergänzende Erläuterung allgemeiner verhaltensbezogener Lemziele *.............32
1.3 Fundamentale Ideen................................................................................................................37
Leitideen, bereichsspezifische Strategien, zentrale Mathematisierungsmuster......................40
1.4 Zur Rolle des Rechners im Mathematikunterricht.................................................................42
Mögliche Funktionen von Rechnern im Mathematikunterricht..............................................45
Wichtige Inhalte in neuem Licht.............................................................................................47
Aufgaben, Wiederholung, Ergänzung..............................................................................................48
2 LERNEN UND LEHREN VON BEGRIFFEN UND REGELN............................................50
2.1 Elemente des Begriffs- und Regellernens aus psychologischer Sicht.....................................51
Sinnvolles rezeptives Lernen...................................................................................................52
Subjektive Aspekte der Begriffsbildung..................................................................................54
Repräsentation........................................................................................................................55
2.2 Besonderheiten mathematischer Begriffs- und Theoriebildung..............................................56
2.2.1 Begriffsbildung im Mathematikunterricht..............................................................................57
Zur Bedeutung mathematischer Begriffe................................................................................58
2.2.2 Begriffsentwicklung und Exaktifizieren *..............................................................................60
Exkurs in die Algebra.............................................................................................................63
2.2.3 Elementarisieren - zum Verhältnis von Fach- und Schulmathematik *.................................64
2.3 Exkurs: Lern- und Lehrschwiengkeiten *..............................................................................64
2.3.1 Einführende Überlegungen.....................................................................................................65
Abschnitte zur Vertiefung sind mit * gekennzeichnet. Die Numerierung von Bildern und Schemata
bezieht sich auf die Kapitel (oberste Gliederungsebene). Die Numerierung von Beispielen und
Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptabschnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
Inhaltsverzeichnis
Schema und Prozedur.............................................................................................................66
Lemschwierigkeiten in der Algebra........................................................................................67
2.3.2 Semantischer Aspekt: das Aufstellen und Interpretieren von
Termen
und Formeln...............68
2.3.3 Syntaktisch-algorithmischer Aspekt........................................................................................69
Das algorithmische Lösen einfacher Aufgaben.......................................................................69
„Generalregeln als Ursache von Fehlern.............................................................................72
Zusätzliche Schwierigkeiten einer „höheren Algebra...........................................................73
Folgerungen und Konsequenzen.............................................................................................74
2.4 Formen von Unterricht und Lehrverfahren.............................................................................74
2.4.1 Einruhrang..............................................................................................................................74
Exkurs: Modell-Lernen*........................................................................................................75
2.4.2 Drei idealtypische Lehrverfahren............................................................................................76
Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens...................................................................77
Verfahren des entdeckenlassenden Lehrens im Sinne von Bruner..........................................78
Derfragend-entwickelnde Unterricht.....................................................................................80
2.5 Methodische Hinweise zum Lehren mathematischer Begriffe, Theorien und Regeln............82
2.5.1 Allgemeine methodische Hinweise und fachdidaktische Prinzipien.......................................82
Das Anerkennen von Vorwissen..............................................................................................82
Das Subsumieren unter Oberbegriffe: geeignete Ankerideen und Grundvorstellungen.........83
Fachdidaktische Prinzipien.....................................................................................................84
2.5.2 Zur Planung des Begriffs- und Regeliehrens...........................................................................86
Mittelfristige Planung.............................................................................................................86
Kurzfristige Planung...............................................................................................................87
Verstehen und Verstehenskontrolle.........................................................................................88
Aufgaben, Wiederholung, Anregungen zur Diskussion...................................................................89
3 PROBLEME ENTDECKEN, PROBLEME LÖSEN..............................................................91
3.1 Einführendes Beispiel zum Problemlösen...............................................................................92
Problemkontext Lineares Optimieren......................................................................................92
3.2 Charakteristische Aspekte von Problemen..............................................................................93
