Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II: 2 Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra
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Braunschweig [u.a.]
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2000
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TEIL
1 BEZIEHUNGSNETZE, FUNDAMENTALE IDEEN UND HISTORISCHE ENTWICK¬
LUNG DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE UND LINEAREN ALGEBRA..................2
1.1 Leitideen und fachwissenschaftlicher Hintergrund...............................................................3
1.1.1 Leitideen der Linearen Algebra: Überblick...........................................................................3
Matrizen.................................................................................................................................6
Eigenwerte und Eigenvektoren..............................................................................................7
1.1.2 Vektorraum und Punktraum..................................................................................................9
Exkurs 1: Begründung der Linearen Algebra aus der Geometrie.......................................11
Exkurs 2: Der Punktraum ab Vektorraum -Identifizierung von Punkt und Vektor...........13
1.1.3 Symmetrische Bilinearformen, Quadriken und deren Klassifikation..................................15
Kegelschnitte.......................................................................................................................16
Flächen 2. Ordnung............................................................................................................20
1.1.4 Lineare und affine Abbildungen und deren Klassifikation..................................................22
Die affinen Abbildungen der Ebene.....................................................................................24
Die affinen Abbildungen des Raumes..................................................................................25
Die orthogonalen Abbildungen und
1.1.5 Determinantenform und Determinante................................................................................28
1.1.6 Metrische Räume.................................................................................................................30
1.1.7 Lineare Gleichungssysteme und der Gaußsche Algorithmus..............................................33
1.1.8 Zusammenfassung: Leitideen..............................................................................................36
Schema 1.1 Leitideen der Linearen Algebra.......................................................................37
Aufgaben. Wiederholung, wichtige Begriffe und Zusammenhänge................................................37
1.2 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien..............................40
1.2.1 Zentrale Mathematisierungsmuster......................................................................................40
Aspekte des mathematischen Modellierens im Mathematikunterricht.................................41
1.2.1.1 Beschreibung physikalischer und technischer Phänomene mit Hilfe
von Vektoren und Kurven...................................................................................................42
1.2.1.2 Entscheidungs- und Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften
(Verflechtungs-, lineare Optimierungs- und Transportprobleme).......................................45
1.2.1.3 Beschreibung von Prozessen in den Sozial-, Wirtschafts- und Naturwissenschaften
(Markoff-Prozesse, Probleme der Populationsdynamik).....................................................50
1.2.1.4 Klärung von Zusammenhangen zwischen Merkmalsvariablen/Meßgrößen
(regressions-,
1.2.1.5 Lineare Gleichungssysteme als zentrales Mathematäsierangsmuster...................................57
Schema 1.2 Zusammenfassung: Zentrale Mathematisierungsmuster..................................58
1.2.2 Bereichsspezifische Strategien und Problemkontexte.........................................................59
Schema 1.3 Bereichsspeziftsche Strategien.........................................................................60
1.2.2.1 Geometrisieren algebraischer Sachverhalte und Algebraisieren
geometrischer Sachverhal
1.2.2.2 Zur Analogie zwischen ebenen und räumlichen Sachverhalten sowie
zwischen R2, R3 und R .....................................................................................................62
Die Abschnitte 1.4 & 2.3 wurden von G. Wittmann, 4.3 von P. Schroth und U.-P. Tietze verfaßt.
