Höhere Mathematik: 1 Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1999
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| Ausgabe: | 5., korr. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. [505] - 506 |
| Beschreibung: | XV, 529 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540661484 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Zahlen und Vektoren 1
§1. Mengen und Abbildungen 1
1.1 Mengen 1.2 Mengenoperationen 1.3 Abbildungen
§2. Die reellen Zahlen 3
2.1 Bezeichnungen 2.2 Ungleichungen 2.3 Intervalle 2.4 Schran¬
ken 2.5 Der Betrag 2.6 Die vollständige Induktion 2.7 Binomial
koeffizienten und die binomische Formel Aufgaben
§3. Die Ebene 11
3.1 Kartesische Koordinatensysteme 3.2 Winkel 3.3 Sinus, Cosinus
3.4 Drehungen
§4. Vektoren 17
4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum 4.2 Vektoren 4.3 Die
Addition von Vektoren 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors
4.5 Der Betrag 4.6 Vektoren im Koordinatensystem
§5. Produkte 22
5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren 5.2 Das Skalarprodukt
5.3 Das Vektorprodukt 5.4 Das Spatprodukt Aufgaben
§6. Geraden und Ebenen 34
6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden 6.2 Die Koordinatenglei¬
chungen einer Geraden 6.3 Die Momentengleichung der Geraden
6.4 Abstand Punkt Gerade 6.5 Abstand Gerade Gerade 6.6 Para¬
meterdarstellungen einer Ebene 6.7 Parameterfreie Darstellungen ei¬
ner Ebene 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen 6.9 Die Winkel
zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden
Aufgaben
§7. Gebundene Vektoren 47
7.1 Gebundene Vektoren 7.2 Ein System gebundener Vektoren
7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren Aufgaben
§8. Die komplexen Zahlen 53
8.1 Die Menge der komplexen Zahlen 8.2 Die vier Grundrechenar¬
ten in C 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen
8.4 Anwendungen
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit 58
§1. Funktionen (Grundbegriffe) 58
1.1 Funktionen 1.2 Monotonie 1.3 Das Rechnen mit Funktionen
§2. Polynome und rationale Funktionen 61
2.1 Polynome 2.2 Polynomnullstellen Faktorisierung 2.3 Polynom¬
interpolation 2.4 Der Graph 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdi¬
vision 2.6 Der Definitionsbereich D 2.7 Ergänzung: Polynome über
C Aufgaben
§3. Die Kreisfunktionen 75
3.1 Definition und einfache Eigenschaften 3.2 Die Tangens und
Cotangensfunktion 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen
3.4 Anwendungen der De Moivre Formeln 3.5 Harmonische Schwin¬
gungen Aufgaben
§4. Zahlenfolgen und Grenzwerte 88
4.1 Folgen 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen
§5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien 93
5.1 Rechenregeln 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschätzung
5.3 Monotone Folgen 5.4 Die Exponentialfunktion 5.5 Für Fortge¬
schrittene: Das Cauchy Konvergenzkriterium Aufgaben
§6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit 103
6.1 Definitionen 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbe¬
stimmung 6.3 Asymptoten 6.4 Stetigkeit Aufgaben
Kapitel 3. Differentiation 112
§1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion 112
1.1 Die Definition der Ableitung 1.2 Die geometrische Deutung der
Ableitung: Tangentenanstieg 1.3 Die analytische Deutung der Ab¬
leitung: Lineare Approximation 1.4 Die physikalische Deutung der
Ableitung: Geschwindigkeit 1.5 Stetigkeit ist notwendig für Differen
zierbarkeit 1.6 Differentiationsregeln 1.7 Die Differentiation der
Polynome und der rationalen Funktionen 1.8 Die Ableitung der
Kreisfunktionen 1.9 Die Kettenregel 1.10 Höhere Ableitungen
Aufgaben
§2. Anwendungen der Differentiation 121
2.1 Maxima und Minima einer Funktion 2.2 Der Mittelwertsatz
2.3 Wendepunkte 2.4 Die Regeln von De L Hospital 2.5 Kurven¬
diskussion 2.6 Nullstellen und Fixpunkte 2.7 Kubische Splines
Aufgaben
Inhaltsverzeichnis IX
§3. Umkehrfunktionen 139
3.1 Grundlagen 3.2 « te Wurzel, rationale Exponenten 3.3 Arcussi
nus, Arcuscosinus, Arcustangens Aufgaben
§4. Die Exponential und Logarithmusfunktion 147
4.1 Die e Funktion 4.2 Die Kurve y = ex 4.3 Exponentiell
wachsende bzw. fallende Prozesse 4.4 Der natürliche Logarithmus
4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen 4.6 Die Hy¬
perbelfunktionen sinh, cosh, tanh Aufgaben
Kapitel 4. Integration 161
§1. Das bestimmte Integral 161
1.1 Die Definition des bestimmten Integrals 1.2 Die geometrische
Deutung 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz
1.4 Differentiation und Integration Aufgaben
§2. Integrationsregeln 169
2.1 Linearität 2.2 Partielle Integration 2.3 Die Substitutionsmethode
2.4 Symmetrien beachten 2.5 Ausblicke Aufgaben
