Höhere Analysis - Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen: ein Kompaktkurs
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München [u.a.]
Oldenbourg
2000
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V
Inhaltsverzeichnis
Vorwort IX
I Funktionentheorie 1
1 Komplexe Zahlen, Folgen, Reihen 3
1.1 Rechenregeln für komplexe Zahlen 3
1.2 Trigonometrische Darstellung und n-te Wurzeln komplexer Zahlen . . 5
1.3 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion 8
1.4 Komplexe Folgen und Reihen 11
1.5 Abelsche partielle Summation, Kriterien für bedingte Konvergenz . 16
1.6 Cauchy-Produkte von unendlichen Reihen 20
2 Grundlegende Eigenschaften holomorpher Funktionen 23
2.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Holomorphie komplexer Funktionen 23
2.2 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und harmonische
Funktionen 31
2.3 Möbiustransformationen oder gebrochen lineare Abbildungen 35
3 Riemann-Stieltjes-Integrale und Kurvenintegrale 45
3.1 Allgemeine Riemann-Stieltjes-Integrale und Funktionen von beschränk¬
ter Variation 45
3.2 Weitere Eigenschaften der allgemeinen RS-Integrale 50
3.3 Kurvenlänge 54
3.4 Allgemeine Kurvenintegrale im Krf und in C 56
3.5 Fundamentalsätze für Kurvenintegrale im W1 und in C 60
4 Komplexe Kurvenintegrale und holomorphe Funktionen 65
4.1 Integralsatz und Integralformel von Cauchy für sternförmige Gebiete in C 65
4.2 Differentiation von Parameterintegralen vom Cauchy-Typ und Potenz¬
reihenentwicklung holomorpher Funktionen 66
VI Inhaltsverzeichnis
4.3 Eindeutigkeitssatz für holomorphe Funktionen und analytische Fortset¬
zung 79
4.4 Homologieversion des Integralsatzes und der Integralformel von Cauchy 86
5 Laurentreihen, isolierte Singularitäten und der Residuensatz 89
5.1 Laurentreihenentwicklung von Funktionen, die auf einem Kreisring ho¬
lomorph sind 89
5.2 Isolierte Singularitäten 93
5.3 Homologieversion des Residuensatzes 96
5.4 Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe des Residuensatzes . 100
5.5 Argumentprinzip, Gebietstreue und Maximumprinzip 107
6 Partialbruch- und Produktentwicklung holomorpher Funktionen 113
6.1 Partialbruchentwicklung in C 113
6.2 Produktentwicklung ganzer Funktionen 118
6.3 Die p-Funktion von Weierstraß als Beispiel einer elliptischen Funktion 123
6.4 Interpolation in C als Kombination von Partialbruch- und Produktent¬
wicklung 125
II Differentialgleichungen 127
7 Spezielle Typen von Differentialgleichungen 1. Ordnung 129
7.1 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung und verwandte Differenti¬
algleichungen 129
7.2 Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen und verwandte
Differentialgleichungen 136
7.3 Die exakte Differentialgleichung 145
7.4 Legendre Transformation und die Differentialgleichungen von Clairaut
und d'Alembert 151
8 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungssysteme
1. Ordnung und für Differentialgleichungen n-ter Ordnung 159
8.1 Grundlegende Definitionen 159
8.2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf 163
8.3 Gleichgradig stetige Funktionenfolgen 171
8.4 Der lokale Existenzsatz von Peano 174
8.5 Der globale Existenzsatz von Peano, maximale Fortsetzung und Rand¬
verhalten der Lösungen 178
Inhaltsverzeichnis VII
9 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung und lineare Diffe¬
rentialgleichungen n-ter Ordnung 185
9.1 Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung 185
9.2 Die allgemeine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 191
9.3 Reduktionsverfahren, Ergänzung von linear unabhängigen Lösungen zu
einem Fundamentalsystem 196
10 Matrixfunktionen und lineare Differenzen- und Differentialgleichun¬
gen mit konstanten Koeffizienten 203
10.1 Matrixfunktionen 203
10.2 Lineare Differenzengleichungssysteme 1. Ordnung und lineare Diffe¬
renzengleichungen m-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 211
10.3 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung und lineare Diffe¬
rentialgleichungen m-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 213
10.4 Beispiele 220
11 Gronwalische Ungleichung, Abhängigkeit der Lösungen von Parame¬
tern und Stabilität von Lösungen 227
11.1 Die Ungleichung von Gronwall 227
11.2 Stetige Abhängigkeit der Lösungen von Anfangswerten und Parametern 229
11.3 Differenzierbarkeit der Lösungen nach Anfangsbedingungen und Para¬
metern 235
11.4 Stabilität von Lösungen 252
Literaturverzeichnis 255
Symbolverzeichnis 257
Index 259 |
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