Die Numerierung von Bildern, Schemata und Fußnoten bezieht sich auf die Kapitel (oberste Glie¬
derungsebene). Die Numerierung von Beispielen und Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptab¬
schnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
χ
1.2.2.3 Linearitätsüberlegungen, die Darstellung und Behandlung elementar-algebraischer
Sachverhalte im Matrizenkalkül sowie das Transformieren von Koordinaten....................63
1.2.2.4 Strategie des Gaußschen Algorithmus................................................................................63
1.2.2.5 Mathematisches Experimentieren mit konkreten Modellen und dem Rechner...................65
Aufgaben, Wiederholung................................................................................................................67
1.3 Zusammenfassung: Fundamentale Ideen für den Unterricht in
Analytischer Geometrie und Linearer Algebra...................................................................69
Schema 1.4 Zusammenfassung: Fundamentale Ideen zur Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik.....................................................71
Aufgaben.........................................................................................................................................72
1.4 Historische Entwicklung (von G. Wittmann)............................................................................73
Entwicklung der klassischen Analytischen Geometrie........................................................73
Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen.................................................75
Die Entwicklung früher geometrischer Kalküle:
Von den komplexen Zahlen zu Hamiltons Quaternionenkalkül..........................................80
Entwicklung der
Ursprünge der Vektorraumtheorie bei Grassmann............................................................84
Erste Axiomatisierungen der Vektorraumstruktur durch Peano und Weyl.........................86
Etablierung des axiomatischen Vektorraumbegriffs durch die Funktionalanalysis............87
Beiträge der Körpertheorie zur Entwicklung der Linearen Algebra...................................90
Entwicklung der Linearen Algebra im 20. Jahrhundert......................................................91
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion..................................................................92
2 ALLGEMEINE DIDAKTISCHE FRAGEN ZUR
ANALYTISCHEN GEOMETRIE UND LINEAREN ALGEBRA....................................93
2.1 Fachdidaktische Entwicklungen und Strömungen..............................................................93
2.1.1 Die Analytische Geometrie in der Traditionellen Mathematik...........................................94
2.1.1.1 Koordinatengeometrie und die Lehre von den Kegelschnitten...........................................94
2.1.1.2 Vektorielle Analytische Geometrie.....................................................................................98
Aufgabeninseln und Routineaufgaben..............................................................................100
Lineare Gleichungssysteme und Determinanten in älteren Schulbüchern........................101
2.1.2 Die Lineare Algebra der Neuen Mathematik....................................................................102
2.1.3 Die anwendungsorientierte Lineare Algebra.....................................................................105
Exkurs: Matrizen und Motivation.....................................................................................107
Grenzen außermathematischer Motivierung.....................................................................108
2.1.4 Die didaktische und schulpraktische Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra.......108
2.1.4.1 Eine Auseinandersetzung mit den Begründungsargumenten der Linearen Algebra
in der Neuen Mathematik..................................................................................................108
Exkurs: Abstrahierende oder charakterisierende
ein schulrelevanter Gegensatz?........................................................................................110
2.1.4.2 Schulpraktische Konsequenzen: eine Lehrplanänderang von 1983..................................112
2.1.4.3 n-Tupel und ihre geometrische Interpretation...................................................................114
2.1.4.4 Art und Umfang geometrischer Fragestellungen..............................................................115
2.1.4.5 Zurück zur vektoriellen Analytischen Geometrie? - Ein Vergleich neuerer Schulbücher. 118
2.1.5 Problemorientierang, Rechner und experimenteller Unterricht,
gebietsübergreifende Ansätze...........................................................................................121
2.1.5.1 Der Rechner und mathematisches Experimentieren..........................................................121
2.1.5.2 Zurück zu den Kegelschnitten?.........................................................................................123
2.1.5.3 Problemorientierung, Objektstudien und experimentelles Arbeiten.................................123
2.1.5.4 Gebietsübergreifende Ansätze...........................................................................................124
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................125
2.2 Das
2.2.1 Schulbücher im Urteil der Lehrer......................................................................................128
2.2.2 Interviews..........................................................................................................................130
2.3 Schülerkonzepte und
2.3.1 Vektorbegriff.....................................................................................................................134
Vektor als Pfeilklasse bzyv. Verschiebung..........................................................................134
Vektor als n-Tupel reeller Zahlen......................................................................................137
2.3.2 Parametergleichung einer Gerade......................................................................................140
2.3.3 Aufgaben in der Analytischen Geometrie.........................................................................142
2.3.4 Vektorraum als Strukturbegriff.........................................................................................145
Aufgaben........................................................................................................................................148
2.4 Zur Rechtfertigung und Realisierung eines veränderten Unterrichts
in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra..............................................................149
2.4.1 Neue Formen des Unterrichtens,
Veränderungen in der Unterrichtskultur und in den Zielen...............................................149
2.4.2 Offene Probleme und das „Öffnen von Schulbuchaufgaben............................:..............152
2.4.3 Sprache und Verstehen......................................................................................................153
2.4.4 Rechnereinsatz...................................................................................................................153
2.4.5 Inhalte................................................................................................................................154
Grund- und Leistungskurs.................................................................................................156
Perspektiven......................................................................................................................158
Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.........................................................................................158
3
3.1 Punkte, Geraden, Ebenen sowie Vektoren und lineare Gleichungssysteme......................159
3.1.1 Vektoren und Punkte.........................................................................................................159
Schema 3.1 Schulrelevante Interpretationen des Vektorbegriffs.......................................160
3.1.2 Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme.............................................................166
Geraden und Ebenen in der Koordinatengeometrie..........................................................170
Lineare Gleichungssysteme und lineare mathematische Modelle.....................................171
3.1.3 Konvexe Mengen, lineares Optimieren.............................................................................173