Problemkontext Geometrische Objektstudien..........................................................................97
3.3 Heuristische Verfahrensregeln und prozeßorientierte Hilfen..................................................98
3.3.1 Globale Heuristiken................................................................................................................99
3.3.2 Lokale Heuristiken................................................................................................................102
3.4 Ziele und Methoden eines problemorientierten Unterrichts..................................................108
3.4.1 Vorstellungen über einen problemorientierten Unterricht und seine Ziele...........................108
3.4.2 Problemorientierung im alltäglichen Unterricht....................................................................110
3.4.3 Zur Förderung von Problemlösefähigkeiten..........................................................................112
Problemkontext Funktionen, Kurven und deren Krümmung................................................114
3.5 Exkurs: Empirische Untersuchungen zum Problemlösen *.................................................. 117
Quellen für Problemkontexte.........................................................................................................119
Wiederholung, Aufgaben. Anregungen zur Diskussion................................................................119
4 ANWENDEN, MATHEMATISIEREN, MODELLBILDEN..............................................121
4.1 Mathematisieren und Modellbilden.......................................................................................121
Der Modellbildungsprozeß...................................................................................................121
Deskriptive und normative Modelle...................................................................................! 25
Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Modellbildung ............................................126
4.2 Tendenzen und Strömungen zur Anwendungsorientierung von ML .............................1 28
4 2.1 Historische Entwicklungen und neuere Tendenzen in der
fachdidaktischen Diskussion..............................................................................128
4.2.2 Ziele eines anwendunesorientierten Mathematik Unterrichts..........................................131
Inhaltsverzeichnis_______________________________________________________________XI_
4.3 Anwendungsorientierung im alltäglichen Mathematikunterricht.........................................133
4.3.1 Unterrichtsbeispiele zum anwendungsorientierten Mathematikunterricht............................134
Das Beispiel „Verkehrsdurchsatz ....................................................................................... 134
Das Beispiel „AIDS-Test ....................................................................................................136
Von der Einkleidung zum Sachproblem................................................................................ 137
Kleinvieh macht auch Mist - „ Massentierhaltung und andere kleine Beispiele................139
4.3.2 Welche Rolle spielt die Anwendungsorientierung in der Unterrichtspraxis?....................... 140
4.3.3 Methodische Einzelfragen zum anwendungsorientierten MU.............................................. 142
4.4 Exkurs: Numerische Mathematik im anwendungsorientierten MU *................................... 145
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion................................................................. 148
5 BEWEISEN, BEGRÜNDEN, ARGUMENTIEREN............................................................ 151
5.1 Beweisen, Begründen, Argumentieren - eine einführende Analyse..................................... 151
Der Beweis in der Fachwissenschaft.................................................................................... 151
Axiomensysteme.................................................................................................................... 152
Historischer Exkurs zum Beweisen, zur Rolle der Anschauung und
der Formalisierung *............................................................................................................ 153
Exkurs über die Rolle des Computers beim Beweisen *....................................................... 155
Anschauliches und präformales Beweisen; lokales und globales Ordnen............................ 156
Begründen und Argumentieren -Formen, Darstellung und Allgemeingültigkeit................ 158
5.2 Zur Praxis des Beweisens.....................................................................................................159
5.2.1 Der Begriff der Argumentationsbasis und subjektive Aspekte des Beweisens.....................159
Definitionen und Schlußregeln als Teil der Argumentationsbasis........................................ 161
5.2.2 Praxis des Beweisens im Mathematikunterricht...................................................................164
5.3 Zielanalyse zum Begründen und Beweisen..........................................................................166
5.4 Methodische Überlegungen zum Begründen und Beweisen................................................169
Überprüfen und Bewerten von Schülerbeweisen..................................................................174
Kriterien für einen didaktisch guten Beweis......................................................................... 175
Wiederholung, Aufgaben. Anregungen zur Diskussion................................................................. 176
TEIL
U
ANALYSIS
Verfasser:
M. Klika
(Kap. 6, Abs. 8.1, 8.3), U.-P. Tietze (Kap. 7, Abs. 8.2), F. Förster (Kap. 9)
6 HISTORISCHE ENTWICKLUNG, BEZIEHUNGSNETZE UND
FUNDAMENTALE IDEEN.................................................................................................178
6.1 Entwicklung der Infinitesimalrechnung................................................................................179
6.2 Leitideen und fachlicher Hintergrund...................................................................................183