§3. Die Integration der rationalen Funktionen 179
3.1 Die Partialbruchzerlegung 3.2 Die Integration 3.3 Die Integra¬
tion von R{ex) 3.4 Die Integration von R[x, , . ) , ae—bc ± 0
y CA ~~T~ t /
3.5 Die Integration von R(sinx, cosx) 3.6 Trigonometrische und
hyperbolische Substitutionen Aufgaben
§4. Uneigentliche Integrale 185
4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale 4.2 Ein Konvergenz
Test 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral 4.4 Ausnah¬
mestellen im Innern des Integrationsintervalls Aufgaben
§5. Kurven, Längen und Flächenmessung 190
5.1 Die Parameterdarstellung 5.2 Tangente und Normale 5.3 Kur¬
venlänge 5.4 Krümmung und Krümmungskreis 5.5 Die Polardar¬
stellung einer ebenen Kurve 5.6 Flächeninhalte Aufgaben
§6. Weitere Anwendungen des Integrals 204
6.1 Abkürzende Redeweisen 6.2 Das Volumen eines Rotationskörpers
6.3 Die Mantelfläche Aufgaben
§7. Numerische Integration 206
Aufgaben
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel 5. Potenzreihen 212
§1. Unendliche Reihen 212
1.1 Grundbegriffe 1.2 Absolute Konvergenz Aufgaben
§2. Reihen von Funktionen 221
2.1 Gleichmäßige Konvergenz 2.2 Gleichmäßig konvergente Funktio¬
nenreihen Aufgaben
§3. Potenzreihen 226
3.1 Der Konvergenzradius 3.2 Berechnung des Konvergenzradius
3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen 3.4 Die
Potenzreihendarstellung einiger Funktionen 3.5 Die Binomialreihe
3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a ± 0 3.7 Koeffizientenvergleich
Aufgaben
§4. Der Satz von Taylor; Taylor Reihen 237
4.1 Die Taylor Formel 4.2 Die Taylor Reihe 4.3 Methoden der
Reihenentwicklung Aufgaben
§5. Anwendungen (an Beispielen) 244
5.1 Grenzwertberechnungen 5.2 Näherungsformeln (Approximation)
5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit
nicht elementar integrierbarem Integranden 5.4 Potenzreihenansatz
zur Lösung einfacher Differentialgleichungen Aufgaben
Kapitel 6. Lineare Algebra 250
§1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 250
1.1 Was ist eine Matrix? 1.2 Addition, Subtraktion und Multipli¬
kation mit einem Zahlenfaktor 1.3 Lineare Gleichungssysteme und
Matrizen 1.4 Das Gaußsche Lösungsverfahren Aufgaben
§2. Die Matrizenmultiplikation 265
2.1 „Zeile mal Spalte 2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen
2.3 Rechenregeln 2.4 Die Transponierte einer Matrix 2.5 Invertier¬
bare Matrizen 2.6 Diagonal und Dreiecksmatrizen Aufgaben
§3. Vektorräume 274
3.1 Der „abstrakte Vektorraum 3.2 Unterräume, Linearkombinatio¬
nen, lineare Hülle 3.3 Basis und Dimension Aufgaben
§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen 286
4.1 Zeilenraum und Spaltenraum 4.2 Elementarmatrizen 4.3 Der
Rang und die P g Normalform 4.4 Rechenverfahren Aufgaben
Inhaltsverzeichnis XI
§5. Determinanten 299
5.1 Einführung 5.2 Definition der Determinante einer n x « Matrix
5.3 Rechenregeln für Determinanten 5.4 Die Entwicklung von det A
nach einer beliebigen Zeile oder Spalte 5.5 Beispiele 5.6 Anwen¬
dungen Aufgaben
§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte 311
6.1 Lineare Abbildungen 6.2 V = W = R 6.3 Längen und Winkel
im R ; Orthogonalität 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen
6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren 6.6 Basiswechsel,
Koordinatentransformation 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren 6.8 Die
orthogonale Gruppe Aufgaben
§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 339
7.1 Quadratische Formen 7.2 Die Hauptachsentransformation
7.3 Quadriken 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer sym¬
metrischen Matrix 7.5 Positiv definite Matrizen Aufgaben
Kapitel 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation 359
§1. Kurven im R 360
1.1 Parameterdarstellungen 1.2 Das begleitende Dreibein, Krümmung,
Torsion 1.3 Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenet
schen Formeln Aufgaben
§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher 370
2.1 Grundlagen 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit 2.3 Partielle Ablei¬
tungen, der Gradient 2.4 Die totale Ableitung und lineare Approxi¬
mation 2.5 Einfache Anwendungen 2.6 Die Richtungsableitung, der
Anstieg und die Kettenregel Aufgaben
§3. Anwendungen der Differentiation 391
3.1 Die Bedeutung des Gradienten 3.2 Approximation höherer Ord¬
nung; die Taylor Formel 3.3 Implizite Funktionen 3.4 Lokale Mi
nima und Maxima 3.5 Ausgleichsrechnung 3.6 Extremwertaufgaben
mit Nebenbedingungen Aufgaben
§4. Vektorwertige Funktionen 418
4.1 Die Differentiation 4.2 Die Kettenregel 4.3 Räumliche Skalaren
und Vektorfelder 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace
Operator Aufgaben
XII Verzeichnis der Programme
Kapitel 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration 430
