Numerische Mathematik mit Matlab: eine Einführung für Naturwissenschaftler und Ingenieure
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Heidelberg
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2000
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Titel: Numerische Mathematik mit Matlab
Autor: Gramlich, Günter
Jahr: 2000
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 MATLAB-Grundlagen 5
2.1 Was ist Matlab?. 5
2.2 Starten und beenden. 7
2.3 Arbeiten im interaktiven Modus . 9
2.4 Grundlegende mathematische Funktionen. 14
2.5 Grundlegende Eigenschaften. 15
2.6 Matrizen. 18
2.7 Matrixoperationen. 34
2.8 Programmieren mit m-Files: Scripts und Funktionen . 35
2.9 Datentypen (Klassen) in MATLAB. 41
2.10 Vergleichsoperatoren und Vergleichsfunktionen. 44
2.11 Logische Operatoren und logische Funktionen. 47
2.12 Steuerstrukturen. 49
2.13 Wie man effizientere Programme schreiben kann . 57
2.14 Wie man die Effizienz von Programmen vergleichen kann. 59
2.15 Dateien lesen und schreiben . 59
2.16 Visualisieren in Matlab. 60
2.17 Dunn besetzte Matrizen. 77
2.18 MATLAB-Hilfesysteme und weitere Infonnationen . 79
2.19 Polynome in Matlab . 89
2.20 Einfache Datenanalyse mit Matlab. 94
2.21 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 101
2.22 Ubungsaufgaben . 101
3 Grundbegriffe und Notationen aus der linearen Algebra und Analysis 107
3.1 Vektoren und Matrizen. 107
3.2 Die vier Fundamentalraume einer Matrix. 114
3.3 Lineare Gleichungssysteme. 117
3.4 Vektornormen. 119
3.5 Matrixnormen. 122
3.6 Singulare Werte und die Singularwertzerlegung. 125
3.7 Gradient, Hesse- und JACOBI-Matrix. 127
viii Inhaltsverzeichnis
3.8 Der Satz von Taylor. 129
3.9 Zvir Komplexitat numerischer Algorithmen. 132
3.10 Weitere Bemerkungen und Notationen. 133
3.11 Ubungsaufgaben . 134
Grundlegende Konzepte numerischen Rechnens 141
4.1 Allgemeine Losungsstrategien. 141
4.2 Approximationen und Fehlerquellen. 142
4.3 Computerarithmetik. 151
4.4 Zur Komplexitat numerischer Algorithmen. 158
4.5 Elementare Matrixrechnungen. 162
4.6 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 178
4.7 Ubungsaufgaben . 180
Lineare Gleichungssysteme 183
5.1 Zm Losbarkeit linearer Gleichungssysteme . 186
5.2 Wie lost man lineare Systeme?. 189
5.3 Lineare Systeme mit Dreiecksmatrizen. 189
5.4 Eliminationsmatrizen. 196
5.5 GAUSS-Elimination und LU-Zerlegung. 200
5.6 GAUSS-Elimination ohne Zeilenvertauschungen. 202
5.7 GAUSS-Elimination mit Zeilenvertauschungen . 205
5.8 LU-Zerlegung in Matlab. 209
5.9 Zur Realisierung des GAUSS-Verfahrens. 210
5.10 Wie komplex ist das Losen linearer Gleichungssysteme? . 211
5.11 Wie berechnet man die Inverse einer Matrix? . 212
5.12 Normen, Fehler und Konditionszahlen. 213
5.13 Zur Genauigkeit der Losung. 217
5.14 Spezielle lineare Gleichungssysteme. 224
5.15 Iterative Losungsmethoden fiir lineare Gleichungssysteme . 227
5.16 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 229
5.17 Ubungsaufgaben . 230
Lineare Ausgleichsrechnung 235
6.1 Die allgemeine Problemstellung. 238
6.2 Uberbestimmte lineare Gleichungssysteme. 243
6.3 Zur Losbarkeit linearer Ausgleichsaufgaben. 249
6.4 Normalgleichungsmethoden . 251
6.5 Orthogonalisierungsmethoden . 253
6.6 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme. 267
6.7 Rangdefekte Probleme. 276
6.8 Nocheinmal: Der MATLAB-Operator \. 281
6.9 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 284
6.10 Ubungsaufgaben. 286
Inhaltsverzeichnis ix
7 Eigenwertprobleme 291
7.1 Eigenwerte und Eigenvektoren. 291
7.2 Methoden, um alle Eigenwerte zu berechnen. 298
7.3 Methoden, um ausgewahlte Eigenwerte zu berechnen. 303
7.4 Verallgemeinerte Eigenwertprobleme . 305
7.5 Eigenwertaufgaben mit Matlab. 307
7.6 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 308
7.7 Ubungsaufgaben . 309
8 Interpolation 313
8.1 Interpolation durch Polynome . 313
8.2 LAGRANGE-Interpolation. 327
8.3 HERMITE-Interpolation. 330
8.4 Interpolation durch Spline-Funktionen. 332
8.5 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 339
8.6 Ubungsaufgaben . 340
9 Nichtlineare Gleichungen 343
9.1 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen. 352
9.2 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen. 370
9.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 374
9.4 Ubungsaufgaben . 375
10 Nichtlineare Ausgleichsrechnung 381
10.1 Die GAUSS-NEWTON-Methode . 383
10.2 Nichtlineare Ausgleichsrechnung in Matlab. 387
10.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise. 388
10.4 Ubungsaufgaben . 388
A Symbolisches Rechnen mit Matlab 389
A.l Analysis. 392
A.2 Die Funktionen f untool und taylortool . 396
A.3 Variable Rechengenauigkeit . 396
A.4 Vereinfachungen . 398
A.5 Substituieren . 398
A.6 Lineare Algebra. 398
A.7 Algebraische Gleichungen. 403
A.8 Gewohnliche Differentialgleichungen . 405
A.9 Funktionen der Symbolic Math Toolbox. 406
A.10 Wieman MAPLE-Funktionen verwendet. 410
A.ll Weitere Bemerkungen und Hinweise. 412
Inhaltsverzeichnis
B Matrixfaktorisierungen 417
B.l Die LU-Faktorisierung. 418
B.2 Die CHOLESKY-Faktorisierung. 419
B.3 Die QR-Faktorisierung. 420
B.4 Die Singularwertzerlegung. 423
B.5 Die Spektralzerlegung . 425
B.6 Die (reelle) SCHUR-Faktorisierung. 425
B.7 Die SCHUR-Faktorisierung. 426
B.8 Die HESSENBERG-Faktorisierung . 426
B.9 Die JORDAN-Normalform . 426
C Mathematische Software 429
C.l Suchsysteme . 430
C.2 Allgemeine Informationen, Vereinigungen, Verbande und Gesellschaften . . 430
C.3 Homepages. 431
C.4 Newsgroups. 431
C.5 Newsletters. 432
C.6 Fachzeitschriften. 432
C.7 Interaktive Systeme. 433
C.8 Numerische Programmbibliotheken . 434
C.9 Public Domain Software. 434
D Weitere MATLAB-Funktionen 437
E Das Griechische Alphabet 439
F Tabelle mathematischer Symbole 441
Literaturverzeichnis 443
Index 449 |
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THWS Schweinfurt Magazin
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