6.2.1 Reelle Zahlen.
Funktions-,
Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff.............................................184
Zum Funktionsbegriff........................................................................................................... 185
Funktionen von mehreren Variablen....................................................................................187
Zum Kurvenbegriff................................................................................................................188
Zum Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff.................................................................................188
6.2.2 Ableitung und Integral..........................................................................................................190
Zum Ableitungsbegriff..........................................................................................................191
Ableitungsfunktion, Stammfunktion......................................................................................196
Globale Sätze........................................................................................................................197
Zum Integralbegriff..............................................................................................................198
Bogenlänge und Krümmung.................................................................................................200
6.3 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien...............................201
6.3.1 Verwendungssituationen und Zentrale Mathematisierungsmuster.......................................201
Mathematisierungsmuster in Physik und Technik................................................................202
Mathematisierungsmuster in Biologie, Chemie, Medizin.....................................................206
Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften...................................207
XII Inhaltsverzeichnis
6.3.2 Bereichsspezifische Strategien..............................................................................................211
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................216
7 ALLGEMEINE DIDAKTISCHE FRAGEN ZUM ANALYSISUNTERRICHT.................218
7.1 Fachdidaktische Strömungen und Entwicklungen zum Analysisunterricht..........................218
7.1.1 Ein historischer Überblick.....................................................................................................218
7.1.2 Positionen gegen die Neue Mathematik................................................................................220
7.1.3 Positionen gegen das Vorherrschen „sinnentleerter Kalküle ...............................................221
Problemorientierung.............................................................................................................222
Anwendungsorientierung......................................................................................................223
Der Rechner im Analysisunterricht.......................................................................................224
Schülerorientierte
Analysis
- eine andere Unterrichtskultur................................................226
7.1.4 Das Schulbuch im Analysisunterricht...................................................................................228
7.2 Der Analysisunterricht aus der Sicht des Lehrers..................................................................232
Der formale und der anwendungsbezogene Aspekt der
Analysis
..........................................234
7.3 Der Schüler im Analysisunterricht........................................................................................236
Das „Analysis-Bild des Schülers........................................................................................236
Algebrabezogene Lernprobleme im Analysisunterricht........................................................236
Graphen- und anschauungsbezogene Schwierigkeiten und Probleme zur
Beziehung zwischen formalem und graphischem Aspekt.......................................................238
Begrifflich-logische Probleme...............................................................................................238
7.4 Zur Rechtfertigung und zur Realisierung eines veränderten Analysisunterrichts.................240
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................241
8 DIDAKTISCHE DISKUSSION VON EINZELTHEMEN...................................................244
8.1 Reelle Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit...............................................................244
8.1.1 Reelle Zahlen........................................................................................................................244
8.1.2 Funktionen............................................................................................................................245
Transzendente Funktionen....................................................................................................248
Zur Exponentialfunktion.......................................................................................................249
Zur Logarithmusfunktion......................................................................................................250
Zu trigonometrischen Funktionen.........................................................................................250
Funktionen von mehreren Veränderlichen............................................................................251
8.1.3 Folgen-, Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff...........................................................................252
Zum Stetigkeitsbegriff............................................................................................................255
8.2 Differentialrechnung.............................................................................................................257
8.2.1 Einführung des Ableitungsbegriffs.......................................................................................257
Zwei Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff..................................................................257
Zum Begriff der Tangente.....................................................................................................259
Einstiege in die Differentialrechnung...................................................................................261
Ableitungsfunktion, Stammfunktion, graphisches Ab- und Aufleiten....................................263
8.2.2 Ableitungsregeln und die Ableitung elementarer Funktionen...............................................264
Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen........................................................................264
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.................................................................................265
Ableitung der Winkelfunktionen............................................................................................267
Ableitung der
Exponential-
und Logarithmusfunktionen......................................................268
8.2.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung.....................................271
Monotonie und Krümmung...................................................................................................271
Lokale Eigenschaften von Funktionen (Extrem- und Wendestellen).....................................272
Extremwertaufgaben und Funktionsbestimmungen..............................................................273
Approximation und Interpolation..........................................................................................274
8.2.4 Exaktifizierungen und Vertiefungen.....................................................................................275
Begriffsklärungen und Erörterung von Fehlvorstellungen .................................................275
Inhaltsverzeichnis_____________________________________________________________
XIII
Ein lokales und globales Ordnen der zentralen Sätze der
Analysis
......................................276
Vertiefende Betrachtungen zur Approximation....................................................................277
8.3 Zur Integralrechnung............................................................................................................279
8.3.1 Grundverständnis und Zugänge zum Integralbegriff............................................................280
Andere Zugänge....................................................................................................................284
8.3.2 Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung........................................................284
8.3.3 Integrationskalkül und Numerische Verfahren.....................................................................287
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................292
9 BEISPIELE ZUR PROBLEM- UND ANWENDUNGSORIENTIERUNG IM
ANALYSISUNTERRICHT.................................................................................................296
9.1 Funktionen, Kurven, Kurvenscharen und graphikfähige TR................................................296
9.1.1 Einführung in das Arbeiten mit dem graphikfähigen Taschenrechner.................................296
9.1.2 Beispiele zur Untersuchung von Funktionen und Kurvenscharen........................................300
Ortskurven von Parabelscharen...........................................................................................300
Klassifikation einer Funktionsschar.....................................................................................301
Kurvenscharen: Rollkurven (Kreiszykloiden).......................................................................302
9.2 Optimieren, Interpolieren und Approximieren.....................................................................304
9.2.1 Das Extremwertproblem „Milchtüte ...................................................................................306
9.2.2 Das allgemeine isoperimetrische Problem............................................................................308
9.2.3 Die „Trassierung von Autobahnkreuzen .............................................................................309
9.3 Wachstumsfragen und Dynamische Systeme.......................................................................311
9.3.1 Wachstumsfragen: Differentialgleichungen, Differenzengleichungen.................................311
Einfache Wachstumsmodelle................................................................................................312
Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen im MU?...........................................315
Exkurs: Chaos bei der logistischen Abbildung *..................................................................316
9.3.2 Systemdynamik *.................................................................................................................317
Die Sensitivität von Systemen ..............................................................................................318
Vernetzung - Wechselwirkung zwischen Populationen, Räuber-Beute-Systeme..................318
Zeitverzögerte Ruckkopplungen............................................................................................320
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................322
LITERATURVERZEICHNIS.......................................................................................................325
STICHWORTVERZEICHNIS......................................................................................................341
Uwe-Peter Tietze
Manfred
Klika
Hans Wolpers
(Hrsg.)
themati
in der
Sekundär
Band 1 Fachdidaktische Grundfra*
Didaktik der
Analysis
2., durchgesehene Auflage
Im Teil 1 des Buches werden fachdidaktische Grundfragen geklärt. Ausgangspunkt
ist die Frage nach den Zielen im Mathematikunterricht und deren Begründung.
Vier Grundtätigkeiten des Mathematikunterrichts werden einer genauen Analyse
unterzogen: Lernen, Problemlösen, Anwenden und Modellbilden, Beweisen und
Begründen. Lehr- und Lernprobleme werden eingehend erörtert.
Teil
II
unterzieht den Analysisunterricht einer umfassenden didaktisch-metho¬
dischen Analyse. Beide Teile des Buches sind mit zahlreichen Beispielen und Auf¬
gaben versehen. Die Aufgaben und Beispiele sollen das Verständnis des Textes
erleichtern, zur Weiterarbeit anregen, als Übungsmaterial für didaktische Veran¬
staltungen in der ersten und zweiten Ausbildungsphase dienen und Anregungen
für den konkreten Unterricht geben.
Der Inhalt
• Ziele des Mathematikunterrichts, Allgemeinbildung und Studierfähigkeit
• Lernen, Problemlösen und mathematisches Experimentieren,
Fragen des Rechnereinsatzes
• Anwenden und mathematisches Modellbilden
• Beweisen und Begründen
• Fundamentale Ideen der
Analysis
• Allgemeine didaktische Fragen zum Analysisunterricht
• Didaktik der Differential- und Integralrechnung
• Beispiele zur Problem- und Anwendungsorientierung im Analysisunterricht
Die Zielgruppe
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, Studenten des gymnasialen Lehramts,
Referendare und Lehrer.
Die Autoren
Prof. Dr. U.-P. Tietze, F. Förster (TU Braunschweig) und PD Dr.
M. Klika
(Universität
Hildesheim) lehren Mathematik und ihre Didaktik.
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