§1. Parameterintegrale 430
1.1 Parameterintegrale Aufgaben
§2. Kurvenintegrale 435
2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion 2.2 Anwendungen
2.3 Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve 2.4 An¬
wendungen und Beispiele 2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes
2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3) Aufgaben
§3. Die Integration über ebene Bereiche 454
3.1 Der Flächeninhalt 3.2 Definition und einfache Eigenschaften des
Doppelintegrals 3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesi
schen Koordinaten 3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele 3.5 Der
Satz von Green Aufgaben
§4. Die Integration über Flächen im Raum 467
4.1 Parameterdarstellungen 4.2 Beispiele 4.3 Der Flächeninhalt
4.4 Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion 4.5 Die Trans¬
formationsformel für Gebietsintegrale 4.6 Das Oberflächenintegral
eines Vektorfeldes 4.7 Der Satz von Stokes Aufgaben
§5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche 488
5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals
5.2 Einfache Anwendungsbeispiele 5.3 Die Transformationsformel für
Volumenintegrale 5.4 Der Divergenzsatz 5.5 Einige Anwendungen
der Integralsätze 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten Auf¬
gaben
Literaturverzeichnis 505
Anhang: Pascal Programme 507
Namen und Sachverzeichnis 517
Verzeichnis der Programme
1. Programm HORNER 63
Auswertung eines Polynoms mit dem Horner Schema
2. Programm HORNER vollstaendig 63
Entwicklung eines Polynoms nach Potenzen von x — b
Verzeichnis der Programme XIII
3. Programm NEWTON Interpolation 68
Berechnung und Auswertung des Newton Interpolationspolynoms
4. Programm BISECTION 109
Nullstellenbestimmung (/(x) = 0, xeE)
5. Programm NEWTON Verfahren 134
Nullstellenbestimmung (f(x) = 0, x € R)
6. Programm KUBISCHE SPLINE 136
Interpolation mit kubischer Spline Funktion
7. Programm ROMBERG Integration 209
Berechnung von af(x)dx mittels Romberg Extrapolation
8. Programm Vollst. Ellipt. Integrale 211
Berechnung der vollständigen elliptischen Integrale E(k) und K(k)
mit arithmetisch geometrischem Mittel
9. Programm GAUSS 296
Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit verbesserter LR
Zerlegung, Berechnung der Determinante von A
10. Programm LEVERRIER 333
Berechnung der Koeffizienten des Polynoms p(A) = det(Ä£ — A)
11. Programm JACOBI 354
Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen
Matrix
12. Programm BAIRSTOW 384
Berechnung aller komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms
13. Procedure LINPIT 406
Bestimmung der Ausgleichslösung eines überbestimmten linearen Glei¬
chungssystems
14. Programm NLSQ 407
Bestimmung der Ausgleichslösung eines überbestimmten nichtlinearen
Gleichungssystems
Inhalt von Band 2
Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen
§1. Einführung
§2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
§3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
§4. Existenzsätze
§5. Numerische Lösung des Anfangswertproblems 1. Ordnung
§6. Die Laplace Transformation
§7. Lösung mittels Potenzreihenansatz
§8. DGL Systeme und DGLn höherer Ordnung
§9. Lineare DGL Systeme mit konstanten Koeffizienten
§10. Stabilität, periodische Lösungen
§11. Rand und Eigen Wertprobleme
Kapitel 10. Funktionentheorie
§1. Punktmengen in der komplexen Ebene
§2. Einige elementare Funktionen
§3. Gebrochen lineare Funktionen
§4. Potenzreihen
§5. Differentiation, analytische Funktionen
§6. Integration
§7. Anwendungen der Cauchy Integralformel
§8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet Problem
§9. Laurent Reihen und Singularitäten
§10. Residuentheorie
Kapitel 11. Fourier Analysis
§1. Trigonometrische Polynome und Reihen
§2. Fourier Reihen
§3. Konvergenz der Fourier Reihe
§4. Anwendungen (an Beispielen)
§5. Diskrete Fourier Analysis
§6. Die Fourier Transformation
Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen
§1. Einführung
§2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
§3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung
§4. Trennung der Variablen
§5. Lösungen mit Laplace und Fourier Transformation
§6. Lösungen mit Green Funktion
Inhalt von Band 2 XV
Kapitel 13. Variationsrechnung
§1. Funktionale und Variation
§2. Die Euler Differentialgleichung für I(y) = aF(x,y,y )dx
§3. Natürliche Randbedingungen, Transversalitätsbedingung
§4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen
§5. Variation mit Nebenbedingungen
§6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen
§7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben Differentialgleichungen
§8. Direkte Methoden
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