Lineares Optimieren..........................................................................................................176
3.1.4 Exkurse zur Vertiefung des theoretischen Aspekts von Mathematik................................177
Problemorientierte Entdeckung der Vektorraumstruktur..................................................177
Exaktifizierungen und Erweiterungen...............................................................................180
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................182
3.2 Länge, Abstand, Winkelmaß und Skalarprodukt...............................................................185
3.2.1 Zur Einführung des Skaiarprodukts...................................................................................185
Didaktische Überlegungen................................................................................................187
Innermathematische Anwendungen des Skaiarprodukts...................................................188
3.2.2 Fachliche Erweiterungen und Vertiefungen......................................................................191
Vektorprodukt und Spatprodukt........................................................................................191
Exkurs: Allgemeine Fragen der Längen- und Abstandsmessung......................................192
Drei Exkurse zum theoretischen Aspekt von Mathematik..................................................194
3.2.3 Die Korrelation als Skalarprodukt und andere Anwendungen..........................................195
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................196
3.3 Abbildungen, Matrizen und Determinanten......................................................................199
3.3.1 Lineare und affine Abbildungen........................................................................................199
Unterschiedliche didaktische Ansätze...............................................................................199
XII
Projektionen......................................................................................................................202
Objekt- und Computerstudien...........................................................................................205
Didaktische Wertung und Einordnung..............................................................................206
3.3.2 Matrizen und lineare mathematische Modelle...................................................................208
lineare mathematische Modelle.......................................................................................209
3.3.3 Determinanten...................................................................................................................211
Schema 3.2 Analogien bei Determinanten........................................................................213
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion................................................................214
3.4 Exemplarische Curriculumelemente.................................................................................215
Schema 3.3 Exemplarische Curriculumelemente..............................................................216
4 BEISPIELE FÜR EINEN PROBLEM- UND ANWENDUNGSORIENTIERTEN
UNTERRICHT: KURVEN UND FLÄCHEN..................................................................218
Lehrveifahren eines problemorientierten Unterrichts......................................................219
Merkmale eines experimentellen Unterrichts....................................................................220
Eine übergreifende Idee für den Geometrieunterricht: der geometrische Ort..................221
Schema 4.1 Geometrische
Einführung zum Thema Kurven....................;...................................................................222
4.1 Kegelschnitte als spezielle Kurven....................................................................................224
4.1.1 Die Kegelschnitte als Gegenstand der ebenen Geometrie.................................................225
Ellipse...............................................................................................................................227
Hyperbel............................................................................................................................228
Parabel..............................................................................................................................230
Tangente, Normale und Polare.........................................................................................230
4.1.2 Kegelschnitte als Gegenstand der räumlichen Geometrie - ein Exkurs............................232
Kegelschnitt als projektives Bild eines Kreises.................................................................234
Kegelschnitt als Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene, algebraisch betrachtet.....234
4.1.3 Kegelschnitte in Alltag und Anwendung..........................................................................235
4.1.4 Didaktische Wertung und Einordnung..............................................................................237
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion................................................................237
4.2 Allgemeine Kurven in der Ebene und im Raum...............................................................239
Kurven in kartesuchen Koordinaten.................................................................................239
Zum Kurvenbegriff ............................................................................................................241
Kurven in Polarkoordinaten.............................................................................................241
4.2.1 Betrachtung der Eigenschaften von Kurven......................................................................242
Die dynamische Sichtweise von Kurven............................................................................243
Richtung, Bogenlänge und Krümmung.............................................................................244
Ausblick auf die Behandlung räumlicher Kurven.............................................................250
4.2.2 Objektstudien zum Kreis...................................................................................................251
4.2.3 Objektstudien zu Spiralen.................................................................................................253
4.2.4 Generierung von Kurven...................................................................................................256
4.2.5 Didaktische Einordnung und Bewertung..........................................................................257
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion................................................................259
4.3 Flächen und Funktionen mehrerer Veränderlicher (von P. Schroth und U.-P. Tietze).....261
4.3.1 Flächen zweiter Ordnung..................................................................................................262
4.3.2 Funktionen zweier Veränderlicher....................................................................................266
4.3.3 Exkurs: Regelflächen........................................................................................................271
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion................................................................276
Literaturverzeichnis.......................................................................................................................278
Stichwortverzeichnis......................................................................................................................287
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| spelling | Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II 2 Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra Uwe-Peter Tietze ; Manfred Klika ; Hans Wolpers Braunschweig [u.a.] Vieweg 2000 XIV, 293 S. Ill., graph. Darst. txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Didaktik der Mathematik Mathematikunterricht (DE-588)4037949-8 gnd rswk-swf Mathematikunterricht (DE-588)4037949-8 s DE-604 Tietze, Uwe-Peter Sonstige oth Klika, Manfred Sonstige oth Wolpers, Hans Sonstige oth (DE-604)BV011270956 2 Digitalisierung UB Regensburg application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=008692708&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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